Zusammenfassung über die Grundlagen der

Florian Wolf / Jonas Martin
Aus der Reihe: e-fellows.net stipendiaten-wissen
e-fellows.net (Hrsg.)
Band 2553
Zusammenfassung über die Grundlagen der
Zahlenmengen, komplexen Zahlen, Integrationstechniken,
Matrizen u. A.
Stundenprotokolle des Mathematikunterrichts
Skript
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Florian Wolf, Jonas Martin
Aus der Reihe: e-fellows.net stipendiaten-wissen
e-fellows.net (Hrsg.)
Band 2553
Zusammenfassung über die Grundlagen der Zahlenmengen, komplexen Zahlen, Integrationstechniken, Matrizen
u. A.
Stundenprotokolle des Mathematikunterrichts
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Gymnasium am Romäusring
Mathe plus Kurs
Stundenprotokolle
Florian Wolf und Jonas Martin
20. Juli 2017
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
1 Zahlenmengen und Zahlenkörper
1.1 Bekannte Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . .
1.2 Beweis √
durch Widerspruch . . . . . . . . . . . .
1.2.1
2 ist keine rationale Zahl . . . . . . . .
1.2.2 Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . .
1.3 Brüche und Dezimalschreibweisen . . . . . . . .
1.3.1 Beweis verschiedener Zusammenhänge .
1.4 Die Axiomatik des reellen Zahlenraums R; +; ∗
vii
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12
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2 Folgen
2.1 Unterscheidung von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Beschreibungen von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Zusammenhang zwischen Folgengliedern . . . . . . . . . .
2.1.3 Umrechnung zwischen expliziter und rekursiver Darstellung
2.2 Beweisverfahren der vollständigen Induktion . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Eigenschaften von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1.1 Monotonie bei Funktionen . . . . . . . . . . . . .
2.3.1.2 Monotonie bei Folgen . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Untersuchungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2.1 Durch ’Überlegen’ . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2.2 Untersuchung der Differenz . . . . . . . . . . . .
2.3.2.3 Untersuchung des Quotienten . . . . . . . . . . .
2.3.3 Beschränktheit von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Kombination aus Grenzwerten und Monotonie . . . . . . . . . . .
2.5 Die eulersche Zahl e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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26
26
27
3 Komplexe Zahlen
3.1 Axiomatik der reellen Zahlen R; +; ∗ . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Einstieg in die komplexen Zahlen: Der harmonische Oszillator
3.3 Definition der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Herleitung: Die Axiomatik des komplexen Zahlenraums
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iii
Inhaltsverzeichnis
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Axiomatik des komplexen Zahlenraums . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Wurzel negativer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einschub: Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Umwandlung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten .
3.6.4 Umwandlung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten
Multiplikation komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Taylor–Näherung für differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Die Euler’sche Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das harmonische Federpendel mit Reibung . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Integrationstechniken
4.1 Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung . . . . . . . . .
4.1.1 Vorüberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Zusammenhänge zwischen der Physik und der Integration .
4.2 Partielle Integration oder Produktintegration . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Ablauf der partiellen Integration . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Partielle Integration mit der Hilfe komplexer Zahlen . . . .
4.3 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1.1 Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Substitution der Integrationsvariablen . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Trigonometrische Substitution . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Vorgehen bei der Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Fourier-Analyse
5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Fourier-Analyse einer periodischen Funktion . . . . . . . . .
5.3 Exkurs: Fourier-Analyse für nicht periodische Funktionen . .
5.3.1 Beispiel: zeitlicher Rechteck-Impuls (gerade Funktion)
5.3.2 Komplexe Darstellung der Fourier-Transformation . .
5.4 Analogien Fourier-Analyse und Vektorräume . . . . . . . . .
6 Mandelbrot-Menge
6.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Beschränktheit: M ⊂ {c ∈ C : |c| ≤ 2} .
6.2 Implementierung in Python . . . . . . . . . .
6.2.1 Grundlegende Umsetzung . . . . . . .
6.2.2 Quellcode . . . . . . . . . . . . . . . .
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101
102
Inhaltsverzeichnis
7 Matrizen- und Tensorrechnung
7.1 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Umkehrmatrix und Gauß-Jordan-Algorithmus . . . . . . . . .
7.1.2 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2.1 Berechnung einer Determinatnen . . . . . . . . . . .
7.1.2.2 Nutzung der Determinatne . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2.3 Bedeutung der Determinante . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Eigenvektoren und Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3.1 Bildung einer Matrix mithilfe von Eigenwerten und
Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3.2 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren . . .
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. 118
Literatur
119
Index
121
v
Abbildungsverzeichnis
1.1
Wurzel aus 2 auf dem Zahlenstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1
2.2
Entwicklung einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Monotonie von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Der Funktionsgraph von ŝ(t) für eine gedämpfte Schwingung. . .
Die Wurzel aus „−1“ in der komplexen Zahlenebene . . . . . . .
Kartesische Koordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umwandlung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten .
Umwandlung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten
Positionen beim Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionsgraph von ŝ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
4.2
Der Graph von f (x) in den Grenzen von a bis b. . . . . . . . . . . . . . 58
Der Graph von f (t) in den Grenzen von a bis x bzw. x + ∆x . . . . . . 59
5.1
5.2
5.3
Die An-Aus-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Grenzfall eines Intervalls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Nicht-periodischer Rechteckimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1
Visualisierung der Mandelbrot-Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.1
Die Determinante einer Matrix
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45
45
45
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53
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
vii
1 Zahlenmengen und Zahlenkörper
9
1 Zahlenmengen und Zahlenkörper
1.1 Bekannte Zahlenmengen
Zahlenmengen
1.
a) Natürliche Zahlen:
N = {1; 2; 3; . . .}
b) Natürliche Zahlen einschließlich der Null:
N0 = {0; 1; 2; 3; . . .} oder auch N0 = N ∪ {0}.
N0 ist die Vereinigungsmenge "∪"der natürlichen Zahlen und 0. ∪ bedeutet
auch ’oder’.
2. Menge der ganzen Zahlen:
Z = {. . . ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; . . .}
3. Menge der der rationalen (=Verhältnis) Zahlen:
Q = { pq | p ∈ Z ∧ q ∈ N}
In Worten: Der Bruch pq mit den Eigenschaften (|), dass p Element ∈ der
ganzen Zahlen und (∧)q Element der natürlichen Zahlen ist Element der Menge
der rationalen Zahlen.
Die Menge der rationalen Zahlen Q genügt,
um uns bereits bekannte Phänomene zu
√
beschreiben. Man kann beweisen, dass 2 keine rationale Zahl sein kann.
1.2 Beweis durch Widerspruch
Definition 1.2.1
Der Beweis durch Widerspruch ist ein indirekter Beweis. Man zeigt das A gilt
unter der Annahme, dass das Gegenteil von A stimmt und führt diese Behauptung
zu einem Widerspruch.
Beweis durch
Widerspruch
1.2.1
Beweis.
√
2 ist keine rationale Zahl
1. Annahme:
√
p
2 = ; p ∈ Z; q ∈ N
q
Ohne Beschreibung der Allgemeingültigkeit;
hungsweise p und q sind teilerfremd.
2. es folgt:
p2
q2
p2 = 2q 2
2=
10
p
q
ist vollständig gekürzt, bezie-
1.2 Beweis durch Widerspruch
3. Da q ∈ N ist folgt, dass auch q 2 ∈ N ist.
Daraus folgt, dass 2q 2 eine gerade natürliche Zahl ist.
⇒ p2 ist eine gerade natürliche Zahl.
4. p ist eine ganze Zahl, also entweder gerade oder ungerade (oder 0)
a) wenn p gerade ⇒ p2 ist gerade
b) wenn p ungerade ⇒ p2 ist ungerade
Der zweite Fall führt zu einem Widerspruch aus Drittens. Daraus folgt, dass p
gerade sein muss.
5. p kann als 2k geschrieben werden (k ∈ N)
p2 = (2k)2 = 4k 2 = 2q 2
4k 2 = 2q 2
2k 2 = q 2
6. Aus q 2 = 2k 2 folgt, dass q 2 gerade ist.
⇒ q muss gerade sein, analog zu Viertens.
7. q kann als q = 2 ∗ l mit l ∈ N geschrieben werden.
√
p
2k
k
2= =
=
q
2l
l
Der letzte Term führt zu einem Widerspruch. Wenn pq vollständig gekürzt war,
können p und q√nicht gleichzeitig gerade sein.
Unsere
Annahme, 2 kann als Bruch geschrieben werden, muss also falsch sein.
√
⇒ 2∈
/Q
1.2.2 Menge der reellen Zahlen
Die Wurzel aus 2 kann jedoch auf dem Zahlenstrahl eingezeichnet werden:
Es gibt sie also!
Daraus folgt die Definition der reellen Zahlen R.
R := Alle Zahlen, die auf dem Zahlenstrahl zu finden sind. Diese können zum Teil
als rationale Zahlen geschrieben werden (∈ Q) und zum Teil eben nicht. Dann nennt
man sie irrational.
11
√
2 auf dem
Zahlenstrahl