r d2⋅rr e−ikr - Ing. Johannes Wandinger

Akustik Lösungsblatt 4.3
Aufgabe 1:
Zusammenhang zwischen kartesischen und sphärischen Koordinaten:
z
P
x r ,  ,=r sin cos
y r , ,=r sin sin
z  r , , =r cos
θ
φ
r
y
x
a) Schalldruck:
Aus der allgemeinen Formel
  
i k 3 Q d 1⋅r
P r =−0 c
4
r
d 2⋅r e−i k r
r
r
folgt mit d 1 =d 1 e x und d 2 =d 2 e y :
i k3 Q d1 d 2 x
P  x , y , z =−0 c
4
r
y e−i k r
r r
  
In sphärischen Koordinaten wird daraus
P r , , =−0 c
i k3 Q d1 d 2
8
e−i k r
.
sin sin 2
r
2
Der quadratische Mittelwert des Schalldrucks berechnet sich zu
6
 2 2 4
1 
2 k Q Q d1 d 2
⟨ p r , , ⟩ = P P =0 c
sin  sin 2 2 .
2 2
2
128  r
2
b) Schallschnelle:
3
−i k r
1 ∂ P c k Q d 1 d2 2
e
V r =−
=
sin  sin2  −i k r −1  2
i  0 ∂ r 
8
r
3
i k Q d1 d 2 2
1 e−i k r
=−
sin sin 2 1
8
ikr r
3
i k Q d1 d2 2
e−i k r P r , ,
≈−
sin  sin2 
=
8
r
0 c

Akustik
4.3-1

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c) Intensität:
 d 21 d 22 4
k6QQ
 ⟨ p2 ⟩
1
1
P
P
=
=0 c
sin  sin 2 2
⟨ I r ⟩T = ℜ  P V r =
2 2
2
2 0 c 0 c
128 r
d) Abgestrahlte Schallleistung:
Die abgestrahlte Schallleistung ist gleich dem Integral der Radialkomponente
der Intensität über die Kugelfläche. Da der Wert für jede Kugeloberfläche
gleich ist, kann über eine Kugelfläche im Fernfeld integriert werden:
2
⟨ Ẇ ⟩ T =∫
0
∫ ⟨
0
2
I r ⟩T r sin d  d 
2 2
6
=0 c


k ∣Q d 1 d 2∣
128 
2



∫ ∫ sin5  d  sin 2 2d 
0
0
Das Integral über den Winkel θ berechnet sich zu
[

4
∫ sin d =− sin cos
5
0
5
=
]


4
4
3
3
 ∫ sin d = ∫ sin  d 
50
5 0
 =0
=
[
 
]
4
1
4
2 16
= −cos cos 3 
= 2− = .
5
3
5
3 15
 =0
Das Integral über den Winkel φ berechnet sich zu
2
[
∫ sin 2  d = 12 − 18 sin 4 
0
2
=2 
]
= .
=0
Damit gilt für die abgestrahlte Schallleistung:
6
2
6
2
k ∣Q d 1 d 2∣ 16 
k ∣Q d 1 d 2∣
⟨ Ẇ ⟩ T =0 c
=
c
0
2
15
120 
128 
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