Algebraische Topologie (WS 14) - math.uni

Algebraische Topologie (WS 14)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
27.10.2014
Bernhard Hanke
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Definition (Eilenberg-Steenrod-Axiome)
Eine Homologietheorie ist eine Folge von Funktoren
Hn : Top(2) → AbGp ,
n ∈ Z,
und natürlichen Transformationen
∂n : Hn (X , A) → Hn−1 (A, ∅) ,
n ∈ Z,
mit den folgenden Eigenschaften:
Homotopieinvarianz Sind f , g : (X , A) → (Y , B) homotop, dann gilt
f∗ = g∗ : Hn (X , A) → Hn (Y , B) .
Lange exakte Sequenz . . .
Ausschneidung . . .
Bernhard Hanke
Relative Homologie und Ausschneidung
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Definition (Eilenberg-Steenrod-Axiome)
Eine Homologietheorie ist eine Folge von Funktoren Hn und natürlichen
Transformationen ∂n mit den folgenden Eigenschaften:
Homotopieinvarianz Sind f , g : (X , A) → (Y , B) homotop, dann gilt
f∗ = g∗ : Hn (X , A) → Hn (Y , B) .
Lange exakte Sequenz Die Inklusionen A ,→ X und X = (X , ∅) ,→ (X , A)
induzieren eine lange exakte Sequenz
∂
n
. . . → Hn (A) → Hn (X ) → Hn (X , A) −→
Hn−1 (A) → . . .
Ausschneidung Ist U ⊂ A eine Teilmenge mit U ⊂ int(A), dann induziert
die Inklusion (X − U, A − U) → (X , A) Isomorphismen
Hn (X − U, A − U) → Hn (X , A) .
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Relative Homologie und Ausschneidung
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Die Folge von abelschen Gruppen
(Hn ({P}))n∈Z
nennt man die Koeffizienten der Homologietheorie (Hn , ∂n ).
Falls Hn ({P}) = 0 für alle n 6= 0, nennt man die Homologietheorie
gewöhnlich.
Die Homologietheorie erfüllt das Summenaxiom :⇔
Für jede Familie (Xi )i∈I topologischer Räume induzieren die Inklusionen
Xi ,→ X :=
[
˙
Xi
i∈I
einen Isomorphismus
M
Hn (Xi ) ∼
= Hn (X ) .
i∈I
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Relative Homologie und Ausschneidung
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Erste Berechnungen und Anwendungen
Definition
Wir nennen ein Raumpaar (X , A) gut, falls A 6= ∅, A abgeschlossen in X
und A starker Deformationsretrakt einer Umgebung von A ist.
Insbesondere gibt es dann eine Umgebung U von A in X , so dass die
Inklusion A ,→ U eine Homotopieäquivalenz ist.
Beispiel
Das Paar (D n , S n−1 ) ist gut für alle n ≥ 0.
Proposition
Es sei (X , A) ein gutes Raumpaar. Dann induziert die Quotientenabbildung
q : (X , A) → (X /A, A/A) Isomorphismen
e n (X /A)
Hn (X , A) → Hn (X /A, A/A) = H
für alle n ≥ 0.
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Erste Berechnungen und Anwendungen
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Ist (X , A) ein gutes Raumpaar, so induziert die lange exakte
Homologiesequenz eine lange exakte Sequenz
e n (A) → H
e n (X ) → H
e n (X /A) → H
e n−1 (A) → . . .
... → H
Satz
Es ist
e i (S n ) ∼
H
=
Z falls i = n
0 falls i 6= n
Ist X ein topologischer Raum und A ⊂ X , so heißt A ein Retrakt von X ,
falls es eine stetige Abbildung (Retraktion) r : X → A gibt mit r |A = idA .
Satz
Ist n ≥ 0, so ist S n kein Retrakt von D n+1 .
Folgerung (Brouwerscher Fixpunktsatz)
Es sei f : D n → D n stetig. Dann hat f einen Fixpunkt, d.h. es existiert ein
x ∈ D n mit f (x) = x.
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Erste Berechnungen und Anwendungen
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Satz
Es seien U ⊂ Rm und V ⊂ Rn nichtleere offene Teilmengen. Falls U und
V homöomorph sind, gilt m = n.
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Erste Berechnungen und Anwendungen
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e n (S n ) ∼
Es sei φ : H
= Z ein Isomorphismus.
n
Ist f : S → S n stetig, so gibt es genau eine Zahl z ∈ Z, so dass
f∗
e n (S n )
e n (S n ) −−−
H
−→ H




φy
φy
Z
17→z
−−−−→
Z
kommutiert.
z hängt nicht von der Wahl des Isomorphismus φ ab.
Wir definieren den Abbildungsgrad von f als
deg f := z .
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Erste Berechnungen und Anwendungen
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