Aufgabenblatt 7

Markus Bibinger, Tobias Zwingmann
Mathematische Statistik
Sommersemester 2016
Philipps-Universität Marburg
Aufgabenblatt 7
20.
(a) (X1 , . . . , Xn ) sei eine Münzwurffolge, also Xi ∈ {0, 1} mit P(Xi = 1) = p für
P
alle 1 6 i 6 n und Parameter p ∈ (0, 1). Zeigen Sie, dass X = ni=1 Xi eine
suffiziente Statistik (für p) ist. Bestimmen Sie insbesondere die bedingte Verteilung
von (X1 , . . . , Xn ) gegeben X = k, k ∈ {0, . . . , n}.
(b) Ein Atomphysiker untersucht die Radioaktivität zweier verschiedener Präparate. Die
unabhängig gemessenenen Zahlen der Zerfälle in jeweils einer Zeiteinheit bei Präparat 1 seien X1 , . . . , Xm1 (m1 Messungen), bei Präparat 2 entsprechend Y1 , . . . , Ym2
(m2 Messungen). Finden Sie eine vernünftige Regel, um zu entscheiden, welches
Präparat stärker radioaktiv ist. Begründen Sie dazu, weshalb die Annahme einer Poissonverteilung gerechtfertigt ist, und geben Sie ein Suffizienzargument.
21. Seien X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilt nach der Gleichverteilung auf (ϑ, ϑ +
1), wobei n > 1 und ϑ ∈ R. Wir bezeichnen mit fϑ die Dichte von X = (X1 , . . . , Xn ).
(a) Zeigen Sie, dass
Ä
ä
T (X) = sup{ϑ ∈ R | fϑ (X) > 0}, 1 + inf{ϑ ∈ R | fϑ (X) > 0}
eine suffiziente Statistik für ϑ ist.
(b) Ist T aus Teil i) minimal suffizient?
Hinweis: Betrachten Sie die Ordnungsstatistiken X(1) und X(n) .
Definition.
Eine suffiziente Statistik U für ϑ ∈ Θ heißt minimal suffizient, wenn für jede andere suffiziente Statistik S für ϑ ∈ Θ eine messbare Funktion ψ existiert, so dass fast sicher U = ψ(S)
gilt.
22. Es sei (Bt , t > 0) eine Brownsche Bewegung. Es wird Xt := σBt + at mit σ > 0
unbekannt und a ∈
unbekannt zu den n Zeitpunkten h, 2h, . . . , T := nh mit h > 0
beobachtet.
R
(a) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung der ∆Xk := Xkh −X(k−1)h , k ∈ {1, . . . , n}.
(b) Pa,σ2 bezeichne die Verteilung von (∆X1 , ∆X2 , . . . , ∆Xn ) mit Xt := σBt + at.
Bestimmen Sie die Likelihoodfunktion bezüglich P0,1 und weisen Sie nach, dass
Ä
XT ,
n
X
(∆Xk )2
k=1
eine suffiziente Statistik ist.
ä
Aufgabenblatt 7, 2/2
(c) Berechnen Sie das quadratische Risiko von â = XT /T und σ̂ 2 = nk=1 (∆Xk )2 /T
und diskutieren Sie jeweils das Verhalten für T → ∞ bei festem h und für h → 0 bei
festem T .
P
(*d) Simulieren Sie 1000 Realisierungen von Xt = Bt sowie Xt = 0.5Bt + 4t auf dem
Intervall [0, 1] und bestimmen Sie σ̂ 2 jeweils für h ∈ {0.1, 0.01, 10−4 } anhand der
Beobachtungen Xh , X2h , . . . , X1 . Stellen Sie in jedem der sechs Fälle die Verteilung
des Schätzfehlers σ̂ − σ in einem Histogramm dar. Haben Sie eine Vermutung gegen
welche Verteilung σ̂ − σ bei richtiger Skalierung für h → 0 konvergiert?
Abgabe Donnerstag 02.06.2016 vor der Vorlesung.
Besprechung in der Übung am 06.06.2016.