Quantenmechanik für Bachelor plus Aufgabenblatt 13 – Probeklausur

Quantenmechanik für Bachelor plus
Ludwig-Maximilians-Universität München
Dr. Michael Haack
Aufgabenblatt 13 – Probeklausur
Abgabe: 3. Februar 2014
Erinnerung: Klausur am 13.2., 3 Stunden im Zeitfenster: 8-12 Uhr1 ,
W101 (Prof. Huber Platz 2, Lehrturm)
Aufgabe 1: Kurze Fragen (20 Punkte)
(a) Benutzen Sie [x̂k , p̂j ] = i~δkj , um [L̂z , x̂] = i~ŷ zu zeigen, wobei L̂z =
x̂p̂y − ŷ p̂x gilt. (2 Punkte)
(b) |ψi sei ein normierter Eigenzustand des Operators Q̂ zum Eigenwert q. Be2
rechnen Sie für diesen Zustand die Varianz σQ
= hQ2 i − hQi2 . (2 Punkte)
(c) Warum reicht es bei zeitunabhängigem Potential V (x) die zeitunabhängige
Schrödinger-Gleichung zu lösen, wenn man an der allgemeinen Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung interessiert ist? (2 Punkte)
(d) Wie kann man experimentell feststellen, daß Elektronen Spin-1/2 haben?
(2 Punkte)
(e) Welche Bedingung müssen zwei Operatoren  und B̂ erfüllen, damit sie
einen gemeinsamen Satz vollständiger Eigenfunktionen haben (ohne Herleitung)?
(1 Punkt)
(f ) Q̂ sei ein Hermitescher Operator mit diskretem Spektrum. Zeigen Sie, dass
seine Eigenwerte reell sind. (2 Punkte)
(g) Betrachten Sie die eindimensionale zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
−
~2 d2 ψ(x)
+ V (x)ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
(1.1)
mit einem Deltafunktionspotential V (x) = αδ(x). Zeigen Sie unter der Annahme, dass ψ(x) überall stetig ist, dass der Sprung in der ersten Ableitung von
ψ(x) bei x = 0 gegeben ist durch
dψ
2mα
∆
= 2 ψ(0) .
(1.2)
dx
~
(3 Punkte)
(h) Benutzen Sie die Orthonormiertheit der Eigenzustände |flm i von L̂2 und
L̂z , um zu zeigen:
hflm |L̂x flm i = 0 .
(3 Punkte)
1 Genaue
Zeit unbedingt vor der Klausur auf der Webseite der Vorlesung nachsehen.
1
(1.3)
(i) Die Spin-Operatoren Ŝx und Ŝy vertauschen nicht, [Ŝx , Ŝy ] = i~Ŝz . Verifizieren Sie, dass für den Zustand
1
χ = √ (| ↑i − | ↓i)
2
(1.4)
die Unschärferelation für Sx und Sy erfüllt ist, d.h.
2
1
2
2
.
σSx σSy ≥
h[Ŝx , Ŝy ]i
2i
(1.5)
Hinweis: Sie brauchen die Varianzen nicht explizit auszurechnen. (3 Punkte)
Aufgabe 2: Harmonischer Oszillator∗ (16 Punkte)
Der Hamilton-Operator des eindimensionalen Oszillators mit Masse m und
Kreisfrequenz ω lautet
Ĥ =
p̂2
m
+ ω 2 x̂2 .
2m
2
(2.1)
Sein Spektrum kann durch Einführung der Leiteroperatoren
â± ≡ √
1
(∓ip̂ + mωx̂)
2~mω
(2.2)
gefunden werden. Es bezeichne ψn den normierten Eigenzustand von Ĥ zu dem
Eigenwert
En = ~ω(n + 21 ), n ∈ {0, 1, 2, . . .} .
(2.3)
Es gilt
â+ ψn =
√
n + 1ψn+1
und â− ψn =
√
nψn−1 .
(2.4)
(a) Benutzen Sie die Leiteroperatoren, um hxi = 0 für den n-ten Energieeigenzustand zu zeigen. (3 Punkte)
(b) Nun betrachten Sie ein Teilchen, das sich zur Zeit t = 0 im Zustand
Ψ(x, 0) = A 3ψ0 (x) + 4ψ1 (x)
(2.5)
befindet. Bestimmen Sie zunächst die Normierungskonstante A. (2 Punkte)
(c) Wie lautet Ψ(x, t)?(2 Punkte)
(d) Berechnen Sie hxi und hpi für den Zustand Ψ(x, t). Für hxi werden Sie Teil
(a) brauchen. (6 Punkte)
q
q
24
~
24
mω~
Hinweis: Ergebnis: hxi = 25
cos(ωt)
und
hpi
=
−
2mω
25
2 sin(ωt).
(e) Überprüfen Sie, daß das Ehrenfest-Theorem
d
∂V
hpi = −
dt
∂x
für diese Wellenfunktion gilt. (3 Punkte)
2
(2.6)
Aufgabe 3: Spinpräzession∗ (15 Punkte)
Der Spin eines Spin-1/2 Teilchens in einem gleichförmigen Magnetfeld in z~ = B~ez (B konstant), werde durch die zeitabhängige SchrödingerRichtung, B
Gleichung
i~
dχ(t)
= Ĥχ(t)
dt
(3.1)
beschrieben, mit dem Hamilton-Operator
γB~
Ĥ = −γB Ŝz = −
2
1
0
0
−1
.
(3.2)
Die zugehörige zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ist die Eigenwertgleichung der Matrix Ĥ.
(a) Was sind die möglichen Eigenzustände und Eigenwerte von Ĥ? (2 Punkte)
(b) Wie lautet dementsprechend die allgemeine Lösung der zeitabhängigen
Schrödinger-Gleichung (3.1) mit der Anfangsbedingung
a
χ(0) =
?
(3.3)
b
(2 Punkte)
(c) Berechnen Sie hSx i, hSy i und hSz i für die allgemeine Lösung aus Teil (b)
unter der Annahme, daß a und b aus (3.3) reell sind. (5 Punkte)
(d) Wegen a2 + b2 = 1 kann man ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass a = cos(α/2) und b = sin(α/2). Benutzen Sie die Additionstheoreme
sin(A + B)
=
sin A cos B + sin B cos A ,
cos(A + B)
=
cos A cos B − sin A sin B ,
(3.4)
um zu zeigen hSx i = 21 ~ sin α cos(γBt), hSy i = − 21 ~ sin α sin(γBt) und hSz i =
1
2 ~ cos α. (2 Punkte)
~ ist um den festen Winkel
Interpretation: Der Erwartungswert des Spins hSi
α gegen die z-Achse geneigt und präzediert mit der Larmor-Frequenz ω = γB
um die Richtung es Magnetfeldes.
(e) Wenn der Spin-Zustand zum Zeitpunkt t = 0 durch
1
χ(0) = √ (| ↑i + | ↓i)
2
(3.5)
gegeben ist, was ist die Wahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt t für die x-Komponente des Spins den Wert +~/2 zu messen? (4 Punkte)
Hinweis: Die Eigenspinoren von Ŝx sind
1
1
(x)
√
χ+ =
zum Eigenwert + ~/2
1
2
1
1
(x)
und χ− = √
zum Eigenwert − ~/2 .
−1
2
3
(3.6)
Aufgabe 4: Variabler Potentialtopf ∗ (14 Punkte)
Ein Teilchen der Masse m befindet sich im Grundzustand eines unendlichen
Potentialtopfes der Breite a, d.h. im Zustand
r
πx 2
(4.1)
ψ1 =
sin
a
a
zur Energie
π 2 ~2
.
(4.2)
2ma2
Plötzlich wird der Potentialtopf auf die doppelte Breite verbreitert, d.h. die
rechte Wand wird von a nach 2a bewegt. Dieser Prozeß laufe so schnell ab, daß
die Wellenfunktion zunächst als unverändert angenommen werden kann. In diesem Moment wird nun die Energie des Teilchens gemessen.
E1 =
(a) Was sind die möglichen Meßergebnisse? (2 Punkte)
(b) Mit welchen Wahrscheinlichkeiten werden sie gemessen? (7 Punkte)
Hinweis: Sie müssen den ersten angeregten Zustand (d.h. n = 2) gesondert
betrachten. Außerdem werden Sie die folgende Relation brauchen:
sin y sin z =
1
cos(z − y) − cos(z + y) .
2
(4.3)
(c) Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis und was das zweitwahrscheinlichste?
(2 Punkte)
(d) Was ist der Erwartungswert der Energie? (3 Punkte)
Hinweis: Diese Teilaufgabe sollte im Wesentlichen ohne Rechnung auskommen.
Insbesondere brauchen Sie keine unendliche Reihe aufzusummieren.
Bei Fragen:
[email protected]
∗
: Aufgabe wird korrigiert. Die Punkte dienen nur der Orientierung und haben
keinerlei praktische Konsequenzen.
4