Lineare Algebra I (WS 12/13) Bernhard Hanke Universität Augsburg 12.12.2012 Bernhard Hanke 1/9 Restklassenringe Wir konstruieren heute wichtige Ringe, die sogenannten Restklassenringe. Definition Sind x, y ∈ Z, so sagen wir, dass x die Zahl y teilt, falls es ein m ∈ Z mit y = mx gibt. In diesem Fall schreiben wir x|y . Beachte, dass x|0 für alle x ∈ Z gilt. Insbesondere haben wir 0|0. Proposition Auf N \ {0} definiert die Teilbarkeitsrelation eine Ordnungsrelation. Bernhard Hanke 2/9 Definition Es sei X eine Menge und R ⊂ X × X eine Relation auf X . I Wir nennen R symmetrisch, wenn für alle x, y ∈ X die Eigenschaften xRy und yRx äquivalent sind. I Wir nennen R eine Äquivalenzrelation, wenn R transitiv, reflexiv und symmetrisch ist. Äquivalenzrelationen werden oft mit dem Zeichen ∼ benannt, statt xRy schreiben wir also x ∼ y . Beispiel I Auf der Menge X der Hörer der Vorlesung Lineare ” Algebra“ definieren wir eine Relation ∼ durch x ∼ y :⇔ x und y ” haben das gleiche Geburtsdatum“. Dies ist eine Äquivalenzrelation. I Es sei X eine Menge. Dann erhält man durch die Setzung x ∼ y :⇔ x = y eine Äquivalenzrelation auf X . Bernhard Hanke 3/9 Proposition Es sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf X . Für jedes x ∈ X sei [x] := {y ∈ X | y ∼ x} ⊂ X die Teilmenge der zu x äquivalenten Elemente in X . Dann gilt I Für alle x ∈ X ist [x] 6= ∅, I für x, y ∈ X gilt entweder [x] = [y ] oder [x] ∩ [y ] = ∅, S X = x∈X [x]. I Definition Es sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf X . I Nach der Proposition zerlegt ∼ die Menge X in paarweise disjunkte Teilmengen [x], x ∈ X . Diese nennen wir Äquivalenzklassen. I Wir bezeichnen die Menge der Äquivalenzklassen mit X /∼. Bernhard Hanke 4/9 Restklassenarithmetik Wir betrachten nun die folgende Relation auf Z: a ∼ b :⇔ n|(a − b). Dies definiert eine Äquivalenzrelation und statt a ∼ b schreiben wir auch a = b mod n. I Die Menge der Äquivalenzklassen wird mit Z/nZ oder auch Z/n bezeichnet. I Die Äquivalenzklassen heißen Restklassen modulo n. Die Menge Z/n hat genau n Elemente, nämlich die Restklassen [0], [1], . . . [n − 1] und es gilt [x] = {x + kn|k ∈ Z}. Proposition Die Addition und Multiplikation auf Z induzieren Verknüpfungen auf Z/n. Zusammen mit [0] als Nullelement und [1] als Einselement ist Z/n ein kommutativer Ring mit 1. Bernhard Hanke 5/9 Bemerkung In Z/n gelten also die Rechenregeln x + y = x + y und x · y = xy . Zum Beispiel ist [3] + [21] = [3] = [10] in Z/7. Definition Es sei (R, +, 0, ·, 1) ein kommutativer Ring mit Einselement. Wir nennen R einen Körper, falls 0 6= 1 und falls für jedes a ∈ R \ {0} ein Element b ∈ R existiert mit ba = 1. Bemerkung Ist R ein Ring und a ∈ R eine Einheit, so gibt es genau ein b ∈ R mit ab = ba = 1. Wir bezeichnen dieses eindeutig bestimmte multiplikative Inverse von a mit a−1 . Bernhard Hanke 6/9 Beispiel I Die Einheiten im Ring Z sind die ganzen Zahlen ±1, I Die Ringe Q, R und C sind Körper, nicht jedoch der Ring Z, I Die Einheiten im Endomorphismenring End(V ) sind genau die Automorphismen V → V , I im Matrixring Mat(n, Z) sind die Einheiten genau die invertierbaren Matrizen, also diejenigen Matrizen A ∈ Rn×n , die einen Isomorphismus Rn → Rn beschreiben. Bernhard Hanke 7/9 Lemma Es sei R ein Köorper und a, b ∈ R. Falls a 6= 0 6= b, so gilt auch a · b 6= 0. Mit anderen Worten: Jeder Körper ist ein nullteilerfreier Ring. Definition Wir nennen eine von Null und Eins verschiedene Zahl p ∈ N eine Primzahl, falls für alle a, b ∈ Z gilt p|(ab) ⇒ p|a ∨ p|b . Proposition Der Ring Z/n ist genau dann ein Körper, falls n eine Primzahl ist. Bernhard Hanke 8/9 Wir haben noch keine Methode, wie wir das Inverse von invertierbaren Elementen in Z/n explizit berechnen. Dieses Problem löst man mit dem Euklidischen Algorithmus. Zunächst wiederholen wir Division mit Rest: Proposition (Division mit Rest) Es seien a, b ∈ N und b > 0. Dann existieren eindeutig bestimmte Zahlen m, r ∈ N mit 0 ≤ r < b so dass a = mb + r . Bernhard Hanke 9/9