Zur Kondensation auf konvexen Oberflaechen

1
Zur Kondensation auf konvexen Oberflächen
I. Teil Experimentelle Zahlenlehre
G. Schulz
Universität des Saarlandes
Fakultät 7 für Physik und Mechatronik
April 2009
Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, die Kondensation von Atomen und Molekülen auf konvexen Oberflächen mit Hilfe zahlentheoretischer Ansätze quantenmechanisch zu beschreiben.
Die Konvexität bzw. positive Krümmung von Oberflächen bewirkt, dass nicht einzelne Partikel, sondern nur ganze Partikelverbände, die sich bereits in der Gasphase gebildet haben müssen, die Kräfte erfahren, die erforderlich sind, die Partikel auf den Oberflächen dauerhaft zu
binden. Die Bildung solcher Partikelverbände aus einer zunächst noch unbekannten, zufälligen Zahl von Einzelpartikeln kann bereits lange vor der Kondensation als sog. kritische Trübung in der Gasphase beobachtet und mit optischen Verfahren auch quantitativ vermessen
werden. Die erratische Größenverteilung dieser Partikelverbände oder "Cluster" hat sich bisher einer exakten Vorausbestimmung entzogen und scheint allein mit zahlentheoretischen
Methoden erfassbar zu sein.
Die Grundzüge der Zahlentheorie auf der Menge der natürlichen Zahlen und ihre wesentlichen Ergebnisse sollen im Folgenden als bekannt vorausgesetzt werden. Um aber genau diese
meist hoch abstrakt formulierten Ergebnisse leichter handhabbar zu machen und damit für die
Anwendungen zu erschließen, sollen die Indices, Parameter und Funktionen, Ableitungen und
Corrolare, die zur Charakterisierung der natürlichen Zahlen dienen, mit Hilfe einfacher (und
möglichst schneller) Operatoren dargestellt und jeder einzelnen Zahl als Muster ihrer Eigenschaften angeheftet werden. Schon diese Muster lassen interessante Zusammenhänge erkennen, die sonst nicht in den Lehrbüchern zu finden sind.
I. Der Ganzzahlteiler T
Von besonderer Bedeutung für den Aufbau aller Operatoren ist der Ganzzahlteiler T(n), der
angibt, wie oft die natürliche Zahl n aus der Menge der natürlichen Zahlen
1 ≤ n ≤ N → ∞ ganzzahlig, das heißt, ohne Rest geteilt werden kann
Τ(n) → τ n
(1)
Dieser Operator besteht aus einem einfachen und sehr schnellen Algorithmus, im Wesentlichen aus der Prüfung, ob die Differenz zwischen dem Quotienten aus der Zahl n und einer der
Zahlen n' < n und dem ganzzahligen Anteil des Quotienten von Null verschieden ist und zählt,
wie viele Zahlen n' diese Bedingung erfüllen. Da die Abfrage nur eine wesentliche Operation
und im Übrigen nur Zuweisungen enthält, ist der Algorithmus außerordentlich schnell. Der
Operator ist so konstruiert, dass er neben dem Ergebnis τ n auch die ganzen Zahlen n' <= n
liefert, durch die n ohne Rest geteilt werden kann und diese in einem Zahlenschema aufgelistet.
© G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre
2
II. Die Zerlegung der Zahlen in ihre Teiler
Teilerschema I z. B. für
n:48
T(48) -> 10
1
2
3
4
6
48
24
16
12
8
8
12
16
24
48
sqrt(n) =
Teilerschema II
z. B. für
6.928
n:15
z. B.
T(15) -> 4
1
3
15
5
5
15
3
1
|sqrt(n)| = 3
sqrt(n) =
Teilerschema III
3.873
n:4
T(4) -> 3
1
2
4
4
sqrt(n) =
6
4
3
2
1
|sqrt(n)| = 6
2.000
2
1
|sqrt(n)| = 2
Aus dem (horizontal wie vertikal antisymmetrischen) Schema der Teiler lesen wir sofort die
bekannte Tatsache ab, dass die Prüfung auf Teilbarkeit durch die Zahlen n' ≤ n nur bis
n'ν max =| n |≡| sqrt (n) |
(2)
durchgeführt zu werden braucht, da ab dann die Zahlen links aufsteigend gleich den Zahlen
rechts aufsteigend sind. Lediglich im Falle, dass die betrachtete Zahl das Quadrat einer Primzahl ist, ist die strenge Antisymmetrie durch eine Leerstelle auf der rechten Seite zu unterbrechen. (Die senkrechten Striche besagen, dass nur der ganzzahlige Teil der nachfolgenden Zahl
genommen werden soll).
III. Das Volumen einer Zahl
Aus dem Schema der Teiler ergibt sich automatisch das sog Volumen V(n) der Zahl n, das
heißt, die Summer aller Teiler einer Zahl außer der Zahl selbst, also
V ( n) =
ν max
∑ (n'ν +n / n'ν ) − n .
(3)
ν =1
In der Zahlentheorie wird anstelle des Volumens häufig die sog. Sigma-Funktion einer Zahl
verwendet. Darunter versteht man die Summe sämtlicher Teiler einer Zahl (einschließlich der
Zahl selbst), also
σ ( n) = V ( n) + n =
ν max
∑ (n'+n / n' ) .
1
In der praktischen Anwendung hat sich die Differenz
© G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre
(4)
3
D ( n) = n − V ( n)
(5)
als nützlich herausgestellt und wird deswegen ebenfalls in die Ergebniszeilen der zu untersuchenden Zahlen eingetragen.
IV Die Eulersche Funktion
Von fundamentaler Bedeutung für die Charakterisierung einer Zahl ist die Eulersche Funktion
phi, also ϕ (n) , die angibt, wie groß die Anzahl N" aller Zahlen n' ' < n ist, die mit n selbst
teilerfremd sind. Bezeichnet GGT(n, n'') den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen, so
gilt in diesem Falle also
ϕ (n) = N "
(6)
wenn
GGT (n, nν ' ' ) = 1 mit ν = 1...N "
(7)
Um gewisse Strukturen oder vielmehr Abweichungen von regulären Strukturen graphisch
leichter erkennen und aussondern zu können, hat sich die relative Eulersche Zahl als nützlich
erwiesen, also
ρ ( n) = ϕ ( n) / n .
(8)
Auch für den GGT kann ein sehr schneller Algorithmus angegeben werden, der aber nur zu
Kontrollzwecken benutzt werden sollte, da , wie sogleich noch gezeigt werden wird, die
Funktion φ auf anderem Wege einfacher und vor allem schneller berechnet werden kann.
V. Die Primzahlzerlegung.
Bekanntlich kann jede natürliche Zahl durch ein Produkt aus Primzahlen dargestellt werden.
Die weitere Zerlegung der Teiler einer Zahl kann dann offensichtlich nur soweit getrieben
werden, bis der Teilerteiler entweder (trivialerweise) 1 oder eine Primzahl ist, die beide nicht
mehr weiter (ganzzahlig) geteilt werden können. Auf diese Weise erhält man mit Hilfe eines
Teilerteileroperators anstelle des (antisymmetrischen) Schemas der Teiler einer Zahl einen
ganzen Baum der Zerlegung, dessen Astenden mit i verschiedenen Primzahlen besetzt sind.
Die Anzahl i der Primzahlen und die Primzahlen selbst werden der Größe nach geordnet am
Ende der Zeilen als charakteristische Größen einer Zahl eingetragen. Das Produkt dieser
Primzahlen ergibt die Zahl n.
i
n = ∏ pi
αi
(9)
1
Darin sind Produkte gleicher Primzahlen zu Potenzen zusammengefasst. Und für die Eulersche Funktion gilt:
i
i
ν =1
ν =1
ϕ (n) = ∏ pν αν −1 ⋅ ( pν − 1) = n ⋅ ∏ (1 − 1 / pν ) ,
(10)
wie leicht mit Hilfe der vollständigen Induktion bewiesen werden kann. Damit sind alle Größen in der nachfolgenden Tabelle erklärt und einer einfachen und schnellen Berechnung zugänglich gemacht, z. B. für die Zahlen von 1 bis 30:
© G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre
4
Tabelle I (Erläuterungen zu den Tabellen im Text)2
n
V(n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0
1
1
3
1
6
1
7
4
8
1
16
1
10
9
15
1
21
1
22
11
14
1
36
6
16
13
28
1
42
n-V(n) τ(n)
1
1
2
1
4
0
6
1
5
2
10
-4
12
4
6
1
16
-3
18
-2
10
8
22
-12
19
10
14
0
28
-12
1
2
2
3
2
4
2
4
3
4
2
6
2
4
4
5
2
6
2
6
4
4
2
8
3
4
4
6
2
8
φ(n)
ρ(n)
i
1
1
2
2
4
2
6
4
6
4
10
4
12
6
8
8
16
6
18
8
12
10
22
8
20
12
18
12
28
8
1.000000000
0.500000000
0.666666667
0.500000000
0.800000000
0.333333333
0.857142857
0.500000000
0.666666667
0.400000000
0.909090909
0.333333333
0.923076923
0.428571429
0.533333333
0.500000000
0.941176471
0.333333333
0.947368421
0.400000000
0.571428571
0.454545455
0.956521739
0.333333333
0.800000000
0.461538462
0.666666667
0.428571429
0.965517241
0.266666667
1
1
1
2
1
2
1
3
2
2
1
3
1
2
2
4
1
3
1
3
2
2
1
4
2
2
3
3
1
3
pν, ν= 1 ...
1
2
3
2
5
2
7
2
3
2
11
2
13
2
3
2
17
2
19
2
3
2
23
2
5
2
3
2
29
2
2
3
2
3
5
2
2
3
7
5
2
2
3
3
2
7
11
5
2
5
13
3
2
2
3
5
2
3
3
7
Und diese Tabelle kann für alle 1 ≤ n ≤ N → ∞ fortgesetzt werden, das heißt, soweit die numerische Genauigkeit, die Länge der Mantisse des benutzten Rechenwerks ausreichend groß
ist, um die Ganzzahlteilung festzustellen! Zum Beispiel erhält man genau so wie für die Zahlen von 1 bis 1 Mio für die Zahlen von 1 Mio bis 1 Mio + 30:
Tabelle II
n
V(n)
n-V(n)
1000000+
1
10003 989998
2 1000014
-12
3
1 1000002
4 803686 196318
5 613755 386250
6 714314 285692
7
34513 965494
8 2088792-1088784
9
3707 996302
10 963862
36148
11 333341 666670
12 884724 115288
13 148915 851098
14 1000026
-12
15 200009 800006
16 937546
62470
17 507567 492450
18 500012 500006
19
21325 978694
20 2201388-1201368
21
90923 909098
22 514354 485668
23 333345 666678
24 875036 124988
τ(n)
4
8
2
18
16
8
4
96
4
16
4
12
8
8
4
10
12
4
4
48
4
8
4
8
φ(n)
990000
333332
1000002
485056
528768
428568
965496
290304
996304
363600
666672
461520
852624
333336
800008
500000
637560
500008
978696
228480
909100
495232
666680
500008
ρ(n)
0.989999010
0.333331333
0.999999000
0.485054060
0.528765356
0.428565429
0.965489242
0.290301678
0.996295033
0.363596364
0.666664667
0.461514462
0.852612916
0.333331333
0.799996000
0.499992000
0.637549162
0.499999000
0.978677405
0.228475430
0.909080909
0.495221105
0.666664667
0.499996000
© G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre
i
2
3
pν, ν= 1 ... i
101
2
1 1000003
5
2
4
3
3
2
2
29
8 2 2
2
293
4
2
2
3
4
2
3
7
3
2
2
5
5
2
4
3
2
2
2
47
6
2 2
2
11
3
2
2
3
4
2
9901
3 166667
2
53
53
5
163
409
7 71429
34483
2 3 3
17
19
3413
5
11
9091
333337
2
13 19231
373
383
3 166669
200003
2
2
2
3
23
4831
500009
21277
3 5 7
2381
90911
107
4673
333341
2
2 125003
89
43
62501
5
25 421759 578266
26 1241136 -241110
27 231333 768694
28 750028 250000
29 376483 623546
30 800042 199988
24
20
16
6
8
8
691200
333288
793152
500012
645120
400008
0.691182720
0.333279335
0.793130585
0.499998000
0.645101292
0.399996000
5
6
4
3
3
3
5
5
2
3
13
3
7
2
3
2
3
17
6173
103
3
19
73
2 250007
31 10753
5 100003
181
Man betrachte sorgfältig die einzelnen Spalten der Tabellen, Wiederkehrende Zahlen in den
Spalten 2 bis 6 weisen auf gemeinsame Strukturen und übereinstimmende Eigenschaften der
zu untersuchenden Zahlen am Anfang der Zeilen hin. So erhalten wir die folgenden Ergebnisse:
VI. Vollkommene Zahlen.
Zahlen die mit ihrem Volumen übereinstimmen heißen vollkommene Zahlen. Für sie gilt
D(n) = n − V (n) = 0 . Sortiert man die Zahlen von 1 bis 100000 nach diesem Kriterium, so
erhält man die Ergebnistabelle III:
Tabelle III
n
6
28
496
8128
V(n)
n-V(n) τ(n) φ(n)
6
28
496
8128
0
0
0
0
4
6
10
14
2
12
240
4032
ρ(n)
i
0.333333333
0.428571429
0.483870968
0.496062992
2
3
5
7
pν, ν= 1 ... i
2
2
2
2
3
2
2
2
7
2
2
2
2
31
2 2 127
Man erkennt, dass die vollkommenen Zahlen geraden Zahlen sind und ihre Prim-Produkte
dargestellt werden durch
nv = 2 pν −1 ⋅ (2 pν − 1) , sofern (2 pν − 1) selbst eine Primzahl ist,
(11)
wobei i = pν gilt und ν die natürliche Reihenfolge der Primzahlen beschreibt. i = 11 ist eine
Ausnahmen, da man für (2 pν − 1) mit pν keine Primzahl erhält. Fortan brauchen also keine
mühsamen Sortierungen zum Aufspüren von vollkommenen Zahlen benutzt zu werden, sondern können diese nach (11) einfach berechnet werden. Zum Beispiel für ν = 13:
n13 = 212 ⋅ (213 − 1) = 4096 ⋅ 8191 = 33550336 ,
aufgrund der Feststellung, dass 8191 eine Primzahl ist!
VII. Fast vollkommene Zahlen.
Neben der geringen Anzahl von vollkommenen Zahlen sind die fast vollkommenen Zahlen
interessant, deren Volumen sich nur um 1 von der Zahl selbst unterscheidet. Mit dem Auswahlkriterium D(n) = 1 erhält man für die Zahlen von 1 bis 100000
Tabelle IV
n
1
2
4
8
16
32
64
128
256
V(n) D(n) τ(n)
φ(n) ρ(n)
i pν, ν= 1 ... i
0
1
3
7
15
31
63
127
255
1
1
2
4
8
16
32
64
128
1
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.00
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
© G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
512
1024
2048
4096
8192
16384
32768
65536
511
1023
2047
4095
8191
16383
32767
65535
1
1
1
1
1
1
1
1
10
256 0.50
9
11
512 0.50 10
12
1024 0.50 11
13
2048 0.50 12
14
4096 0.50 13
15
8192 0.50 14 2
16 16384 0.50 15 2
17 32768 0.50 16 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Und man erkennt, dass die fast vollkommenen Zahlen die Binärzahlen (Potenzen von 2) sind,
worin die um 1 vermindert Teilerzahlen τ (n) − 1 = ν die natürlichen Zahlen der Reihenfolge
der Potenzen angibt und also gilt
n fv = 2ν ,
(12)
Die fast vollkommenen Zahlen sind also ebenfalls leicht zu berechnen. Leicht aufzufinden
sind auch die zugehörigen charakteristischen Relativwerte der Eulerfunktion ρ (n) = 0.50 .
Ungerade Zahlen sind auch an diesem Ergebnis nicht beteiligt! Zahlen mit D(n) = −1 gibt es
nicht.
VIII. "Ausnahmezahlen"
Mustert man die Tabellen I und II – oder in einem größeren Chart am besten gleich alle Zahlen von 1 bis 1 Mio – dann fällt die Differenz D(n) = −12 besonders in Auge. Die Sortierung
nach diesem Kriterium ergibt, hier willkürlich abgebrochen bei n = 1000, sonst aber beliebig
fortsetzbar, die Ergebnistabelle V:
Tabelle V
n
24
30
42
54
66
78
102
114
138
174
186
222
246
258
282
304
318
354
366
402
426
438
474
498
534
582
606
618
642
654
678
762
786
V(n)
36
42
54
66
78
90
114
126
150
186
198
234
258
270
294
316
330
366
378
414
438
450
486
510
546
594
618
630
654
666
690
774
798
n-V(n)
τ(n)
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
10
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
ρ(n)
i
pν , ν = 1 ... i
0.333333333
0.266666667
0.285714286
0.333333333
0.303030303
0.307692308
0.313725490
0.315789474
0.318840580
0.321839080
0.322580645
0.324324324
0.325203252
0.325581395
0.326241135
0.473684211
0.327044025
0.327683616
0.327868852
0.328358209
0.328638498
0.328767123
0.329113924
0.329317269
0.329588015
0.329896907
0.330033003
0.330097087
0.330218069
0.330275229
0.330383481
0.330708661
0.330788804
4
3
3
4
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
5
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
φ(n)
8
8
12
18
20
24
32
36
44
56
60
72
80
84
92
144
104
116
120
132
140
144
156
164
176
192
200
204
212
216
224
252
260
© G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
5
7
3
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
2
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
3
3
2
19
7
822
834
894
906
942
978
834
846
906
918
954
990
-12
-12
-12
-12
-12
-12
8
8
8
8
8
8
272
276
296
300
312
324
0.330900243
0.330935252
0.331096197
0.331125828
0.331210191
0.331288344
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
137
139
149
151
157
163
Alle "Ausnahmezahlen" sind gerade Zahlen und bis auf n = 304 achtfach teilbar. Des Weiteren sind die Zahlen n = 24 und n = 54 als Sonderfälle zu betrachten, wie man am einfachsten
aus der grafischen Darstellung von φ(n) oder besser noch von ρ(n) erkennt.
0,50
350
300
0,45
250
0,40
200
ϕ(n)
ρ(n)
150
0,35
100
0,30
50
0
0,25
0
200
400
600
800
1000
n
0
200
400
600
800
1000
n
Abb. 1 Eulerfunktion φ und relative Eulerfunktion ρ als Funktion der Zahlenwerte n lassen die Werte erkennen,
die sich nicht in einen monotonen Zusammenhang einordnen lassen.
Bis auf diese drei Sonderfällen sind alle Ausnahmezahlen gerade, achtfach teilbar und ihre
Primprodukte gegeben durch
n A = 2 ⋅ 3 ⋅ pν
(13)
Mit den Primzahlen pν in ihrer natürlichen Reihenfolge. Die Anweisung könnte also lauten:
Man suche eine gerade Zahl, die achtfach teilbar ist und deren Volumen um 12 größer ist als
die Zahl selbst. Dann ergibt die Division dieser Zahl durch 6 eine Primzahl u n d die nächst
größere derartige Zahl dividiert durch 6 genau die nächst größere Primzahl. Da das Volumen einer Zahl bereits mit dem einfachsten (und schnellsten) Ganzzahlteiler anfällt, könnten
auf diese Weise Primzahlen schnell gewonnen werden (wenn es nicht im Bereich der ungeraden Zahlen viel schnellere Methoden gäbe).
Die geraden Zahlen mit D(n) = +12 treten sehr viel weniger häufig auf als die Zahlen mit
D(n) = –12. Für die zugehörigen Primprodukte kann zwar auch eine einfache Formel angegeben werden
n = 2 u −1 ⋅ p x
,
(14)
worin u eine ungerade Zahl aus der Folge der ungeraden Zahlen und p x eine Primzahl mit
monoton wachsendem Wert darstellt, die jedoch aus den übrigen Charakteristika der Zahl n
nicht näher erschlossen werden können.
Gleiche oder wenigstens ähnliche Gruppierungen wie im Bereich der geraden Zahlen sind bei
den ungeraden Zahlen nicht zu erkennen, dafür spielen hier die Quadrate von Teilerzahlen
insbesondere, wenn es sich dabei um Primzahlen handelt, eine wichtige Rolle und führen hin
zu den Fragen, wie häufig gewisse Teilerzahlen auftreten und wie sich diese Häufigkeiten
ändern, wenn in 1 ≤ n ≤ N die obere Grenze N des betrachteten Intervalls immer größer und
größer wird. Insbesondere diese Fragen werden für die physikalische Anwendungen von Bedeutung sein.
© G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre
8
IX. Zahlen als Potenzen ihrer Teiler
"Jede Zahl ist mindestens durch sich selbst und 1 teilbar, also mindestens zweifach teilbar".
Dann ist der dritte Teiler einer Zahl, die dreifach teilbar ist, ein Teiler, der selbst nicht weiter
teilbar ist, also eine Primzahl und die dreifach teilbare Zahl das Quadrat einer Primzahl. Zur
Illustration diene die tabellarische Darstellung im Falle τ (n) = 3 und für höhere Potenzen der
Fall τ (n) = 5
Tabelle VI
n
V(n)
4
9
25
49
121
169
289
361
529
841
961
3
4
6
8
12
14
18
20
24
30
32
n-V(n)
τ(n)
1
5
19
41
109
155
271
341
505
811
929
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
n-V(n)
τ(n)
φ(n)
2
6
20
42
110
156
272
342
506
812
930
ρ(n)
0.500000000
0.666666667
0.800000000
0.857142857
0.909090909
0.923076923
0.941176471
0.947368421
0.956521739
0.965517241
0.967741935
i
pν , ν = 1 ... i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
i
pν , ν = 1 ... i
4
4
4
4
4
4
4
2
3
5
7
11
13
17
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
Tabelle VII
n
V(n)
16
81
625
2401
14641
28561
83521
15
40
156
400
1464
2380
5220
1
41
469
2001
13177
26181
78301
φ(n)
5
5
5
5
5
5
5
Aus τ (nν ) = pn folgt nν = pν
8
54
500
2058
13310
26364
78608
ρ(n)
0.500000000
0.666666667
0.800000000
0.857142857
0.909090909
0.923076923
0.941176471
2
3
5
7
11
13
17
pn −1
2
3
5
7
11
13
17
2
3
5
7
11
13
17
(15)
Außer den Zahlen mit ρ (n) = 0.50 sind alle Zahlen mit dieser Eigenschaft ungeradzahlig. In
Abb. 2 sind diese Verhältnisse grafisch dargestellt.
1,0
100000
0,9
80000
0,8
60000
ρ(n)
ϕ(n)40000
0,7
20000
0,6
0
0,5
0
20000
40000
60000
80000
100000
n
0
20000
40000
60000
80000
100000
n
Abb. 2 Verlauf der Eulerfunktion φ und der relativen Eulerfunktion ρ für dreifach teilbare (schwarze Symbole)
und fünffach teilbare Zahlen (rote Symbole). ρ(n) lässt die Unterschiede wesentlich besser erkennen als φ(n).
© G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre
9
X. Häufigkeit und Mittelwert der Teilerzahlen.
Im Folgenden betrachten wir, wie häufig unter den Zahlen n, 1 ≤ n ≤ N , eine bestimmte Teilerzahl τ auftritt. Diese Häufigkeit wird mit Z(τ) bezeichnet. Durch bloßes Abzählen ergibt
sich für die Zahlen von 1 bis 1000 und vergleichsweise von 1 bis 100000:
25000
2500
20000
2000
N = 1000
N = 100000
15000
1500
Z(τ)
Z(τ)
10000
1000
5000
500
0
0
10
20
30
40
τ
50
60
70
80
90
20
100
40
60
80
100
τ
Abb 3 Häufigkeit der Teilerzahlen τ bei verschieden großer Gesamtzahl N der Zahlen n
Man erkennt, dass sich mit der Verteilung der Z(τ) auch der Mittelwert der τ
N
∑τ ⋅ Z (τ )
τ ≡ τ (N ) =
1
N
∑ Z (τ )
=
1 N
∑τ ⋅ Z (τ )
N 1
(14)
1
mit wachsendem N nach höheren Werten erschiebt und wegen der immer größeren Werte von
der Teilerzahlen auch die Streuung δ immer weiter anwachsen muss
δ ≡ δ (N ) =
N
∑ (τ − τ )
2
⋅ Z (τ ) / N
(15)
1
In Abb. 4a und b ist der Mittelwert τ die Streuung δ als Funktion von N dargestellt:
8
τ
7
τ
δ
τ
6
6
δ
5
τ
δ
4
3
δ
4
a
2
1
b
0
0
200
400
600
800
1000
N
200
N
Abb 4a Mittelwert und mittlere Streuung der Teilerzahlen von 1 bis 1000 mit der deutlich erkennbaren Feinstruktur in Abb. 4b
© G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre
10
Die absolute Häufigkeit Z(N) der Teilerzahlen wächst – nicht "monoton" in strengem Sinne,
aber doch "tendenziell" oder bleibt in diesem Sinne "tendenziell konstant" und nimmt jedenfalls mit wachsendem N über größere Strecken hinweg nicht ab, wie aus Abb. 5a abgelesen
werden kann. Entwicklungen und Strukturen sind jedoch besser aus der relativen Häufigkeit
Z(N)/N zu erkennen.
0,4
4
2,4
8
a
2,0
b
0,3
4
8
1,6
0,2
Z(N) 1,2
4
*10
16
2
0,8
Z(N)/N
16
2
0,1
0,4
32
32
0,0
0,0
0
2
4
6
N *10
8
10
0
4
2
4
N *10
4 6
8
10
Abb. 5a Häufigkeit Z als Funktion der Gesamtzahl N mit τ als Parameter. Abb. 5b Dieselben Werte als relative
Häufigkeiten dargestellt.
0,01
100
9
a
80
b
3
60
τ = 3, 5, 9, 15, 21
Z(N)/N
Zτ(N)
40
15
20
21
5
0
0,00
0
2
4
6
N *10
8
10
4
0
2
4
4 6
N *10
8
10
Abb. 6a Zum Vergleich: Häufigkeit Z als Funktion der Gesamtzahl N mit ungeradzahligem τ als Parameter.
Abb. 5b Dieselben Werte als Wahrscheinlichkeit gedeutet.
Die absoluten Häufigkeiten der ungeradzahligen Teilerzahlen lassen bereits die Strukturen
erkennen, die eine sprungartige (quantenhafte) Zunahme einer Größe darstellen können, mit
einer Stufenbreite, die einer statistischen Verteilung der Zahl von Partikeln entsprechen könnte. (Näheres im III. Teil).
Deuten wir nun aber die relative Häufigkeit Z (τ x ) / ∆N als die "Wahrscheinlichkeit W"
W (τ x ) = Z (τ x ) / ∆N ,
(16)
dafür, das eine bestimmte Teilerzahl τ x in dem Intervall der Breite ∆N = N κ +1 − N κ zu finden
ist, zum Beispiel in Intervallen der Breite ∆N = 10000 in einem Bereich von 1 bis 1 Mio, so
erhalten wir nach dieser Zerlegung des gesamten Intervalls, wie in Abb. 7a dargestellt, ein
scheinbar völlig anderes Verhalten für Mittelwert und Streuung als im Falle, dass diese Größen als Funktionen der Obergrenze des gesamten Intervalls 1 bis N betrachtet werden.
© G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre
11
δ
Mittelwert und Streuung
16
τ
14
12
10
8
0
20
40
Nk
60
80
100
Abb.7a Mittelwert und Streuung über den abgeschlossenen Intervallen der Breite ∆N = 10000 im Bereichvon1
bis 1 Mio.
15
14
13
τ
12
11
10
9
0
20
40
Nk
60
80
100
Abb. 7b Der Verlauf des Mittelwerts der Teilerzahlen wie in 7a, approximiert durch die Funktion
τ = ln(a + b ⋅ N k )
mit a = -19874.202, b = 32924.50 und
χ 2 = 0.0001.
Dass die Streuung stärker ansteigt als der Mittelwert und ab etwa N = 100000 sogar größer als
der Mittelwert wird, hängt damit zusammen, dass mit wachsendem N immer größere Zahlen –
insbesondere auch immer größere Primzahlen – in τ wie in δ eingehen, in δ aber auch unter
der Wurzel einen größeren Effekt haben.
Dieselben Einsichten vermittelt die Darstellung der Wahrscheinlichkeiten in den Abbn. 8
1
W(τ)
W(τ)
0,1
0,0
0,2
0,2
0,2
0,1
20
τ
40
60
0,0
10
W(τ)
5
0,1
20
τ
40
60
0,0
20
τ
40
60
Abb. 8 Wahrscheinlichkeiten als Funktion der Teilerzahlen im ersten, im fünften und im zehnten Intervall, wenn
der Bereich bis zu 1 Mio in zehn Intervalle unterteilt wird (τ-Achsen willkürlich auf 1 bis 60 begrenzt).
© G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre
12
und die Wahrscheinlichkeiten für einzelne τ als Funktion des Mittenwerts der Intervalle
N k = ( N κ + N κ −1 ) / 2 in Abb. 9
-3
3 10
8
τ=4
0,2
2
W τ(Nk)
τ = 3, 5, 9, 15
W (Nk)
τ
16
0,1
1
32
0
64
0,0
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
N
k
Nk
Abb. 9 Wahrscheinlichkeiten im ersten Teil für die binären Teilerzahlen von 4 bis 64 als Funktion der Lage der
Intervalle, wenn man dafür den Mittenwert Nk der Intervalle nimmt, und im zweiten Teil für vier typische ungerade Zahlen..
In Abb. 10 ist für spätere Zwecke der Verlauf der Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl (τ =2!)
in einem Intervall der Breite ∆N = 10000 auf dem Wege von n = 1 bis n = 1 Mio zu finden,
0,16
0,12
x6
Wτ(Nk)
D = - 12
0,08
τ=2
0,04
0,00
0
2
4
6
8
10
Nk
Abb. 10 Wahrscheinlichkeit mit wachsendem Nk eine Primzahl zu finden, in 1 bis 1 Mio, approximiert durch
W ≈ a ⋅ N k , a = 0.11046 ± 0.00091, b = −0.09502 ± 0.0028 . Man beachte die völlig andere Bedeutung
b
der Abszisse hier und in Abb. 5b. Zum Vergleich sind die um den Faktor 6 vergrößerten Werte für die Wahrscheinlichkeiten mit D(n) = - 12 und τ = 8 eingetragen.
dargestellt. Diese Wahrscheinlichkeit scheint mit wachsendem Nk "tendenziell" gegen einen
konstanten Wert zu streben, was mit der grafischen Darstellung allein natürlich nicht "bewiesen" ist. Zum Vergleich ist die Wahrscheinlichkeit, eine "Ausnahmezahl", also eine Zahl mit
D(n) = – 12 und τ = 8 zu finden, (mit dem Faktor 6 versehen) in Abb. 10 eingetragen. Auch
diese Wahrscheinlichkeit scheint gegen einen konstanten Wert zu streben, und da die Ausnahmezahlen, wie aus Tabelle V hervorgeht, durch den Devisor 6 eindeutig auf die Primzahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge abgebildet werden, ist es im Weiteren sinnvoll, nach einem strengen Beweis oder Gegenbeweis für diesen Zusammenhang zu suchen.
© G. Schulz, 2009, Experimentelle Zahlenlehre