Elementare Zahlentheorie Musterlösungen Zettel 11 Aufgabe 1. a

Elementare Zahlentheorie
Musterlösungen Zettel 11
Aufgabe 1.
a) Es ist
2 = 12 + 12 + 02 + 02 ,
3 = 12 + 12 + 12 + 02 ,
5 = 22 + 12 + 02 + 02 ,
7 = 22 + 12 + 12 + 12 ,
11 = 32 + 12 + 12 + 02 ,
13 = 32 + 22 + 02 + 02 ,
17 = 42 + 12 + 02 + 02 ,
19 = 42 + 12 + 12 + 12 ,
und
23 = 32 + 32 + 22 + 12 .
b) Es ist 121 = 112 + 02 + 02 + 02 und 391 = 17 · 23. Nach dem Satz von
Euler
(a21 + a22 + a23 + a24 )(b21 + b22 + b23 + b24 )
= (a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 − a4 b4 )2 + (a1 b2 + a2 b1 + a3 b4 − a4 b3 )2 +
(a1 b3 − a2 b4 + a3 b1 + a4 b2 )2 + (a1 b4 + a2 b3 − a3 b2 + a4 b1 )2
und Teil a) gilt also
391 = 17 · 23 = (42 + 12 + 02 + 02 )(32 + 32 + 22 + 12 ) = 92 + 152 + 72 + 62 .
Ebenso erhält man
47311 = 121·391 = (112 +02 +02 +02 )(62 +72 +92 +152 ) = 662 +772 +992 +1652 .
Aufgabe 2.
a) Ist n ∈ Z eine gerade Zahl, so gilt n2 ≡ 0 oder n2 ≡ 4 modulo 8. Ist n ∈ Z
eine ungerade Zahl, so gilt stets n2 ≡ 1 modulo 8. Gilt also
x2 + y 2 + z 2 + w2 ≡ 0
und wäre eine der Zahlen x, y, z, w ungerade, ohne Einschränkung sei dies
x, so hätte man
1 + y 2 + z 2 + w2 ≡ 0,
was aber wegen y 2 , w2 , z 2 ∈ {0, 1, 4} nicht möglich ist.
b) Betrachtet man die Gleichung
t2 = x2 + y 2 + z 2
modulo 4, so gilt also
x2 + y 2 + z 2 ≡ 0,
denn da t gerade ist, ist t2 durch 4 teilbar. Da x2 , y 2 , z 2 ∈ {0, 1} modulo
4, kann dies nur erfüllt sein, wenn x2 ≡ y 2 ≡ z 2 ≡ 0 modulo 4. Dann sind
aber x, y und z gerade und haben also 2 als gemeinsamen Teiler.
Aufgabe 3. Ersetzt man eine der Zahlen x, y, z, w durch ihr Negatives, so
gilt noch immer n = x2 + y 2 + z 2 + w2 . Deshalb kann man annehmen, dass
für die Reste der Zahlen modulo 3 gilt x, y, z, w ∈ {0, 1} modulo 3. Sind drei
dieser Zahlen ≡ 1, nach eventueller Umbenennung seien dies x, y, z, so gilt wie
gewünscht x + y + z ≡ 1 + 1 + 1 ≡ 0. Gleiches gilt, wenn drei dieser Zahlen ≡ 0
modulo 3 sind. Es bleibt der Fall zu betrachten, in genau zwei Zahlen ≡ 1 sind,
oBdA x und y, und zwei der Zahlen ≡ 0, also z ≡ w ≡ 0. Dann ersetzt man y
durch −y und erhält wie gewünscht x + y + z ≡ 0.
Aufgabe 4. Die Zahl n = 245 = 5 · 72 ist von der vorgeschriebenen Form, hat
aber die Darstellung n = 142 + 72 , also ist die Aussage falsch.