Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Die mit dem Stern

Fachbereich Mathematik & Informatik
Philipps-Universität Marburg
Dr. Simon G. Chiossi
Wintersemester 2012
Elementare Topologie – Blatt X(mas)
Abgabe am 16.I.13
Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!
Die mit dem Stern * gekennzeichneten Übungen sind nicht verpflichtend, aber sie liefern
zusätzliche Punkte.
Unten wird immer mit I das reelle Intervall [0, 1] bezeichnet.
(1) Definition. Eine Teilmenge A ⊆ X heißt Retrakt von X, falls eine stetige Abbildung r : X −→ A existiert, so dass r|A = 1A := Identität auf A.
Man nennt dann r eine Retraktion von X auf A.
Äquivalent gilt r ◦ i = 1A ,
i
⊂
- X
A
r
wobei i : A → X die Inklusion ist.
In Kürze: eine Retraktion ist eine stetige Abbildung X → X dessen Bildmenge
fixiert ist.
Beispiele.
• Wendet man auf die Spaltenvektoren einer Matrix A ∈ GL(n, R) das
Gram-Schmidt’sche Orthogonalisierungsverfahren an, so erhählt man
eine Matrix A0 ∈ O(n). Die Abbildung
r : GL(n, R) −→ O(n)
7−→
A
A0
ist eine Retraktion.
•• Man erinnere sich, dass die Relation (0, y) ∼ (1, 1 − y), ∀ y ∈ I, das
Möbiusband M = I 2 /∼ erzeugt.
Betrachte die Inklusion i : S 1 → M, e2πix 7→ (x, 1/2).
Dann ist r : M → i(S 1 )
(x, y) 7→ (x, 1/2)
eine Retraktion.
••• Analog ist S 1 × {s} ein Retrakt des Zylinders Z = S 1 × I, ∀ s ∈ I.
Man beweise:
(a) Jeder Punkt {x} ⊂ X ist ein Retrakt.
(b) Die Retrakte eines abgeschlossenen Intervalls I sind genau die abgeschlossene Teilintervalle I 0 ⊆ I.
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(c) Sei A ⊆ X ein Retrakt. Der von der Inklusion i : A → X induzierten
Homomorphismus i∗ : π1 (A, a) → π1 (X, a) ist injektiv.
(d.h.: π1 (A, a) ⊆ π1 (X, a) ist eine Untergruppe.)
(d) Es existiert keine Retraktion von D2 auf S 1 = ∂D2 .
Möbiusband ' S 1 ' Zylinder
(e) Es gilt:
(2) Man konstruiere eine explizite Retraktion von Rn \ {0} auf S n−1 , dessen Fixpunktmenge genau S n−1 ist.
Hinweis:
Konsequenz:
S n−1 ist homotop-äquivalent zu Rn \ {0}
(N.B. S n−1 ist nicht homöomorph zu Rn \ {0} !)
(3) Finde Beispiele von (wegzusammenhängenden) nicht homöomorphen Paaren
X, Y , deren Fundamentalgruppen π1 (X) ∼
= π1 (Y ) isomorph sind.
(4) Sind die folgenden blauen Teilmenge Retrakten von I 2 ?
(5) Seien X, Y topologische Räume mit gegebenen Punkten x0 ∈ X, y0 ∈ Y . 1 Wir
identifizieren X ≈ X × {y0 } und Y ≈ {x0 } × Y im Produkt X × Y . Man beweise
π1 (X × Y, (x0 , y0 )) = π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 ).
Man folgere daraus die Fundamentalgruppe des Torus T 2 .
Hinweis. Seien [θ] ∈ π1 (X × Y, (x0 , y0 )) und p : X × Y → X, q : X ×
Y → Y die kanonischen Projektionen. Nun betrachte die Abbildung
[θ] 7→ (p∗ [θ], q∗ [θ]).
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In der algebraischen Topologie nennt man (X, x0 ), (Y, y0 ) punktierte Räume.
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(6) Man zeige, dass S 1 ≈ S 1 × {0} Homotopie-äquivalent zum Volltorus S 1 × D2
ist, aber nicht Homotopie-äquivalent zur Torusfläche S 1 × S 1 .
(7) Definition. Sei Z = X × I der Zylinder über dem Raum X. Identifiziere alle
Punkte von X × {1} miteinander (anschaulich gesprochen wird die Deckfläche
des Zylinders zu einem einzigen Punkt zusammengezogen).
Der Faktorraum
Def
C(X) =
X ×I
X × {1}
heißt der Kegel über X.
Beispiel. Es gilt C(S m ) ≈ Dm+1 , ∀ m ∈ N.
Da jeder Punkt zur Spitze verbunden sein kann, ist ein Kegel wegzusammenhängend.
Man zeige, dass C(X) zur Spitze kontrahierbar ist.
Bemerkung. Obwohl CX – geometrisch gesehen – wie ein ‘üblicher’ Kegel
aussieht, kann er mehr offene Mengen besitzen.
Zum Beispiel betrachte X = {(n, 0) ∈ R2 |n ∈ Z+ } und sei Y die Vereinigung
der Strecken Vn zwischen jedem x ∈ X und w = (0, 1). Es ist einfach zu
sehen, dass eine stetige Bijektion CX → Y existiert, aber CX 6≈ Y : nehme
die Menge Un ⊂ Vn der Punkten mit Abstand kleiner als 1/n von w. Dann ist
S
V = n Vn nicht offen in Y ; aber es ist offen in CX, denn das Urbild von V
ist offen in X × I.
Aber lässt sich X in einen euklidischen Raum einbetten, so ist X zu einem
geometrischen Kegel homöomorph: In der Tat, ist X kompakt und Hausdorffsch, so entspricht sein Kegel der Vereinigung aller Strecken von Punkten
x ∈ X zu einer gemeinsamen Spitze.
π
(8) Sei X der Faktorraum von I 2 −→ X, wie unten dargestellt:
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Betrachte den Weg A : I → X, A(t) = (0, t). Man überprüfe, dass τ := π ◦ A
ist eine Schleife in X, derart dass [τ ]2 das Einselement der Fundamentalgruppe
π1 (X) ist.
(9)* Der ‘unendliche Besen’ ist der topologischer Raum X =
[
In , wobei
n∈N
In = t 1, n1 : 0 6 t 6 1
die Strecke zwischen dem Koordinatenursprung
(0, 0) und Pn =
1, n1 kennzeichnet.
Man überlege sich:
i) X ist kontrahierbar zu (0, 0) (& während der Kontraktion bleibt (0, 0) fest);
( X 6' (1, 0) )
ii) Keine Kontraktion zu Q = (1, 0) kann Q festlegen;
iii) Ist X zusammenziehbar zu einem beliebigen Punkt P 6= Q ?
(10)* Für jedes k > 2 sei Xk = Rk \ r der euklidische Raum ohne eine (beliebige)
Gerade r. Berechne die erste Homotopiegruppe von Xk .
Was passiert, wenn wir k = 2 nehmen?
(11)* Sei n > 0, nehme a 6= b ∈ S n . Beweise, dass S n \ {a, b} Homotopie-äquivalent
zu S n−1 ist.
Z.B.:
{(0, ±1, 0)} = S 0 ' S 1 \ {(±1, 0, 0)}
S 1 ' S 2 \ {(0, 0, ±1)}
Hinweis. Sei H : (Rn \ {0}) × I → Rn \ {0} die Homotopie
x
H(x, t) = (1 − t)x + t ||x||
.
(Siehe auch Übung (2).)
Bekannt ist, dass ein Homöomorphismus f : Rn \ {0} → S n \ {a, b}
existiert. (Man denke einfach an die stereographische Projektion Rn ≈
S n \ {a} und steche beide Räume noch einmal durch.)
e t) := f (H(f −1 y, t)).
Nun betrachte H(y,
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Zur Kenntniss: Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass der Körper C der komplexen
Zahlen algebraisch abgeschlossen ist.
Das ist gleichbedeutend mit der Aussage: Jedes nicht konstante Polynom p(z) ∈
C[z] besitzt eine Nullstelle in C.
Es existieren viele Beweise dazu, aber trotz seines Namens kann der Satz nicht
mit rein algebraischen Methoden bewiesen werden. Hier ist ein Argument, das
auf topologischen Begriffen aufbaut.
Wir fassen p(z) als Abbildung der Riemann’schen Sphäre CP1 → CP1 auf, d.h.
wir erweitern p so, dass p(∞) = ∞. Es kann bewiesen werden,2 dass die neue
Abbildung offen ist (das Bild einer offenen Menge ist offen). Da CP1 kompakt
und p stetig ist, ist das Bild p(CP1 ) auch kompakt, ergo abgeschlossen in CP1 .
Damit ist p surjektiv, denn CP1 ist zusammenhängend. Insbesondere gibt es ein
z1 ∈ C, welches auf 0 abgebildet wird.
P
Bemerkung. Von dem Polynom p(z) = ni=0 ai z i lässt sich der zur Nullstelle z1 gehörende Linearfaktor z − z1 abspalten. Durch die Abspaltung ergibt sich ein im Grad um Eins reduziertes Polynom, für das
man das Verfahren wiederholen kann. Deshalb zerfällt jedes nicht konstante Polynom über C komplett in ein Produkt aus Linearfaktoren
Q
p(z) = an nj=1 (z − zj )
wobei die zi die n Nullstellen des Polynoms sind.
Nachfragen:
MZG 08A02 (Campus Lahnberge)
[email protected]
Blätter auf http://calvino.polito.it/˜chiossi/teaching.html
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Aus der Theorie der Funktionen komplexer Variabeln weiß man, dass eine holomorphe (C 1 im
komplexen Sinne) nicht konstante Funktion offen ist.
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