2 Die ganzen Zahlen 8 Lemma 2.8. Es gilt n0=0 und 0n = 0 für alle n

2 Die ganzen Zahlen
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Lemma 2.8. Es gilt n0 = 0 und 0n = 0 für alle n ∈ Z.
Beweis. Sei n ∈ Z. Nach (A3, mit m = n0) ist 0 +n0 = n0. Ebenfalls nach (A3, mit m = 0)
ist 0 + 0 = 0. Dies liefert die ersten beiden Gleichheitszeichen:
(A3)
(A3)
(D)
0 + n0 = n0 = n(0 + 0) = n0 + n0.
Nun wenden wir die Kürzungsregel an (Lemma 2.2 (2)): Wir erhalten 0 = n0.
Ferner ist dann
(M2)
0n = n0 = 0.
Satz 2.5. (1) Es gilt m(−n) = −(mn) und (−m)n = −(mn) für alle m, n ∈ Z.
(2) Für alle m, n ∈ Z gilt (−m)(−n) = mn.
Beweis. (1) Für alle m, n ∈ Z ist
(D)
(A4)
m(−n) + mn = m(−n + n) = m0
(Lemma 2.8)
=
(A4)
0 = −(mn) + mn
Wieder wenden wir die Kürzungsregel an (Lemma 2.2 (2)): Wir erhalten m(−n) = −(mn).
Ferner ist dann
(M2)
(M2)
(−m)n = n(−m) = −(nm) = −(mn).
(2) Für alle m, n ∈ Z gilt
(−m)(−n) = −(m(−n)) = −(−(mn)) = mn,
die ersten beiden Gleichheitszeichen gelten wegen (1), das letzte Gleichheitszeichen beruht
auf Lemma 2.1 (3).
Satz 2.6. Seien m, n ∈ Z mit m 6= 0 und n 6= 0. Dann ist mn 6= 0.
Beweis. Nach Satz 2.1 gibt es vier Möglichkeiten (denn m 6= 0, n 6= 0)
(a)
(b)
(c)
(d)
m ∈ N,
n ∈ N,
m ∈ N, −n ∈ N,
−m ∈ N, n ∈ N,
−m ∈ N, −n ∈ N.
Im Fall (a) ist mn ∈ N. Da 0 ∈
/ N, ist mn 6= 0.
Im Fall (b) verwende Satz 2.5 (1): Es ist −mn = m(−n) ∈ N, also ist −(mn) 6= 0. Nach
Lemma 2.1 (5) ist auch mn 6= 0.
Auch im Fall (c) verwende Satz 2.5 (1): Es ist −mn = (−m)n ∈ N, also ist −(mn) 6= 0.
Nach Lemma 2.1 (5) ist auch mn 6= 0.
Im Fall (d) verwende Satz 2.5 (2): Es ist mn = (−m)(−n) ∈ N, also mn 6= 0.
2 Die ganzen Zahlen
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Satz 2.7. Seien m, n, p ∈ Z mit m < n.
(a) Ist p ∈ N, so ist pm < pn.
(b) Ist p = 0, so ist pm = 0 = pn.
(c) Ist −p ∈ N, so ist pn < pm.
Beweis. (a) Seien m, n ∈ Z mit m < n. Sei p ∈ N. Wegen m < n gibt es ein ℓ ∈ N mit
m + ℓ = n. Dann ist
(D)
pn = p(m + ℓ) = pm + pℓ.
Wegen p, ℓ ∈ N ist auch pℓ ∈ N, also pm < pn.
(b) Dies steht in Lemma 2.8.
(c) Seien m, n ∈ Z mit m < n. Sei −p ∈ N. Nach (a) gilt (−p)m < (−p)n, und nach Satz
2.5 ist (−p)m = −(pm) und (−p)n = −(pn). Also wissen wir: −(pm) < −(pn). Satz 2.3
(4) liefert pn < pm.