Vorlesung Theoretische Mechanik - staff.uni
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Kapitel 1
Rekapitulation empirischer
Tatsachen
1.1
1.1.1
Begriffe
Druck
• messbar
Kraft pro Fläche
• Bei mechanischem Kontakt:
Druckausgleich
• ; Druck überall vorhanden (nicht nur an Oberfläche), überall gleich.
1.1.2
Temperatur
• physiologisch wahrnehmbar mit der Haut
• einordenbar (kälter, wärmer)
• Bei “Wärme”-Kontakt (s.u.)
Temperaturausgleich
• Temperaturausgleich ermöglicht Messvorschrift für Temperaturmessung:
Thermometer“
”
z.B. basierend auf Volumenausdehnung von Flüssigkeiten
Celsius:
Fahrenheit:
100◦ C=
ˆ Wasser siedet
100F: Körpertemperatur
0◦ C=
ˆ Eis schmilzt
0F: Wasser + 50 Prozent
(bei Atmosphärendruck)
Salz schmilzt
5
6
KAPITEL 1. REKAPITULATION EMPIRISCHER TATSACHEN
Weitere Messmethoden:
Elektrischer Widerstand, Strahlungsthermometer
Am saubersten“: Gasthermometer
”
• “Eichung” der Temperaturskala
p·V
(ϑ+273.15◦ C)
Empirisch: Für viele, dünne Gase gilt
(ϑ: Temperatur in Grad Celsius)
= const.
→ Motiviert Definition einer absoluten Temperatur:
T = ϑ + 273.15◦ C; Einheit: Kelvin
Gasgleichung:
p·V
T
N ·kB
= const. = |{z}
ν ·R = |{z}
Anzahl
Teilchen
Anzahl
Mole
mit R = 8.3146 J/K
1 Mol =6
ˆ · 1023 Teilchen
bzw. kB = 1.38 · 10−23 J/K
1.1.3
Boltzmann-Konstante
(1.1)
Wärme
• Temperaturerhöhung wird erreicht durch Zuführung von Energie
z.B. - Mechanische Arbeit (Aufheizung durch Reibung)
- Elektromagnetische Bestrahlung
- Kontakt mit einem wärmeren Körper
• Energiemenge, die im letzteren Fall übertragen wird, wird Wärme genannt
• Konkret: Zwei Körper in Kontakt → Temperaturausgleich
Q = c1 ν1 (T1 − T ) = c2 ν2 (T − T2 )
mit c1 , c2 : spezifische Molwärmen
=
ˆ Energien, die benötigt werden,
um 1 Mol um 1 K zu erhitzen;
substanzabhängig
Beim Wärmeaustausch geht keine Wärme verloren
; Erster Hauptsatz der Thermodynamik“
”
4U
|{z}
Energieänderung
in einem System
=
4Q +
|{z}
zugeführte
Wärme
4W
|{z}
zugeführte oder
geleistete Arbeit
• Kinetische Interpretation des Wärmeflusses
Frage: Falls Wärmefluss ≡ Energiefluss: Welche Energie?
Vermutung (Boltzmann): Kinetische Energie von ungeordneter Bewegung der Teilchen.
1.2. KONZEPTE
7
Argument: Ideales Gas
Kraft
Druck= Fläche
= Impulsübertrag
Fläche ∗ Zeit .
Geschwindigkeitsverteilung im Gas sei P (~v )
bzw. Px (vx ), Py (vy ), · · ·
und dN (vx )=
ˆ Anzahl der Teilchen der
Geschwindigkeit vx ∈ [vx − dv2x , vx +
die in Zeit dt auf Fläche A treffen.
⇒
dN (vx ) =
% ·
|{z}
Dichte
⇒ Impulsübertrag: F · dt =
R
A · dt · vx
| {z }
dvx
2 ],
·Px (vx ) · dvx
Volumen, in dem Teilchen
Oberfläche in dt erreichen
dN (vx )
2vx · m
| {z }
Impulsübertrag
pro Teilchen
⇒ Druck p
=
F
= 2% m
A
Z∞
dvx Px (vx )vx2
=
⇒p·V =N ·
2
3
%m
%m
|
Px (vx )=Px (−vx )
0
hvx2 i
Z∞
=
=
−∞
1
2
% m h~v 2 i = %
3
3
|
2 i=hv 2 i=hv 2 i
hvx
y
z
dvx Px (vx )vx2
hεkin i
| {z }
mittlere kinetische
Energie pro Teilchen
!
· hεkin i = N · kB · T
; Identifikation Temperatur ≡ kinetische Energie:
2
kB T = hεkin i
3
Achtung: Gilt hier, aber nicht immer! (Mehr dazu später).
1.2
1.2.1
Konzepte
Zustandsgrößen
Betrachte zwei Systeme, die in verschiedener Weise in Kontakt sind, z.B.
•
Mechanischer Austauch ↔ Druckausgleich
•
Wärmeaustausch ↔ Temperaturausgleich
•
Materieller Austausch ↔ Ausgleich von
?=
Dichte ?
Nein, denn betrachte Osmose:
; Nicht Dichte, sondern chemisches Potential“.
”
Jedenfalls gibt es eine Größe, die ausgeglichen wird.
?
8
KAPITEL 1. REKAPITULATION EMPIRISCHER TATSACHEN
; Fazit: Es gibt Größen, die sich wenn möglich so einstellen, dass sie im
ganzen System konstant sind
; intensive Zustandsgrößen
(Druck, Temperatur, chemisches Potential)
Der Ausgleich findet durch Austausch zugeordneter additiver Größen statt
; extensive Zustandsgrößen
(Volumen,
?
, Teilchenzahl)
|{z}
(muss mit Wärme
zu tun haben)
(Das Produkt zusammengehöriger intensiver und extensiver Zustandsgrößen
hat die Dimension einer Energie!)
In der Wärmelehre werden Systeme durch ihre Zustandsgrößen charakterisiert:
mechanischer
Austausch
WärmeAustausch
TeilchenAustausch
intensiv
Druck
Temperatur
chemisches Potential“
”
extensiv
Volumen
Entropie“ S
”
dS = δQ/T
Teilchenzahl
Dazu kommt noch: Energie (extensive Zustandsgröße)
1.2.2
Thermisches Gleichgewicht
Bringt man Systeme in Kontakt und schließt sie dann nach außen ab (keine
weitere Energie- bzw. Teilchenzufuhr), so stellt sich nach genügend langer
Zeit ein makroskopisch stationärer Zustand ein: Gleichgewicht.
Makroskopische Zustandsgrößen ändern sich dann nicht mehr, und im System gibt es keine Flüsse.
Im Gleichgewicht beobachtet man eindeutige Beziehungen zwischen den Zustandsgrößen: Zustandsgleichungen.
Beispiel: Zustandsgleichungen des idealen Gases
p V = N kB T ;
Innere Energie U =
3
2
N kB T
Gleichgewicht unabhängig von Entstehungsgeschichte (kein Gedächtnis“)
”
1.3. WISSENSFRAGEN
1.2.3
9
Reversibilität und Irreversibilität
Gedankenexperiment: Betrachte Gas in Druckbehälter“,
”
Serie von Zustandsänderungen
Endzustand 6= Anfangszustand
irreversibel
(i)
(mechanische Energie geht unwiederbringlich verloren.
Zustandsänderungen können nicht umgekehrt ablaufen.)
Infinitesimale Schritte
(infinitesimale Gewichte)
(ii)
→ Unterschied zwischen Anfangs- und Endzustand sehr klein
nahezu reversibel
Fazit: Reversible Zustandsänderungen sind nur möglich, wenn das System
ständig nahezu im thermodynamischen Gleichgewicht gehalten wird.
Sobald es aus dem Gleichgewicht kommt: Irreversible Änderungen
(z.B.
Prozess läuft nur in eine Richtung ab.)
; Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik“
”
Verschiedene Formulierungen :
- Es gibt kein perpetuum mobile 2. Art“, bei dem Arbeit nur durch
”
”
Abkühlung eines Reservoirs gewonnen werden kann.“
- Bei irreversiblen Prozessen nimmt die Entropie zu.“
”
(Zeitpfeil)
- etc.
Darauf kommen wir noch zurück.
1.3
1.
2.
3.
4.
5.
Wissensfragen
Was ist Druck? Wie kann man ihn messen?
Wie kann man Temperatur messen?
Welche Temperaturskalen kennen Sie? Wie sind sie definiert?
Wie lautet die Zustandsgleichung idealer Gase?
Was versteht man unter extensiven und intensiven Zustandsgrößen? Zählen
Sie einige auf.
6. Was versteht man unter dem thermischen Gleichgewicht?
7. Welchen Wert hat die Boltzmann-Konstante?
