Elementare Zahlentheorie - sigma

Elementare Zahlentheorie
Vorlesung 23
16.01.2007
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(3.9) Lemma. Sei 0 ≤ x ∈ R \ Q und seien xi , ai , i ≥ 0, definiert wie in (3.4), d.h. a0 , a1 , . . . ist die
Kettenbruchentwicklung von x. Seien pi , qi definiert wie in (3.7), d.h. pqnn = [a0 , a1 , . . . , an ]. Dann gilt:
(a) x =
(b)
p2i
q2i
pn xn+1 +pn−1
qn xn+1 +qn−1
p2j+1
q2j+1
<x<
(c) |x −
pn
qn |
≤
für alle n ≥ −1.
für alle i, j ≥ 0.
1
qn qn+1
für alle n ≥ 0.
Beweis. Nach (3.6) ist xi , ai definiert für alle i ≥ 0.
(a) Induktion über n:
n = −1:
p−1 x0 +p−2
q−1 x0 +q−2
n > −1:
pn xn+1 +pn−1
qn xn+1 +qn−1
= x0 = x.
=
1
pn xn −a
+pn−1
n
1
+qn−1
qn xn −a
n
=
pn +pn−1 xn −pn−1 an
qn +qn−1 xn −qn−1 an
(b) und (c) Aus (a) folgt für alle n ≥ 0: x −
n
qn pn−1 −qn−1 pn (3.7)(f)
= qn (qn x(−1)
.
qn (qn xn+1 +qn−1 )
n+1 +qn−1 )
pn
qn
=
=
pn xn+1 +pn−1
qn xn+1 qn−1
−
pn
qn
=
x.
qn pn xn+1 +qn pn−1 −qn xn+1 pn −qn−1 pn
qn (qn xn+1 +qn−1 )
=
Nach Konstruktion (3.4) ist xi > 0 für alle i ≥ 1. Aus (3.7)(a)
folgen die beiden Ungleichungen in (b). Weiter gilt: |x− pqnn | =
1
qn qn+1 .
(3.10) Satz.
pn−1 xn +pn−2 Induktion
=
qn−1 xn +qn−2
1
qn (qn xn+1 +qn−1 )
an+1 ≤xn+1
≤
1
qn (qn an+1 +qn−1 )
=
(a) Sei 0 < x ∈ R \ Q mit Kettenbruchentwicklung a0 , a1 , a2 , . . .. Dann ist
x = lim [a0 , a1 , . . . , an ].
n→∞
(b) Sei (ai )i∈N0 Folge in N0 mit ai > 0 für i > 0. Dann existiert x := limn→∞ [a0 , a1 , . . . , an ] ∈ R und es gilt
x > 0, x ∈
/ Q. Die Kettenbruchentwicklung von x ist a0 , a1 , a2 , . . ..
Beweis. (a) Nach (3.9) ist |x− pqnn | ≤
⇒ |x − pqnn | → 0 für n → ∞.
1
qn qn+1
für alle n ≥ 0. Nach (3.7)(a) ist (qn )n>0 streng monoton wachsend.
(b) Nach (3.7)(e) folgt für m, n ∈ N, m > n:
pm
qm
liegt echt zwischen
(3.7)(a), (c)
pn
qn
und
pn−1
qn−1
für alle k, l ≥ n
⇒
( pqnn )n∈N ist Cauchy-Folge. Setze x := limn→∞
entwicklung von x ist a0 , a1 , a2 , . . . ⇒ x ∈
/ Q wegen (3.6)(b) ⇒ x > 0.
1
pn
qn .
⇒ | pqkk −
pl
ql |
≤ | pqnn −
pn−1
qn−1 |
Übung: Die Kettenbruch-
www.sigma-mathematics.de/semester8/elmzth/vorlesungen/vorlesung23.pdf
§2
2
Diophantische Approximation
Antike rationale Näherungen für die Kreiszahl π:
3: Bibel.
22
7 : Archimedes, weit verbreitet, heute noch benutzt.
355
113 : China, 5. Jahrhundert.
π = 3, 1415926536 . . .
(3.11) Beispiel. Aus obiger Dezimalentwicklung von π bekommt folgenden Anfang der Kettenbruchentwicklung von π:
i −2 −1 0 1
2
3
4
ai
3 7
15
1
292
pi
0
1
3 22 333 355 103993
qi
1
0
1 7 106 113 33102
Die oben angegebenen Näherungsbrüche für π sind also n-te Näherungsbrüche der Kettenbruchentwicklung von
π. Wie „gut“ sind diese Näherungen? Nach (3.9)(c) gilt:
|π −
p3
1
1
355
| = |π − | ≤
=
< 2, 7 · 10−7 .
113
q3
q3 q4
113 · 33102
Vgl. damit:
|π −
314
| > 1, 5 · 10−3 .
100
Beides sind Näherungen an π durch rationale Zahlen mit 3-stelligem Nenner.
(3.12) Definition. Sei 0 ≤ x ∈ R, p ∈ N0 , q ∈ N.
0
0
0
p
q0
0
gilt: Für alle p ∈ N0 , q ∈ N mit q ≤ q und
p
q
(3.13) Bemerkung. Sei 0 ≤ x ∈ R,
mit q 0 ≤ q, dann ist |x − pq | ≤ |x −
am Besten.)
p0
q0 |
Beweis. Angenommen, |x −
p
q
6=
p
q
heißt diophantische (beste) Approximation von x, falls
ist |xq − p| < |xq 0 − p0 |.
eine diophantische Approximation von x. Dann gilt: Ist p0 ∈ N0 , q 0 ∈ N
0
p
q 0 |.
(Unter allen rationalen Zahlen mit Nennern ≤ q approximiert
p
q
also x
< |x − pq | ⇒ |xq 0 − p0 | < q 0 |x − pq | ≤ q|x − pq | = |xq − p|, Widerspruch.
(3.14) Satz. Sei 0 < x ∈ R \ Q mit Kettenbruchentwicklung a0 , a1 , a2 , . . . und n-ten Näherungsbrüchen
pn
qn = [a0 , a1 , . . . , an ], n ∈ N0 . Dann gilt:
(a) Ist
p
q
eine diophantische Approximation von x, dann existiert ein n ∈ N0 mit
(b) Für alle n ∈ N (nicht n = 0!) ist
Beweis.
(a) Angenommen,
1. Fall: pq <
da q0 ≤ q.
p0
q0
= a0 .
p
q
6=
pn
qn
(3.10)(b)
⇒
pn
qn
pn
qn .
für alle n ∈ N0 .
|x − pq | > |x −
3. Fall: Es existiert ein n ∈ N mit
pn−1
qn−1 |
=
eine diophantische Approximation von x.
p0
q0 |
⇒ |xq − p| > q|x −
2. Fall: pq > pq11 . ⇒ |x − pq | > | pq11 − pq | = q11q |p1 q − q1 p|
|x − pq00 | = |xq0 − p0 |, Widerspruch, da q0 ≤ q.
qpn−1 | = | pq −
p
q
pn−1
qn−1
n+1
< | pqn+1
−
pn+1
p
q < qn+1 (⇒
(3.8)(e), (3.9)(b)
<
pn−1
qn−1 |
1
n+1
− pq | = qqn+1
|pn+1 q − qn+1 p|
|x − pq | > | pqn+1
pn
|x − qn |qn = |xqn − pn |, Widerspruch, da qn < q.
4. Fall: Es existiert ein n ∈ N mit
pn+1
qn+1
|p1 q−q1 p|≥1
<
p
q
<
pn−1
qn−1
q≥1,q0 =1
1
q1 q
≥
≥
|x −
≤
|xq0 − p0 |, Widerspruch,
⇒ |xq − p| >
1
qqn−1
(3.9)(c)
n ungerade) ⇒
pn−1
qn−1 |
|pn+1 q−qn+1 p|≥1
1
≥
qqn+1
≤
p0
q0 |
1
q1
|qn−1 p−qpn−1 |≥1
1
qn−1 qn
≤
=
1
q0 q1
(3.9)(c)
≥
1
qqn−1 |qn−1 p−
⇒ qn < q. Weiter gilt:
⇒ |xq − p| ≥
1
qn+1
(⇒ n gerade). Analog zum 3. Fall.
=
1
qn qn+1 qn
(3.9)(c)
≥
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3
(b) Sei n ∈ N. Wähle p ∈ N0 , q ∈ N0 , q ≤ qn , so dass gilt: |xq − p| = min{|xb − a| | a ∈ N0 , b ∈ N, b ≤ qn }.
Behauptung 1:
p
q
ist diophantische Approximation von x.
0
Beweis: Sei p0 ∈ N0 , q 0 ∈ N, mit q 0 ≤ q und pq 6= pq0 . Angenommen, |xq 0 −p0 | ≤ |xq −p| ⇒ |xq 0 −p0 | = |xq −p|
(Wahl von p, q, denn q 0 ≤ q ≤ qn ) ⇒ xq 0 − p0 = xq − p oder xq 0 − p0 = p − xq ⇒ x ∈ Q, Widerspruch.