theoretische informatik und logik

We have just learned from Le Bérarde that a new
accident has occurred on the Pelvoux plateau: a young
man, part of a three-man company from Lyons, has
fallen to his death.
THEORETISCHE INFORMATIK
UND LOGIK
19. Vorlesung: Resolution
– Le Temps, 29 July 1931
Markus Krötzsch
Lehrstuhl Wissensbasierte Systeme
TU Dresden, 28. Juni 2017
Theoretische Informatik und Logik
Markus Krötzsch, 28. Juni 2017
Resolution für Prädikatenlogik
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Unifikation
Unifikationsalgorithmus
Eingabe: Unifikationsproblem G
Ausgabe: allgemeinster Unifikator für G, oder „nicht unifizierbar“
Ein konkreter Algorithmus zum logischen Schließen:
(1) Logische Konsequenz auf Unerfüllbarkeit reduzieren
Wende die folgenden Umformungsregeln auf G an, bis keine Regel mehr zu einer Änderung führt:
(2) Formeln in Klauselform umwandeln
– Formel bereinigen
– Negationsnormalform bilden
– Pränexform bilden
– Skolemform bilden
– Konjunktive Normalform bilden
.
• Löschen: {t = t} ∪ G0 { G0
• Zerlegung:
.
.
.
{f (s1 , . . . , sn ) = f (u1 , . . . , un )} ∪ G0 { {s1 = u1 , . . . , sn = un } ∪ G0
.
.
.
.
• Orientierung: {t = x} ∪ G0 { {x = t} ∪ G0 falls x ∈ V und t < V
(3) Resolutionsverfahren anwenden
– Unifikation zum Finden passender Klauseln
– Bilden von Resolventen bis zur Terminierung
• Eliminierung: {x = t} ∪ G0 { {x = t} ∪ G0 {x 7→ t} falls x ∈ V
nicht in t vorkommt
Wenn G dann in gelöster Form ist, dann gib σG aus.
Andernfalls gib aus „nicht unifizierbar“.
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Markus Krötzsch, 28. Juni 2017
Theoretische Informatik und Logik
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Unifikation von Atomen
Die Resolutionsregel
Ein Unifikator für eine Menge A = {A1 , . . . , An } von prädikatenlogischen Atomen ist eine Substitution θ mit A1 θ = A2 θ = . . . = An θ.
K1 = {A1 , . . . , An , L1 , . . . , Lk } und K2 = {¬A01 , . . . , ¬A0m , L10 , . . . , L`0 },
Beobachtungen:
• Eine Menge von Atomen A ist nur dann unifizierbar, wenn alle
Atome das gleiche Prädikat verwenden, d.h. wenn es ein
`-stelliges Prädikatensymbol p gibt, so dass
Ai = p(ti,1 , . . . , ti,` ) für alle i ∈ {1, . . . , n}.
• Dann ist σ genau dann ein Unifikator für A wenn σ Unifikator
für das folgende Unifikationsproblem GA ist:
.
.
.
.
{t1,1 = t2,1 , . . . , tn−1,1 = tn,1 , . . . , t1,` = t2,` , . . . , tn−1,` = tn,` }
• Insbesondere ist der allgemeinste Unifikator für GA auch der
allgemeinste Unifikator für A
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Die Resolvente von zwei Klauseln der Form
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für welche σ der allgemeinste Unifikator der Menge
{A1 , . . . , An , A01 , . . . , A0m } ist und Li , Lj0 beliebige Literale sind, ist die
Klausel {L1 σ, . . . , Lk σ, L10 σ, . . . , L`0 σ}.
Beispiel: Die Klauseln K1 = {¬Mensch(x), hatVater(x, f (x))} und
K2 = {¬hatVater(z, v), hatKind(v, z)} können resolviert werden. Ein
allgemeinster Unifikator von {hatVater(x, f (x)), hatVater(z, v)} ist
σ = {z 7→ x, v 7→ f (x)}. Die entsprechende Resolvente von K1 und
K2 ist {¬Mensch(x), hatKind(f (x), x)}.
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Theoretische Informatik und Logik
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Resolution: Beispiel (1)
Resolution: Beispiel (2)
Wir hatten die folgende Beispielformel F betrachtet:
Zusammen mit der Klauselform für F erhalten wir die Klauseln:
∀x. (W(x) ∧ ¬L(x)) ∨ (L(x) ∧ ¬W(x))
∧ ∃x.W(x) → (∀x.W(x) ∨ ∀x.L(x))
∧ ∃x.L(x) → ¬(∀x.W(x) ∨ ∀x.L(x))
(Jeder ist Typ W oder Typ L / Ist einer Typ W, dann gibt es hier nur
einen Typ / Ist einer Typ L, dann gibt es hier nicht nur einen Typ)
Folgt aus F , dass alle Typ W sind?
Vorgehen:
• Formalisiere diese Frage: F |= ∀z.W(z)?
• Reduktion auf Unerfüllbarkeit: Ist F ∧ ¬∀z.W(z) unerfüllbar?
• Klauselform: F haben wir bereits in Klauselform gebracht. Wir
können direkt die Klauseln für ¬∀z.W(z) hinzufügen:
– Bereinigte NNF (und Pränexform): ∃z.¬W(z)
– Skolemform (und KNF): ¬W(a) (a ist Skolemkonstante)
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(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
{W(x1 ), L(x1 )}
{¬L(x1 ), L(x1 )}
{W(x1 ), ¬W(x1 )}
{¬L(x1 ), ¬W(x1 )}
{¬W(x2 ), W(x3 ), L(x4 )}
{¬L(x5 ), ¬W(f6 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ))}
{¬L(x5 ), ¬L(f7 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ))}
{¬W(a)}
{L(a)}
(1) + (8) {x1 7→ a}
{¬L(f (x1 , x2 , x3 , x4 , a))} (9) + (7) {x5 →
7 a}
Problem: • ¬L(f (x1 , x2 , x3 , x4 , a)) bedeutet „es gibt Nicht-Lügner“
(bezeichnet mit Termen der Form f (x1 , x2 , x3 , x4 , a))
• Dies sollte z.B. mit (1) „Jeder Nicht-Lügner ist
Wahrheitssager“ resolvieren
• Aber {¬L(f (x1 , x2 , x3 , x4 , a)), L(x1 )} hat keinen Unifikator
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Varianten von Klauseln
Resolution: Beispiel (3)
Wir wissen: ∀x.(F ∧ G) ≡ (∀x.F ∧ ∀x.G)
Mit einer Variante von Klausel (11) gelingt die Resolution:
In Klauselform kann man sich also die Allquantoren direkt vor jeder
einzelnen Klausel denken:
(1)
(2)
∀x1 .{W(x1 ), L(x1 )}
∀x1 .{¬L(x1 ), L(x1 )}
...
(10) ∀x1 , x2 , x3 , x4 .{¬L(f (x1 , x2 , x3 , x4 , a))}
Daher darf man die Variablen jeder Klausel einheitlich
umbenennen, unabhängig von jeder anderen Klausel, z.B.
{¬L(f (x1 , x2 , x3 , x4 , a))}
{
{¬L(f (x10 , x20 , x30 , x40 , a))}
Klauseln, die durch eineindeutige Umbenennung von Variablen
entstanden sind, nennt man Varianten (einer Klausel)
{ Wir bilden bei der Resolution Varianten um Konflikte von
Variablen zu vermeiden
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Resolution: Beispiel (4)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
{W(x1 ), L(x1 )}
{¬L(x1 ), L(x1 )}
{W(x1 ), ¬W(x1 )}
{¬L(x1 ), ¬W(x1 )}
{¬W(x2 ), W(x3 ), L(x4 )}
{¬L(x5 ), ¬W(f6 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ))}
{¬L(x5 ), ¬L(f7 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ))}
{¬W(a)}
{L(a)}
(1) + (8) {x1 7→ a}
{¬L(f (x10 , x20 , x30 , x40 , a))} (9) + (7) {x5 7→ a}
{W(f (x10 , x20 , x30 , x40 , a))} (1) + (10) {x1 7→ f (x10 , x20 , x30 , x40 , a)}
{W(x3 ), L(x4 )}
(11) + (5) {x2 7→ f (x10 , x20 , x30 , x40 , a)}
{L(x4 )}
(12) + (8) {x3 7→ a}
{}
(13) + (10) {x4 7→ f (x10 , x20 , x30 , x40 , a)}
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Der Resolutionsalgorithmus
Eingabe: Formel F
Wir haben durch Resolution die leere Klausel {} abgeleitet
Die leere Klausel bezeichnen wir auch mit ⊥:
• Sie steht für die leere Disjunktion,
• d.h. für eine falsche (unerfüllbare) Behauptung
{ Wir haben gezeigt, dass die Klauselmenge unerfüllbar ist
{ Die geprüfte logische Konsequenz F |= ∀z.W(z) gilt
• Wandle F in Klauselform um { Klauselmenge K0
• Für alle i ≥ 0:
– Ki+1 := Ki
– Für alle Klauseln K1 , K2 ∈ Ki :
• Bilde von K1 und K2 Varianten K10 und K20 , welche
keine Variablen gemeinsam haben
• Bilde alle möglichen Resolventen von K10 und K20
und füge diese zu Ki+1 hinzu
– Falls ⊥ ∈ Ki+1 , dann terminiere und gib „unerfüllbar“
aus
– Falls Ki = Ki+1 , dann terminiere und gib „erfüllbar“ aus
Anmerkung 1: K1 = K2 ist erlaubt und manchmal notwendig
Anmerkung 2: K10 = K1 und/oder K20 = K2 ist möglich, sofern die
Varianten keine gemeinsamen Variablen haben
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Korrektheit des Resolutionsalgorithmus (1)
Korrektheit des Resolutionsalgorithmus (2)
Wir wollen den folgenden Satz schrittweise beweisen:
Beweis (Korrektheit, Fortsetzung): Gegeben:
• Klauseln K1 = {A1 , . . . , An , L1 , . . . , Lk } und
Resolutionssatz: Sei F eine prädikatenlogische Formel und Ki
(i ≥ 0) die vom Resolutionsalgorithmus ermittelten Klauselmengen. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
• F ist unerfüllbar
• Es gibt ein ` ≥ 0 mit ⊥ ∈ K`
Beweis (Korrektheit): Wir zeigen Korrektheit eines
Resolutionsschrittes, dann folgt die Behauptung durch Induktion
über die Schrittzahl. Wir unterscheiden Klauseln K vom Satz ∀K ,
für den sie stehen (=Disjunktion mit allquantifizierten Variablen).
Wir hatten bereits erkannt, dass Varianten von Klauseln deren
logische Konsequenzen sind (in der Notation des Algorithmus:
∀K1 |= ∀K10 und ∀K2 |= ∀K20 ).
Wir zeigen noch die Korrektheit des reinen Resolutionsschrittes.
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K2 = {¬A01 , . . . , ¬A0m , L10 , . . . , L`0 }
• (allgemeinster) Unifikator σ der Menge {A1 , . . . , An , A01 , . . . , A0m }
• zugehörige Resolvente K = {L1 σ, . . . , Lk σ, L10 σ, . . . , L`0 σ}
Sei I eine beliebige Interpretation.
• Falls I |= ∀K1 ∧ ∀K2 , dann gilt auch I |= ∀(K1 σ) ∧ ∀(K2 σ) (die
Substitution konkretisiert eine Allaussage)
• Also gilt für alle Zuweisungen Z: I, Z |= (K1 σ) ∧ (K2 σ)
• Fall 1: I, Z |= A1 σ (= A2 σ = . . . = A0m σ). Dann gilt
I, Z |= L10 σ ∨ . . . ∨ L`0 σ, und damit I, Z |= K
• Fall 2: I, Z 6|= A1 σ (= A2 σ = . . . = A0m σ). Dann gilt
I, Z |= L1 σ ∨ . . . ∨ Lk σ, und damit I, Z |= K
• Also gilt I |= ∀K .
Da I beliebig ist gilt also ∀K1 ∧ ∀K2 |= ∀K – d.h., jede Resolvente
ist logische Konsequenz der resolvierten Klauseln
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Vollständigkeit des Resolutionsalgorithmus
Resolutionssatz: Sei F eine prädikatenlogische Formel und Ki
(i ≥ 0) die vom Resolutionsalgorithmus ermittelten Klauselmengen. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
• F ist unerfüllbar
• Es gibt ein ` ≥ 0 mit ⊥ ∈ K`
Bisher gezeigt: Die zweite Aussage impliziert die erste (Korrektheit)
Vollständigkeit ist die Umkehrung
• Jeder Widerspruch wird irgendwann durch Resolution
gefunden
• Das ist nicht so offensichtlich – wir müssen dazu etwas weiter
ausholen . . .
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We mentioned yesterday that a young man, part of a
company of Alpinists climbing in the area of Le Bérarde,
fell to his death. he was M Jacques Herbrand, residing
at 10 rue Viollet-le-duc, Paris. M Herbrand departed
Sunday with three comrades, MM Jean Brille, Pierre
Delair, and Henri Guigner, to ascend the Baus.
During the descent, the piton to which the line was
attached gave way, carrying with it a small platform on
which M Herbrand was situated, and fell into a chasm.
A rescue party has left to seek the body, which it hopes
to reach today.
– Le Temps, 30 July 1931
Markus Krötzsch, 28. Juni 2017
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Prädikatenlogische Modelle
Wir wollen zeigen: Wenn es kein Modell für eine Formel gibt, dann
leitet Resolution ⊥ ab
Problem: Modelle sind sehr allgemeine Strukturen
• Beliebige Menge als Domäne
• Systematische Betrachtung schwierig
Idee von Herbrand (und Skolem und Gödel):
„Semantik aus Syntax“
Jacques Herbrand
Konstruktion von Modellen direkt aus den Formeln, welche sie
erfüllen sollen
12.2.1908 – 27.7.1931
Markus Krötzsch, 28. Juni 2017
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Herbranduniversum
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Herbrandinterpretationen
Der Kern von Herbrands Idee ist eine „syntaktische“ Domäne:
Sei a eine beliebige Konstante. Das Herbranduniversum ∆F für
eine Formel F ist die Menge aller variablenfreien Terme, die man
mit Konstanten und Funktionssymbolen in F und der zusätzlichen
Konstante a bilden kann:
• a ∈ ∆F
• c ∈ ∆F für jede Konstante aus F
• f (t1 , . . . , tn ) ∈ ∆F für jedes n-stellige Funktionssymbol aus F
und alle Terme t1 , . . . , tn ∈ ∆F
Anmerkung: Das Herbrand-Universum ist immer abzählbar,
manchmal endlich und niemals leer.
Beispiel: Für die Formel F = p(f (x), y, g(z)) ergibt sich ∆F =
{a, f (a), g(a), f (f (a)), f (g(a)), g(f (a)), g(g(a)), . . .}.
Markus Krötzsch, 28. Juni 2017
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Mit dem Herbrand-Universum als Domäne kann man
Interpretationen definieren, die Terme „ durch sich selbst“
interpretieren:
Eine Herbrandinterpretation für eine Formel F ist eine Interpretation I für die gilt:
• ∆I = ∆F ist das Herbrand-Universum von F
• Für jeden Term t ∈ ∆F gilt tI = t
I ist ein Herbrandmodell für F wenn zudem gilt I |= F .
Anmerkung: Die Definition stellt Bedingungen an Grundbereich
und Terminterpretation, aber sie lässt auch viele Freiheiten (z.B.
die Interpretation von Prädikatensymbolen)
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Beispiel
Syntax vs. Semantik
Bei Herbrandinterpretationen kann man semantische Elemente
(wie sie in Zuweisungen vorkommen) durch syntaktishe Elemente
(wie sie in Substitutionen vorkommen) ausdrücken:
Betrachten wir wieder die (skolemisierte) Formel
F = ∀x.hatVater(x, f (x)).
Herbranduniversum: ∆F = {a, f (a), f (f (a)), . . .}
Alle Herbrandinterpretationen stimmen auf der Domäne und (dem
relevanten Teil) der Terminterpretation überein.
• I1 mit hatVater
I1
= ∅ ist kein Herbrandmodell
• I2 mit hatVaterI2 = {ht, f (t)i | t ∈ ∆F } ist ein Herbrandmodell
• I3 mit hatVaterI3 = ∆F × ∆F ist ein Herbrandmodell
Lemma: Für jede Herbrandinterpretation I, jede Zuweisung Z für
I, jeden Term t ∈ ∆I und jede Formel F gilt:
I, Z{x 7→ t} |= F
gdw.
I, Z |= F{x 7→ t}
(ohne Beweis, einfach)
Anmerkung: Man kann ein entsprechendes Resultat auch für
Nicht-Herbrand-Interpretationen zeigen. Dann muss man einfach den
Term auf der linken Seite durch tI,Z ersetzen.
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Erfüllbar + Skolem = Erfüllbarkeit bei Herbrand
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Beweis (Fortsetzung)
Behauptung: J ist ein Herbrandmodell von F
Satz: Ein Satz F in Skolemform ist genau dann erfüllbar, wenn F
ein Herbrandmodell hat.
Beweis: (⇐) ist klar, da Herbrandmodelle auch Modelle sind.
(⇒) Sei I |= F ein Modell für F . Wir definieren eine
Herbrandinterpretation J indem wir festlegen:
F hat die Form ∀x1 , . . . , xn .G, wobei G quantorenfrei ist.
• Aus I |= F folgt also I, Z |= G für jede Zuweisung Z für I
• Speziell gilt also für alle t1 , . . . , tn ∈ ∆F :
I, {x1 7→ t1I , . . . , xn 7→ tnI } |= G
• Daraus folgt: I |= G{x1 7→ t1 , . . . , xn 7→ tn } (analog zu Lemma)
• Daraus folgt: J |= G{x1 7→ t1 , . . . , xn 7→ tn }
• pJ = {ht1 , . . . , tn i | ht1I , . . . , tnI i ∈ pI }
(Direkt aus Definition für Atome G; die Aussage kann leicht auf
Anm.: ti sind variablenfrei, daher ist tiI wohldefiniert
größere Boolsche Verknüpfungen von Atomen verallgemeinert
Behauptung: J ist ein Herbrandmodell von F
werden – formal durch strukturelle Induktion)
• Es folgt: J, {x1 7→ t1 , . . . , xn 7→ tn } |= G (Lemma)
Markus Krötzsch, 28. Juni 2017
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Der Schluss gilt für alle t1 , . . . , tn ∈ ∆F , d.h. J |= F .
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Gegenbeispiel
Löwenheim-Skolem
Satz von Löwenheim1 und Skolem: Jede erfüllbare prädiktenlogische Formel hat ein abzählbares Modell (d.h. eines mit abzählbarer Domäne).
Der Satz gilt nicht unbedingt, wenn Formeln nicht in Skolemform sind:
Beispiel: Die folgende Formel ist offensichtlich erfüllbar:
Beweis:
∃x.p(x) ∧ ∃y.¬p(y)
• Jede Formel F kann in erfüllbarkeitsäquivalente Skolemform
F 0 überführt werden
Die Formel verwendet aber keine Funktionen oder Konstanten
{ das Herbrand-Universum ist {a}
• Ist F erfüllbar, so hat F 0 ein (abzählbares) Herbrandmodell
• Man kann aus den Beweisen der Erfüllbarkeitsäquivalenz
erkennen: jedes Modell von F 0 ist auch ein Modell für F
Aber keine Interpretation I mit Domäne {a} ist Modell der Formel,
da in diesem Fall entweder pI = ∅ oder (¬p)I = ∅ ist.
Zum Vergleich die Skolemform der Formel dieses Beispiels:
p(c) ∧ ¬p(d)
Hier gibt es zwei (Skolem-)Konstanten im Herbrand-Universum
{ Es gibt ein Herbrand-Modell mit dieser Domäne
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Historische Anmerkungen
„I follow custom in calling Corollary 6.1.4 the
upward Löwenheim-Skolem theorem. But in fact
Skolem didn’t even believe it, because he didn’t
believe in the existence of uncountable sets.“
– W. Hodges, Model theory, Cambridge 1993
Theoretische Informatik und Logik
1
Leopold Löwenheim2 (1878–1957): deutscher Logiker; 1915 erster
Beweis des obigen Satzes; 1916 Soldat im 1. Weltkrieg; 1934 von den
Nazis zwangspensioniert und als Privatlehrer tätig
2
„Note: One of the best predictors of success in mathematical logic is
having an umlaut in your name“ – S. Aaronson, Quantum Computing since
Democritus. Cambridge, 2013.
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Zusammenfassung und Ausblick
• Der eben gezeigte „Löwenheim-Skolem-Satz“ ist eigentlich
der nach unten gerichtete Satz von Löwenheim und Skolem
(Downward Löwenheim-Skolem Theorem)
• Der nach oben gerichtete Satz von Löwenheim und Skolem
(Upward Löwenheim-Skolem Theorem) besagt, dass jede
erfüllbare Formel auch in Modellen beliebig großer
Kardinalität erfüllbar ist
• Der Legende nach war Skolem die Verwendung seines
Namens in diesem Kontext unangenehm:
Markus Krötzsch, 28. Juni 2017
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Die prädikatenlogische Resolution ist ein
Semi-Entscheidungsverfahren für die Unerfüllbarkeit logischer
Formeln
Man kann Erfüllbarkeit auf Erfüllbarkeit über „syntaktisch
definierten“ Herbrandmodellen reduzieren
Prädikatenlogik kann verschiedene Unendlichkeiten nicht
unterscheiden: Eine Theorie hat beliebig große unendliche Modelle
genau dann wenn sie abzählbare Modelle hat
Was erwartet uns als nächstes?
• Beweis der Vollständigkeit der Resolution
• Logik über endlichen Modellen und ihre praktische
Anwendung
• Gödel
Markus Krötzsch, 28. Juni 2017
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Folie 28 von 29
Bildrechte
Folie 17: Fotografie von Natasha Artin Brunswick, 1931, CC-By 3.0
Markus Krötzsch, 28. Juni 2017
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