Formelzusammenstellung

Übung zu Mechanik 3 - Formelsammlung
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Formelzusammenstellung
1.Torsion infolge M1
Gegenseitige Verdrehung der Querschnittsflächen
ϕ =
∫ ϑ dx
1
l
Drillung:
ϑ =
dϕ
M1 - a2 Q3 + a3 Q2
=
dx1
GJ T
a2, a3 : Koordinaten des Schubmittelpunktes M
Torsionsschubspannung:
τT =
M 1 - a2 Q3 + a3 Q2
WT
Lage des Schubmittelpunktes M bei dünnwandig offenen Profilen
-
Symmetrieachsen sind geometrische Orte von M. Doppelsymmetrie: M ≡ S
Schneiden sich bei Polygonquerschnitten sämtliche Profilmittellinien in einem
Punkt, so ist dieser der Schubmittelpunkt M.
Berechnung der Koordinaten des Schubmittelpunktes a 2, a3 :
a2 = aˆ2 + x2 B
a3 = aˆ3 + x3 B
x2B , x3B: Koordinaten des beliebigen Bezugspunktes B
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allgemeine Querschnitte
aˆ2 = -
1
J 22
1
aˆ3 = +
J 33
Polygonquerschnitte
l
aˆ2 = -
∫ rˆt ( s) S3 (s ) ds
0
l
aˆ3 = +
∫ rˆt ( s) S2 (s ) ds
0
r̂t (s) S2,3( s) positiv im Gegenuhrzeigersinn
∫ x (s ) δ ( s) ds
1
J 33
∑T
i
* i
3
t
rˆ
i
i
* i
2
t
T3* =
i
∫ S (s ) ds
2
ih
s
∫ x ( s) δ (s ) ds
T2* =
i
2
0
rˆt ( s ) = rˆt ( s) =
∫ S (s ) ds
3
ih
rˆt (s ) • rˆt ( s)
rˆt ( s ) = xˆ ( s ) × b1 ( s )
Einheitstangentenvektor: b1 ( s ) =
dxˆ ( s )
ds
Ortsvektor: xˆ ( s) = xˆ2 (s ) e2 + xˆ3 (s ) e3
rˆ
T2*,3 i r̂t positiv im Gegenuhrzeigersinn
i
3
0
S 2 (s ) =
∑T
Ersatzschubkräfte:
s
S 3 ( s) =
i
1
J 22
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Sonderfälle in der Wahl des Bezugspunktes B
B ≡ S : x2B = 0
→
a2 = â 2
x 3B = 0
→
a3 = â 3
B ≡ M : x2B = a2
x 3B = a3
→
→
â2 = 0
â 3 = 0
allgemeine Querschnitte
Polygonquerschnitte
∑
l
∫ rˆˆt (s ) S3 ( s) ds = 0
→
a2
∑
l
→
a3
i
( x (s)
→
a2
i
T2* irˆˆt = 0
→
a3
i
0
rˆˆt ( s ) =
T3* ir̂ˆt = 0
i
0
∫ rˆˆt (s ) S 2 ( s) ds = 0
i
- a2 e2 - a3 e3 ) × b1 ( s )
rˆˆt = f ( irt , a2 , a3 )
Abstand der Profilmittellinie i vom
Schubmittelpunkt M
x ( s ) = x2 e2 + x3 e3
von S ausgehender Ortsvektor
Torsionsträgheits- und Torsionswiderstandsmomente
1. Vollquerschnitt
JT
J T = J P = 2 J 22
JT
1
=
π R4
2
JT = η3 b3 h
WT
WT =
1
π R3
2
WT (1) =
η2b 2h
η1
W2(2 ) = η2 b 2h
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h
b =
η1
η2
η3
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1
1,5
2
3
4
6
8
10
∞
1,000
0,208
0,140
0,858
0,231
0,196
0,796
0,246
0,229
0,753
0,267
0,263
0,745
0,282
0,281
0,743
0,299
0,299
0,743
0,307
0,307
0,743
0,313
0,313
0,743
0,333
0,333
2. Kreisringquerschnitt
JT
WT
dickwandig:
JT =
(R
1
π
2
- r4 )
4
WT =
π
2R
(R
- r4 )
4
dünnwandig:
J T = 2 π rm δ
WT = 2 π rm δ
JT
WT
3
3. Dünnwandig geschlossene Querschnitte
δi
2
4 Am2
h
∑i δ ii
JT =
WT = 2 Am δ
Am
Spannungsverlauf über die
Querschnittsdicke
hi
4. Dünnwandig offene
Querschnitte
JT
JT = ξ
δi
1
3
WT
∑h δ
i
JT
δ
JT
min WT =
max δ
WT =
3
i
i
hi
Spannungsverlauf über die
Querschnittsdicke
Querschnittsform
ξ-Werte
0,99
1,12
1,12
1,31
1,29
1,0
1,0
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2. Die sechs Grundaufgaben der Geradlinigen Bewegung
Auftretende Größen:
Zeit:
t
[s]
Ort:
x
[m]
Geschwindigkeit:
v
[m/s]
Beschleunigung:
a
[m/s2 ]
Die kinematischen Größen sind entweder in Abhängigkeit von der Zeit t oder von einer der
beiden kinematischen Größen x oder v gegeben. Die Funktionen sollen invertierbar sein.
Lösung der Grundaufgaben u.U. mit den Anfangsbedingungen zur Zeit t = t0:
x0 = x(t0), v0 = v(t0)
1. Grundaufgabe
Gegeben:
x = x(t)
Dx &
=x
Dt
Dv D2 x &&
a(t) =
=
=x
Dt Dt 2
v(t) =
2. Grundaufgabe
Gegeben:
v = v(t)
a( t) =
Dv &
=v
Dt
t
~ ~
x(t) = x 0 + ∫ v ( t ) D t
t0
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Seite 75
3. Grundaufgabe
Gegeben:
a = a(t)
t
~ ~
v( t) = v 0 + ∫ a( t ) D t
t0
t t
x( t) = x 0 + v 0 (t - t 0 ) +
~ ~ ~
a
(
∫ ∫ t ) D t Dt
t0 t0
4. Grundaufgabe
Gegeben:
v = v(x)
v( x ) =
Dx
Dt
→
Dt =
Dx
v(x)
D~
x
∫ ~
x0 v( x)
x
t( x) = t0 +
a( x ) =
Dv Dv Dx Dv
=
=
v(x)
Dt Dx Dt Dx
5. Grundaufgabe
Gegeben:
a = a(x)
a( x ) =
Dv
v(x)
Dx
→
a(x) Dx = v(x) Dv
x
v( x ) = v + 2 ∫ a(~
x ) D~
x
2
0
x0
weiter 4. Grundaufgabe
6. Grundaufgabe
Gegeben:
a = a(v)
Dv
a( v ) =
Dt
D~
v
t(v ) = t0 + ∫ ~
v 0 a( v )
v
→
nach Inversion weiter 2. Grundaufgabe
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3. Der schiefe Wurf
a1 =
Dv 1
=0
Dt
→ v1 = v0 cos ϕ0 = konstant
a2 =
Dv 2
=-g
Dt
→ v2 = v0 sin ϕ0 – g t
Bewegungsgleichung:
x 1 (t ) = v 0 cos ϕ 0 t
x 2 (t ) = h 0 + v 0 sin ϕ 0 t Wurfparabel:
1 2
gt
2
(Elimination von t)
x 2 = x2 ( x1) = h0 + x1 tan ϕ0 -
g
x12
2
2
2 v 0 cos ϕ0
Spezielle Werte:
a) Wurfzeit t1:
v sin ϕ 0
 v sin ϕ 0
t1 = 0
+  0
g
g

b) Wurfhöhe max x2:
v 20
max x 2 = h 0 +
sin 2 ϕ 0
2g
c) Wurfweite xw :
x w = v 0 cos ϕ0 t1
z.B. für h0 = 0:
2
2 h0

 +
g

v 20
xw =
sin 2ϕ 0
g
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4. Bewegungsgleichung in Zylinderkoordinaten
4.1
Lage des materiellen Punktes X
x = xi (t) e i = x1(t) e1 + x 2 (t) e 2 + x 3 (t) e 3
4.2
Übergang zu Zylinderkoordinaten
x i = xi {ρ(t ), ϕ(t), Θ3 ( t )} →
 x 1 = ρ cos ϕ

 x2 = ρ sin ϕ
 x =Θ
3
 3
x = ρ cos ϕ e 1 + ρ sin ϕ e 2 + x 3 e 3
4.3
Neues, orthonormiertes Basissystem im materiellen Punkt X
∂x
= cos ϕ e1 + sin ϕ e 2
∂ρ
1 ∂x
eϕ =
= - sin ϕ e1 + cos ϕ e 2
ρ ∂ϕ
∂x
e3 =
= e3
∂x3
eρ =
x = ρ e ρ + x3 e 3
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4.4
Geschwindigkeit
v=
4.5
Dx
Dt
→
v = x& 1e 1 + x& 2 e 2 + x& 3 e 3

v = ρ& e ρ + ρ ϕ& e ϕ + x& 3 e 3
v ρ = ρ& =
Radialgeschwindigkeit
v ϕ = ρ ϕ& =
Tangentialgeschwindigkeit
v = x& 3 =
Axialgeschwindigkeit
Beschleunigung
D2 x
a= 2
Dt
4.6
Seite 78
→
a = &x&1e1 + &x&2e 2 + &x&3e 3

& 2 e ρ + (ρ &ϕ& + 2 ρ& ϕ& ) e ϕ + &x&3e 3
a = &ρ& - ρ ϕ
(
)
a ρ = &ρ& - ρ ϕ& 2 =
Radialbeschleunigung
&=
a ϕ = ρ &ϕ& + 2 ρ& ϕ
Tangentialbeschleunigung
a 3 = &x&3 =
Axialbeschleunigung
Sonderfälle
4.6.1 Bewegung auf einer Zylinderfläche, ρ = konst., ρ& = 0:
v = ρ ϕ& e ϕ + x& 3 e 3
&& e ϕ + &x&3 e 3
a = - ρ ϕ& 2 e ρ + ρ ϕ
4.6.2 Ebene Kreisbewegung, x3 = 0, ρ& = 0:
v = ρ ϕ& e ϕ
a = - ρ ϕ& 2 e ρ + ρ &ϕ& e ϕ
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Seite 79
Winkelgeschwindigkeit
ω = ϕ& =
Dϕ
Dt
Winkelbeschleunigung
D2ϕ
& = &ϕ& = 2
ω
Dt
vϕ = ρ ω
tangentiale Geschwindigkeit :
(Bahngeschwindigkeit)
aϕ = ρ ω&
tangentiale Beschleunigung :
(Bahnbeschleunigung)
aρ = - ρ ω = 2
radiale Beschleunigung :
(Zentrifugal-/petalbeschleunigung)
v 2ϕ
ρ
Weitere Begriffe:
Umlaufzeit:
T [s]
Drehzahl:
n [min-1] bzw. υ [s-1]
ω = 2π υ=
T=
1 60
=
υ
n
2π
(für ω = konst.)
T
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Seite 80
5. Kinematik der Relativbewegung
5.1
Darstellung des ebenen Falles
5.2
Beschreibung der Bewegung des materiellen Punktes X
x = x0 + x
x
: Beschreibung der Bewegung des materiellen Punktes im raumfesten Basissystem
x 0 : Beschreibung der Bewegung des Ursprunges 0 bezogen auf das raumfeste
Basissystem
x
: Beschreibung der Bewegung des materiellen Punktes im bewegten Basissystem
5.3
Beschreibung der Geschwindigkeit des materiellen Punktes X
v = v0 + v + Ω × x
v
: Geschwindigkeit des materiellen Punktes bezogen auf das raumfeste Basissystem, Absolutgeschwindigkeit.
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Seite 81
v 0 : Geschwindigkeit des Ursprunges 0 bezogen auf das raumfeste Basissystem
v
: Geschwindigkeit des materiellen Punktes bezogen auf das bewegte Basissystem (Führungssystem), Relativgeschwindigkeit
Ω
: Winkelgeschwindigkeit des Führungssystems
vf
: Führungsgeschwindigkeit
vf = v0 + Ω × x
v = v + vf
5.4
Beschreibung der Beschleunigung des materiellen Punktes X
& × x + Ω × (Ω × x )
a = a0 + a + 2 Ω × v + Ω
a
: Beschleunigung des materiellen Punktes bezogen auf das raumfeste Basissystem, Absolutbeschleunigung
a 0 : Beschleunigung des Ursprunges 0 bezogen auf das raumfeste Basissystem
a
: Beschleunigung des materiellen Punktes bezogen auf das Führungssystem,
Relativbeschleunigung
af
: Führungsbeschleunigung
& × x + Ω × (Ω × x )
af = a0 + Ω
ac : Coriolisbeschleunigung
ac = 2 Ω × v
a = a f + a + ac
5.5
Sonderfälle
5.5.1 Gleichförmige Translationsbewegung des Führungssystems
v = v 0 + v
a0 = 0 , Ω = 0 → 
a = a
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Seite 82
5.5.2 Geradlinig beschleunigte Bewegung des Führungssystems
Ω=0 →
v = v 0 + v

a = a 0 + a
5.5.3 Gleichförmige Rotationsbewegung des Führungssystems
& =0 →
v0 = 0 , a 0 = 0 , Ω
v = v + Ω × x

a = a + 2 Ω × v + Ω × (Ω × x )
andere Darstellung:
a = a + 2 Ω × v − Ω2 h
mit Ω = Ω
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Seite 83
6. Kinematik des starren Körpers
Betrachtung eines momentanen Bewegungszustandes (zeichnerische Darstellung für den
ebenen Fall)
6.1
Allgemeiner Bewegungszustand eines materiellen Punktes X
körperfeste, orthonormierte Basisvektoren ei :
→
x = konstant,
v = 0,
a = 0.
v = v0 + Ω× x
& × x + Ω × (Ω × x )
a=a +Ω
0
6.2
Momenta npol P (ebener Fall)
Definition
des
Momentanpols
P
(momentaner Geschwindigkeitspol):
vp = 0
→
v0 + Ω × xπ = 0
xp =
xp =
Ω × v0
Ω2
v0
Ω
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6.3
Seite 84
Geschwindigkeitszustand eines materiellen Punktes X bei bekanntem Momentanpol
P
Der Geschwindigkeitsvektor v
steht senkrecht auf dem „Pohlstrahl“ P X
v = Ω × (x - x p )
v = Ω ⋅ x - xp
6.4
Allgemeiner Bewegungszustand eines starren Körpers
Mit der Angabe von zwei Kinematen läßt sich die Bewegung eines starren Körpers eindeutig beschreiben. Ist der Momentanpol P bekannt, reicht sogar die Angabe einer kinematischen Größe.
Beispiel: Gegeben sei die Translationsgeschwindigkeit v 0 des Ursprunges 0 und die
Winkelgeschwindigkeit Ω
Betrachtung des materiellen
Punktes X:
v = v0 + Ω × x
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Seite 85
7. Massenträgheitsmomente
7.1 Definition
allgemein:
(
)
Θικ = ∫ X j X j δik - X i Xk ρ dV
V
- über j summieren, j = 1,2,3
- Kronecker-Symbol:
1, für i = k
δik = 
0, für i ≠ k
-
Xi : Achsen durch den Mas-
senmittelpunkt
7.1.1 Axiale Massenträgheitsmomente
(
)
(
)
(
)
Θ11 = ∫ X 2 X 2 + X 3 X 3 ρ dV
V
Θ 22 = ∫ X 1X 1 + X 3 X 3 ρ dV
V
Θ 33 = ∫ X 1X 1 + X 2 X 2 ρ dV
V
7.1.2 Deviationsmomente
Θ12 = Θ 21 = - ∫ X 1X 2 ρ dV
V
Θ13 = Θ31 = - ∫ X 1X 3 ρ dV
V
Θ 23 = Θ 32 = - ∫ X 2 X 3 ρ dV
V
7.1.3 Polares Massenträgheitsmoment
Θ p = ∫ r 2 ρ dV
V
(
)
Θ p = ∫ X 1X 1 + X 2 X 2 + X 3 X 3 ρ dV
V
Θp =
1
(Θ11 + Θ 22 + Θ33 )
2
Übung zu Mechanik 3 - Formelsammlung
Seite 86
7.1.4 Satz von Steiner
Massenträgheitsmomente bezüglich einer um den Betrag a parallel zur Schwerachse verschobenen Achse, z.B.
)
Θ11 = Θ11 + ma 2
7.1.5 Schwerpunkthauptachsen
Die Deviationsmomente bezüglich der Schwerpunkthauptachsen verschwi nden, d.h.
Θ12 = Θ13 = Θ23 = 0
7.2 Beispiele
7.2.1 Punktmassen
a) Mathematisches Pendel
Θ1 = ml2
b) Beliebiger Körper, durch Punktmasse ersetzt
Trägheitsarm
k=
Θ1
m
Θ1 = mk2
7.2.2 Linienmassen
Langer, schlanker Stab mit konstanter Massenbelegung; ρ = konst.
ml 2
Θ1 = Θ M =
,
12
ml 2
Θ2 =
3
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7.2.3 Räumlich verteilte, homogene Massen
a) Quader
a2 + c 2
Θ1 = m
12
 a2 c2 
Θ2 = m  + 
 3 12 
a2 + c 2
Θ3 = m
3
b) Kreiszylinder
1
m R2
2
3
Θ2 = m R 2
2
 R2 l2 
Θ3 = m 
+ 
4
12 

Θ1 =
c) Kegel
3
m R2
10
3
Θ2 =
m 4 R2 + l2
80
Θ1 =
(
d) Kugel
2
m R2
5
7
Θ2 = m R 2
5
Θ1 =
)
Seite 87
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Seite 88
7.2.4 Homogene Hohlkörper
Θ = Θaußen - Θinnen
z.B. Massenträgheitsmoment einer Hohlkugel bezüglich der Schwerachse:
2
2
2 R5 - r 5
2
2
Θ1 = maußen R - minnen r = m 3 3
5
5
5 R -r
7.2.5 Beliebig zusammengesetzte Körper
n
Θ = ∑ Θi
mit n Teilkörpern
ι =1
8. Erhaltungssätze der Dynamik
8.1
Erhaltung der Bewegungsgröße
(auch: „Dynamisches Grundgesetz“, Impulssatz)
Die materielle zeitliche Ableitung der Bewegungsgröße eines Körpers ist gleich der von
außen auf den Körper einwirkenden Kraft.
F=
DB
Dt
Dabei ist B die Bewegungsgröße, für die gilt:
B=
xM: Ortsvektor des Massenmittelpunktes
D
(mx M )
Dt
Übung zu Mechanik 3 - Formelsammlung
Seite 89
Ist die Masse m des Körpers konstant, so erhält man die Bewegungsgröße:
B = m vM
vM: Geschwindigkeitsvektor des Massenmittelpunktes
Der Satz von der Erhaltung der Bewegungsgröße lautet:
F = m aM
„Massenmittelpunktsatz“ bzw. „Schwerpunktsatz“ (bei ho mogenen Körpern)
aM: Beschleunigungsvektor des Massenmittelpunktes
8.2
Erhaltung des Dralls
Die materielle zeitliche Ableitung des Dralles eines Körpers bezogen auf einen raumfesten
Punkt 0 ist gleich dem resultierenden Moment der auf den Körper angreifenden Kräfte bezogen auf den gleichen raumfesten Punkt 0.
M(0) =
DH(0)
Dt
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Seite 90
H(0) ist der Drall bezogen auf den raumfesten Ursprung 0:
H(0) = ∫ (x × v ) dm
V
Entsprechend kann der Drall bezüglich des körperfesten Ursprunges 0 angegeben werden:
H(0) = ∫ (x × v ) dm
V
Setzt man wiederum eine konstante Masse m voraus, lautet der Drallsatz folgendermaßen:
&
M(0) = x 0 × m v& M + x M × m v& 0 + H
(0 )
&
M( 0) = x M × m v& 0 + H
(0 )
Sonderfälle:
a)
0 ist der Beschleunigungspol
v& 0 = 0 :
b)
M liegt auf der Wirkungslinie der Beschleunigung 0
x M || v& 0 :
c)
&
M( 0) = H
( 0)
&
M( 0 ) = H
(0 )
0 und M fallen zusammen
xM = 0 :
&
M (M) = H
(M)
Ebener Bewegungszustand:
–
Sonderfall a) oder b):
& Θ e
M( 0 ) = Ω
3
(0 )
–
oder in Komponentenschreibweise
& Θ
M (0 ) = Ω
( 0)
oder in Komponentenschreibweise
& Θ
M(M) = Ω
(M)
Sonderfall c):
& Θ e
M(M) = Ω
(M)
3
Übung zu Mechanik 3 - Formelsammlung
8.3
Seite 91
Erhaltung der Energie
In einem abgeschlossenen System ist die materielle zeitliche Ableitung der Energie
gleich Null.
E& = 0
8.3.1 Energiebilanz bei Potentialkräften
U + T = konst.
UA + TA = UE + TE
Potentielle Energie U
a)
Gewicht:
U=Gh
b)
Normalkraftfeder:
U=
1
cF f2
2
c)
Momentenfeder:
U=
1
cM ϕ2
2
Kinetische Energie T
a)
Translation:
T=
1
m vM2
2
b)
Rotation:
T=
1
Θ Ω2
2 (M)
Anstelle dieser beiden Anteile kann die kinetische Energie als reine Rotationsenergie bezüglich des Momentanpols bestimmt werden, wenn hier die Sonderfälle a) bis c) des Drallsatzes vorliegen:
T=
1
Θ(P) Ω 2
2
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Seite 92
8.3.2 Arbeitssatz bei Berücksichtigung nicht konservativer Kräfte (z.B. Reibungskräfte)
Ebener Bewegungszustand:
xE 1
∫ F Dx
1
xA1
x E2
1
+
∫F
2
xA2
ϕE
Dx 2 + ∫ M( M) Dϕ = (UE + TE ) - (UA + TA )
ϕA
9. Der Stoß
9.1 Der ebene Stoß
B:
Berührungspunkt
Θa, Θb: Massenträgheitsmomente bzgl. der Massenmittelpunkte Ma und Mb
S1:
Kraftstoß
( )‘:
Geschwindigkeit vor dem Stoß
( )‘‘:
Geschwindigkeit nach dem Stoß
Übung zu Mechanik 3 - Formelsammlung
Seite 93
Auswertung des Schwerpunkt- und des Drallsatzes liefert:
(
)
(
)
(
)
(
)
'
m a v 'Ma1
- v 'Ma1 = - S 1
'
'
m a v 'Ma2
- v Ma2
=0
''
m b v Mb1
- v 'Mb1 = S 1
''
'|
m b v Mb2
- v Mb2
=0
(
)
(
)
Θ a Ω 'a' - Ω 'a = - x 2Ma S 1
Θ b Ω 'b' - Ω 'b = x 2Mb S1
Newton‘sche Stoßhypothese:
''
'
v Bb1
- v 'Ba1
e= '
v Ba1 - v 'Bb1
0,
Stoßziffer e = 
1,
bei plastische m Stoß
bei elastische m Stoß
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Seite 94
9.2 Sonderfall: Der ebene, zentrale, gerade Stoß
Bewegungszustand vor dem Stoß:
Bewegungszustand nach dem Stoß:
Geschwindigkeiten der Massenmittelpunkte nach dem Stoß:
(
)
(
)
'
v 'Ma
= v 'Ma -
mb
'
v 'Ma - v Mb
(1 + e )
ma + m b
'
v 'Mb
= v 'Mb -
ma
'
v 'Mb - v Ma
(1 + e )
ma + m b
Newton‘sche Stoßhypothese:
''
''
v Mb
- v Ma
e= '
'
v Ma - v Mb
Energieverlust:
∆E =
1 ma m b
2 ma + mb
(v
'
Ma
- v'Mb )
2
(1 - e )
2