Serie 6 - D-MATH

Prof. D. Salamon
Analysis I
MATH, PHYS, CHAB
HS 2014
Serie 6
1. Zeigen Sie, dass jede Nullfolge (an ), an 6= 0, die Gleichung
√
lim
n→∞
1 + an − 1
1
=
an
2
erfüllt.
2. (a) Sei (an ) eine konvergente Folge mit Grenzwert a. Beweisen Sie, dass dann das arithmetische Mittel
n
sn :=
1X
ak
n
k=1
der Folge (an ) auch gegen a konvergiert.
(b) Geben Sie ein Beispiel einer divergenten Folge, deren arithmetisches Mittel konvergiert.
2
3. Der goldene Schnitt φ ∈ R ist die positive
√ Lösung der Gleichung x − x − 1 = 0 und explizit
gegeben durch die Formel φ = 21 (1 + 5).
(a) Die Folge (an ) sei durch a0 = 1 und
an+1 := 1 +
1
an
rekursiv deniert. Zeigen Sie, dass diese Folge gegen den goldenen Schnitt φ konvergiert.
1
Tipp: Leiten Sie die Abschätzung |an − φ| ≤ n |1 − φ| her.
φ
(b) Wir denieren die Folge (bn ) durch b0 = 1 und
bn+1 :=
p
1 + bn .
Zeigen Sie, dass die Folge (bn ) ebenfalls gegen φ konvergiert.
(c) Es bezeichne (fn ) die Folge der Fibonacci-Zahlen. Diese sind rekursiv deniert durch
f0 = f1 = 1, sowie
fn+1 := fn + fn−1 .
Zeigen Sie, dass
lim
n→∞
fn+1
=φ
fn
gilt.
Der Grenzwert der Folgen (an ) und (bn ) wird auch als Kettenbruch bzw. Kettenwurzel
geschrieben:
r
φ=1+
1
1+
1
1
1+ 1+···
1
=
q
√
1 + 1 + 1 + ···
4. Beweisen Sie, dass für jede natürliche Zahl p die p-adische Metrik
(
dp (m, n) :=
min{p−k | pk teile (m − n), k ∈ N0 } falls m 6= n
0
falls m = n
tatsächlich eine Metrik auf den ganzen Zahlen deniert.
5. Wir betrachten Folgen in einem metrischen Raum (X, d). Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a) Wenn eine Folge (xn ) gegen ein x ∈ X konvergiert, dann konvergiert auch jede Teilfolge
von (xn ) gegen x.
(b) Gegeben Sei eine Folge (xn ) und ein x ∈ X , sodass jede Teilfolge von (xn ) eine weitere
Teilfolge besitzt, die gegen x konvergiert. In diesem Fall konvergiert auch die ursprüngliche Folge (xn ) gegen x.
6. Untersuchen Sie (in Abhängigkeit von x ∈ R) die folgenden Reihen auf ihre Konvergenz:
(a)
(b)
Abgabe:
∞
X
n+1
n
n=1
√
∞
X
n− n
√
(n + n)2
n=1
(c)
∞
X
n=1
(e)
1
√
n
n!
(d)
(f)
∞
X
n
n
(−1) + i
(3i)n − 2n
n=1
Freitag, den 31. Oktober 2014.
2
∞
X
n2
2n
n=1
∞ X
2n
n=1
n
xn