Ubungsblatt 8 - RISC-Linz

Mathematik 1 (Analysis)
Sommer 2006
http://www.risc.uni-linz.ac.at/education/courses/ss2006/mathematik1/
Übungsblatt 8
Besprechung am 19.05.2006.
Aufgabe 1 Ein Körper wird mit einer Geschwindigkeit von 10[m/s] vom Erdboden senkrecht
nach oben geworfen. Ermitteln Sie seine Flughöhe w(t) in Abhängigkeit vom Zeitpunkt t, die
maximale Steighöhe, sowie den Zeitpunkt der Wiederkehr.
(Hinweis: Integrieren Sie w00 (t) = −g ' 9.81[m/s2 ] zweimal unbestimmt und ermitteln Sie Integrationskonstanten aus den Anfangsbedingungen w(0) = 0, w0 (0) = 10.)
√
Aufgabe 2 Durch Rotation des Parabelstücks y = 2 x, 0 ≤ x ≤ 1 um die x-Achse entsteht ein
Paraboloid. Skizzieren Sie es und berechnen Sie
a) sein Volumen,
b) seine Mantelfläche.
Aufgabe 3 Seien p(x), q(x) ∈ R[x] Polynomfunktionen mit reellen Koeffizienten, so daß
Q deg(p) <
deg(q) (Grad der Polynome) und q(x) über R in Linearfaktoren zerfällt, d.h. q(x) = a 1≤i≤r (x −
bi )ni mit reellen Zahlen a, bi und ganzen Zahlen ni > 0. Dann existiert eine Partialbruchzerlegung,
d.h.
X
p(x)
=
q(x)
X
1≤i≤r 1≤j≤ni
ci,j
(x − bi )j
mit reellen Koeffizienten ci,j . Überprüfen Sie diese Aussage an folgenden Beispielen:
•
p(x)
x2 + x + 1
=
q(x)
(x − 3)(x − 4)(x − 5)
•
p(x)
x2 + x + 1
=
q(x)
(x − 1)3
(Hinweis: Ansatz auf Hauptnenner bringen und Koeffizienten vergleichen.)
Aufgabe 4 Berechnen Sie Stammfunktionen von
fa,b,c,r (x) =
a
(bx + c)r
für a, b, c ∈ R und r > 0 ganze Zahlen. (Beachten Sie insbesondere den Fall r = 1.)
Zeigen Sie, daß sich eine rationale Funktion p(x)/q(x), wobei q(x) über R in Linearfaktoren zerfällt
(aber nicht notwendigerweise deg(p) < deg(q)), elementar integrieren läßt. Skizzieren Sie einen
Algorithmus.
(Bemerkung: Reelle Polynome zerfallen immer in lineare und quadratische Faktoren. Falls in
der Faktorisierung von q(x) quadratische Faktoren auftreten, existiert ebenfalls eine elementare Stammfunktion, diese involviert dann aber auch die arctan-Funktion.)
Aufgabe 5 Schreiben Sie ein Maple-Programm, das eine numerische Näherung an das Integral
Z 1
2
e−x d x
0
liefert. Verwenden Sie dazu Riemannsummen der Form
Un =
n
X
2
e−xj ∆x,
On =
j=1
n
X
2
e−xj+1 ∆x
j=1
mit xj = j∆x, ∆x = 1/n und versuchen Sie ∆x bzw. n so zu bestimmen, dass O − U ≤
0.01 ist, das Ergebnis also auf 2 Stellen genau ist. Vergleichen Sie auch mit dem Maple-Befehl
evalf(sqrt(Pi)/2*erf(1)). Untersuchen Sie warum tatsächlich
Z
Un ≤
1
2
e−x d x ≤ On
0
gilt und warum die Abweichung vom Wert des Integrals kleiner als On − Un ist.