Institut für Technische und Num. Mechanik Technische Mechanik II

Institut für Technische und Num. Mechanik
Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard
Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
Jun.-Prof. Dr.-Ing. J. Fehr
Technische Mechanik II
SS17
L6.1
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L6.3
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L6.4
Siehe Merkblatt M4
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L6.5
Aufgabe 35: Der Außenring eines Rollenlagers rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ωA. Der
Innenring sei fest.
A
B
a) Wie groß ist die absolute Winkelgeschwindigkeit
einer Rolle?
b) Mit welcher Winkelgeschwindigkeit rotiert der
Ortsvektor vom Mittelpunkt des Lagers zum Rollenmittelpunkt?
Wie lauten die Ergebnisse, wenn der Innenring rotiert
(Winkelgeschwindigkeit ωI) und der Außenring fest ist?
Lösung
a) Jede Rolle vollführt eine ebene Bewegung. Die ebene Bewegung eines starren Körpers kann
momentan stets als reine Drehung um den Momentanpol (bzw. als reine Translation, wenn der
Momentandrehpol nach ∞ rückt) aufgefasst werden. Der Momentanpol lässt sich bestimmen,
wenn die Geschwindigkeiten zweier Punkte des Körpers bekannt sind. Dazu betrachten wir hier
die Berührpunkte A und B der Rolle mit dem äußeren bzw. inneren Ring. Als Punkt des äußeren
Rings, der mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ωA rotiert, hat A die Geschwindigkeit
v A = R ωA . Für B ergibt sich als Punkt des feststehenden Innenrings v B = 0 . Andererseits sind
A und B auch Punkte der Rolle, von der sich somit der Momentandrehpols bestimmen lässt. Wegen v B = 0 ist dies gerade der Punkt B (Definition des Momentandrehpols!). Ist ω die Winkelgeschwindigkeit der Rolle, so gilt für vA:
A als Punkt der Rolle
v A = 2 ρ ω = (R − r ) ω
(1)
A als Punkt des Außenrings
v A = R ωA
(1) = (2):
(2)
( R − r ) ω = R ωA
ω=
R
ωA
R−r
(3)
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L6.6
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b) Die Geschwindigkeit v M des Rollenmittelpunktes M ist v M = ρ ω , da M ein Punkt der Rolle
ist. Für die Winkelgeschwindigkeit ωM , mit der der Rollenmittelpunkt M um den Lagermittelpunkt
rotiert, erhält man:
Rollenmittelpunkt als Punkt der Rolle
vM = ρ ω
(4)
Rollenmittelpunkt bezüglich Lagermittelpunkt
v M = ( r + ρ ) ωM
(4) = (5):
ρ ω = ( r + ρ ) ωM
mit (3)
ωM =
(5)
R
R
ρ
ωA = ( ... ) =
ωA
ρ+r R−r
R+r
(6)
Rotiert der Innenring bei feststehendem Außenring, so ist A der Momentandrehpol einer Rolle,
und es ergibt sich auf analogem Weg:
2 ρ ω = r ωI
 ω =
ρ ω = ( r + ρ ) ωM
r
ωI
R−r
 ωM =
r
ωI
R+r
Bemerkung: Für den Drehsinn von ω bzw. ωM gilt in beiden Fällen folgendes:
Außenring
Innenring
rechtsdrehend
feststehend
ωM
rechts
rechts
links
links
rechtsdrehend
links
rechts
linksdrehend
rechts
links
linksdrehend
feststehend
ω