Mechanik für Makro- und Mikroteilchen
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Mechanik für Makro- und Mikroteilchen Klassische Mechanik Quantenmechanik Zustandandsbeschreibung Bahn eines Teilchens Ortskoordinate Geschwindigkeit bzw. Impuls Ort und Impuls sind nicht gleichzeitig bestimmt: xt dxt vt dt p t mvt x 2 p 2 h2 4 (Heisenbergsche Unschärferelation) Wellenfunktion x, t x, t dx ist die Wahrscheinlichkeit 2 dafür, das Teilchen im Intervall x...x dx anzutreffen Dynamik d 2x U m 2 x dt Stationäre Zustände 0 U x i h x, t ˆ H x, t (Schrödinger) 2 t 2 E n i t h Ansatz: x, t n x exp Hˆ n x E n n x (Schrödinger) Messwerte Funktionen von xt und pt , z.B. Gesamtenergie At pt 2 E U xt 2m Operatoren  dx * x, t Aˆ x, t Aˆ h xˆ x , Uˆ U , p x 2 i x 1 Aufgaben zur Quantenmechanik Separations-Ansatz 1) Zeigen Sie, dass die Schrödinger - Gleichung für das Elektron im Wasserstoffatom in zwei Differentialgleichungen für den Radial- und den Winkelanteil separiert werden kann. 2) Formulieren Sie die die Schrödinger - Gleichung in kartesischen Koordinaten für ein Elektron, das sich frei in einem Quadrat der Fläche a^2 bewegt. Die Ränder haben unüberwindlich hohe Potenziale. 3) Formen Sie die Schrödinger - Gleichung für den starren Rotator in 2 gewöhnliche Differentialgleichungen um! Wie lautet der – abhängige Anteil der Wellenfunktion? Aus welcher Bedingung entsteht die Quantenzahl m? Linearer Oszillator 4) Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion Ψ0 = C exp(- α x^2) eine Lösung der Schrödinger – Gleichung für den linearen Oszillator ist, wenn α geeignet festgelegt wird! Wie groß ist die Energie E0? Normierung der Wellenfunktion 5) Bestimmen Sie die Normierungskonstanten N: a) N expi , b) N cos , c) r N exp r / r0 und d) r , , Nr sin cos exp r / 2r0 (Wertebereiche: 0 2 , 0 und 0 r ) Zwischenmolekulare Wechselwirkungen 1) Für ein System elektrischer Ladungen sei die Summe aller Teilladungen gleich Null. Zeigen Sie, dass in diesem Fall das Dipolmoment unabhängig von der Wahl des Koordinatenursprungs ist! Weshalb ist die Angabe des Dipolmoments nur für ein elektrisch neutrales System sinnvoll? 2) In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Koordinaten eines Kalziumions (2nm, 2nm, 2nm) und die eines Sulfidions (5nm, 6nm, 2nm). Wie groß ist das Dipolmoment des Systems? 3) Wie groß ist die Wechselwirkungsenergie eines Dipols u mit einem elektrischen Feld E ? Wie groß ist die Wechselwirkungsenergie eines Dipols von u = 2*10^(-20) Cm mit einem Elektron im Abstand von 5nm, wenn der Winkel zwischen der Dipolzentrum-ElektronenAchse und dem Dipol 60° beträgt? 4) Bestimmen Sie den Betrag des Dipolmoments eines Wassermoleküks (Partialladung für H: 0.33e, Abstand H-O: 95.7 pm, Bindungswinkel: 104.6°)! 2 Aufgaben Heisenbergsche Unschärferelation Ein Teilchen sei in einem Potentialtopf gefangen (1d-Modell). Zeigen Sie, dass die Heisenbergsche Unschärferelation für dieses Teilchen erfüllt ist. Das Modell kann verwendet werden, um die kinetische Energie des H-Atoms abzuschätzen. Vergleichen Sie das Ergebnis dieser Abschätzung mit der kinetischen Energie eines Nukleons im Atomkern. (H-Atom, a = 10^(-10) m, Nukleon a’= 10^(-15) m) Komplexe Zahlen Beweisen Sie die Eulersche Formel exp(i φ) = rcosφ + i r sinφ durch Potenzreihenentwicklung ! Aufgaben: - Zerlegen in Real- und Imaginärteil: z = (1+2i)/(1-5i), z = (1 + i) r exp(i φ) - Beweisen der Additionstheoreme mit der Eulerschen Formel Freies Teilchen mit vorgegebenem Impuls, Teilchenstrom Leiten Sie mit der zeitabhängigen Schrödingergleichung einen Ausdruck für den Wahrscheinlichkeitsstrom jx (1d-Fall) her. Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion Ψ(x) = A exp(ikx) eine Eigenfunktion des Impulsoperators ist. Wie hängt die Wellenzahl k mit dem Teilchenimpuls px zusammen ? Wie groß ist der Teilchenstrom jx und der elektrische Strom Jx, wenn das Teilchen ein Elektron ist ? Potentialsschwellen, Tunneleffekt Für eine Potentialschwelle gelte V = V0 *H(x) mit V0 > 0 (H(x), Heaviside Sprungfunktion). Ein Teilchen habe den Impuls px und treffe von links auf die Potentialschwelle. Bestimmen Sie die Wellenfunktion des Teilchens Ψ(x) für x < 0 und x > 0, wobei die kinetische Energie des Teilchens a) kleiner und b) größer als V0 sein soll. 3 Aufgaben Gleichzeitig scharf bestimmte physikalische Größen 1) Physikalische Größen sind gleichzeitig scharf bestimmt, wenn ihre Operatoren vertauschbar sind (d.h es gilt Op1 Op2 – Op2 Op1 = 0). Wenden Sie dieses Prinzip auf Ortsund Impulsmessungen an und stellen Sie einen Zusammenhang zum Heisenbergschen Unschärferelation her! Rotator 2) Bestimmen Sie die Eigenwerte des Drehimpulses und der Energie eines einachzigen Rotators! Liefen Energie und Impuls des Rotators gleichzeitig scharfe Werte? (Drehimpulsoperator: Lz = h/(2π i) ∂/∂f für 2d-Rotator mit starrer Drehachse, Operator für Rotationsenergie (Lz)2/2I) 3) Welche Werte (Eigenwerte) können a) der Gesamtdrehimpuls und b) die Drehimpulsprojektion auf eine Achse (z-Achse) bei einem 3d-Rotator (z. B. Hantelmodell) annehmen? Haben die Drehimpulsprojektionen auf die z-Achse und auf die x-Achse gleichzeitig scharfe Werte? (Lz = x py-y px, Lx = y pz – z py ) Variationsrechnung 4) Wie kann mit einer Variationsmethode die Energie des Grundzustandes eines Systems näherungsweise bestimmt werden? Schätzen Sie mit den Variationsansätzen a) ψ = A x (L-x) und b) ψ =A ( x (L-x) +B x2 (1-x)2 ) die Enegie eines freien Teilchens in einem ‚Kasten’ 0 < x < L ab. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit dem exakten Wert. 5) Bestimmen Sie für das Wasserstoffatom mit der Variationsmethode unter Verwendung des Ansatzes ψ = C exp(-br) eine Abschätzung für die Energie des Grundzustandes. Pauli-Prinzip 6) 5 Fermionen mit dem Spin ½ befinden sich in einer Box der Länge L (eindimensionales Modellsystem). Es soll keine Wechselwirkung zwischen den Fermionen auftreten. Bestimmen Sie die Systemenergie für den Grundzustand und den ersten angeregten Zustand. Elektrostatische Wechselwirkung 7) Berechnen Sie den Betrag des Dipolmoments eines Wassermoleküls (Partialladung für H: 0.32e, Abstand H-O: 95.7 pm, Bindungswinkel: 104.6°)! 8) Berechnen Sie die elektrostatische Wechselwirkung zwischen einem Ca2+-Ion und einem Cl- -Ion im Abstand von 0.3 nm im Vakuum! 9) Wie groß ist die Wechselwirkung eines Dipols u = 2*10-20 Cm mit einem Elektron im Abstand von 5 nm, wenn der Winkel zwischen der Dipolzentrum-Elektron-Achse und dem Dipol 60° beträgt? 4 Der Tunneleffekt Barrieren, die nach der klassischen Mechanik unüberwindbar sind, werden von Mikroteilchen beim Tunneleffekt überwunden. Aufgabe: Ein Teilchen mit dem Impuls px = hk/2π trifft auf eine Potenzialschwelle der Höhe V0. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Teilchen die Schwelle überwindet? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einer Reflektion an der Schwelle? Hinweise: Lösen Sie die Schrödinger-Gleichung für die beiden Gebiete x < 0 und x > 0. An der Grenze x = 0 ist die Wellenfunktion Ψ(x) und ihre erste Ableitung stetig. V(x) V0 x=0 x 5 Aufgaben zur Quantenmechanik Separations-Ansatz 1) Zeigen Sie, dass die Schrödingergleichung für das Elektron im Wasserstoffatom in zwei Differentialgleichungen für den Radial- und den Winkelanteil separiert werden kann. 2) Formulieren Sie die die Schrödingergleichung in kartesischen Koordinaten für ein Elektron, das sich frei in einem Quadrat der Fläche a^2 bewegt. Die Ränder haben unüberwindlich hohe Potenziale. 3) Formen Sie die Schrödingergleichung für den starren Rotator in 2 gewöh nliche Differentialgleichungen um! Wie lautet der – abhängige Anteil der Wellenfunktion? Aus welcher Bedingung entsteht die Quantenzahl m? Linearer Oszillator 4) Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion Ψ0 = C exp(- α x^2) eine Lösung der Schrödinger – Gleichung für den linearen Oszillator ist, wenn α geeignet festgelegt wird! Wie groß ist die Energie E0? Rotator 5) Bestimmen Sie die Eigenwerte des Drehimpulses und der Energie eines einachsigen Rotators! Haben Energie und Impuls des Rotators gleichzeitig scharfe Werte? (Drehimpulsoperator: Lz = h/(2π i) ∂/∂f für 2d-Rotator mit starrer Drehachse, Operator für Rotationsenergie (Lz)2/2I) Pauli-Prinzip 6) 5 Fermionen mit dem Spin ½ befinden sich in einer Box der Länge a (eindimensionales Modellsystem). Es soll keine Wechselwirkung zwischen den Fermionen auftreten. Bestimmen Sie die Systemenergie für den Grundzustand und den ersten angeregten Zustand. Aufstellen der Schrödingergleichung 7) Stellen Sie die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom auf! (Es kann die Gültigkeit der Born-Oppenheimer-Näherung vorausgesetzt werden.) 8) Stellem Sie die Schrödingergleichung für folgende Systeme auf: a) He- Atom b) Linearer Oszillator c) Wasserstoff-Molekül 6 Der einachsige Rotator (Rotation nur um die z - Achse) y m1 R ϕ x m2 μ = m1m2/(m1+m2) Aufgabe: Bestimmen Sie den Drehimpuls und die Energie des einachsigen Rotators! Können Energie und Drehimpuls gleichzeitig scharfe Werte annehmen? Lösungshinweise: Drehimpuls in der klassischen Mechanik: Lz = x py – y px Quantenmechanisch: Lz = (h/2πi) ∂/∂ϕ Kinetische Energie in der klassischen Mechanik: E = (Lz)2/2I Operator: H = (Lz)2/2I (Trägheitsmoment I = μR2) 7 Übungsaufgaben aus Klausuren 1) Stellen Sie die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom auf! (Es kann die Gültigkeit der Born-Oppenheimer-Näherung vorausgesetzt werden.) 2) Bestimmen Sie die Normierungskonstanten N der Wellenfunktionen a) N expi und b) N cos und c) x N sin x / d , wobei der Winkel und die Koordinate x die Wertebereiche 0 2 und 0 x d haben. 3) Geben Sie den Impulsoperator px für die Bewegung eines Elektrons parallel zur x-Achse an. Berechnen Sie für ein Elektron, das sich in dem Bereich 0 < x < π befindet (Kasten mit 1/ 2 unendlich hohen Wänden) aus der Wellenfunktion ( x) 2 / a sin x /a den Erwartungswert des Impulses p x . Bestimmen Sie außerdem als Maß für die Impulsunschärfe die Differenz p x2 p x 2 . 4) Der Abstand zwischen einem Elektron und einem Positron betrage d = 1 nm. Wie groß ist die Wechselwirkungsenergie und das elektrische Dipolmoment der Ladungen. 5) Bestimmen Sie den Betrag des Dipolmoments eines Wassermoleküks (Partialladung für H: 0.33e, Abstand H-O: 95.7 pm, Bindungswinkel: 104.6°)! 6) Geben Sie die allgemeine Form der Bilanzgleichung einer skalaren Erhaltungsgröße an. Wie unterscheidet sich diese Gleichung von der Bilanzgleichung einer skalaren Nichterhaltungsgröße. 7) Formulieren Sie die die Schrödinger - Gleichung in kartesischen Koordinaten für ein Elektron, das sich frei in einem Quadrat der Fläche a^2 bewegt. Die Ränder haben unüberwindlich hohe Potenziale. 6) Geben Sie eine Formel an, mit der man aus den relativen Besetzungszahlen (bzw. Besetzungswahrscheinlichkeiten) P1=N1/N und P2=N2/N die Entropie eines Zweiniveausystems bestimmen kann (N Anzahl der Teilchen)! Wie groß wird die Entropie in den Grenzfall T → 0 und bei hohen Temperaturen T? Die charakteristische Temperatur θosz = hv/k für die Schwingung eines zweiatomigen Moleküls wurde zu 1200 K bestimmt. N0 und N1 seien die Anzahl der Oszillatoren im Grundzustand bzw. im ersten angeregten Zustand. Wie groß ist das Verhältnis der Besetzungszahlen N1/N0 für die Temperatur T = 300 K? 10) Geben Sie jeweils eine Formel für die Zustandssumme, die Freie Energie, die Energie, die Entropie und die Wärmekapazität eines Systems aus N gleichartigen linearen Oszillatoren (mit der Eigenfrequenz bzw. der charakteristischen Temperatur 0 = h/k) an! 12) Für ein System aus N freien Teilchen erhielt man die Einteilchenzustandssumme q CT 3 / 2V (Boltzmannschen Statistik), wobei C eine Konstante, T die Temperatur, V das Volumen und N die Teilchenzahl ist. Bestimmen Sie daraus die freie Energie F, die Entropie S, die Energie E, die Wärmekapazität Cv , den Druck p und das chemische Potential . 8 Übungsaufgaben aus Klausuren 1) Stellen Sie die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom auf! 2) Bestimmen Sie die Normierungskonstanten N der Wellenfunktionen a) N expi b) N cos und c) x N sin x / d , wobei der Winkel und die Koordinate x die Wertebereiche 0 2 und 0 x d haben. 3) Geben Sie den Impulsoperator px für die Bewegung eines Elektrons parallel zur x-Achse an. Berechnen Sie für ein Elektron, das sich in dem Bereich 0 < x < a befindet (Kasten mit 1/ 2 unendlich hohen Wänden) aus der Wellenfunktion ( x) 2 / a sin x /a den Erwartungswert des Impulses p x . Bestimmen Sie außerdem als Maß der Impulsunschärfe die Differenz p x2 p x 2 . 4) Der Abstand zwischen einem Elektron und einem Positron betrage d = 1 nm. Wie groß sind die Wechselwirkungsenergie und der Betrag des elektrischen Dipolmoments der Ladungen. 5) Geben Sie die allgemeine Form der Bilanzgleichung für eine skalare Erhaltungsgröße an. Wie unterscheidet sich diese Gleichung von der Bilanzgleichung einer skalaren Nichterhaltungsgröße. 6) Für ein System aus N freien Teilchen ergab sich die Einteilchenzustandssumme zu q CT 3 / 2V (Boltzmannsche Statistik), wobei C eine Konstante, T die Temperatur, V das Volumen und N die Teilchenzahl ist. Bestimmen Sie daraus die freie Energie F, die Entropie S, die Energie E, die Wärmekapazität Cv , den Druck p und das chemische Potential . 7) Wie kann man im Rahmen der Boltzmannschen Statistik aus den relativen Besetzungszahlen P1=N1/N und P2=N2/N die Entropie eines Zweiniveausystems bestimmen (N Anzahl der Teilchen)? Wie groß wird die Entropie in den Grenzfällen T → 0 und bei hohen Temperaturen T >> ε2/k (ε2, Energie des oberen Niveaus)? 8) Die charakteristische Temperatur θosz = hv/kB für den Schwingungsfreiheitsgrad eines zweiatomigen Moleküls betrage 1200 K. N0 und N1 seien die Anzahl der Oszillatoren im Grundzustand bzw. im ersten angeregten Zustand. Wie groß ist das Verhältnis der Besetzungszahlen N1/N0 für die Temperatur T = 300 K? --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Elementarladung e0=1,6*10-19C; Dielektrizitätskonstante (im Vakuum) ε0 = 8,854*10-12C2J1 -1 m ; h und kB bezeichnen das Plancksche Wirkungsquantum bzw. die Boltzmannsche Konstante; y sin ( By) dy 2 2 sin 2 By ; 4B 1 sin( By) cosBy dy 2B sin By 2 9 Aufwendigere Aufgaben Rotator 1) Bestimmen Sie die Eigenwerte des Drehimpulses und der Energie eines zweidimensionalen Rotators! Können Energie und Impuls des Rotators gleichzeitig bestimmt werden? 2) Welche Werte (Eigenwerte) können a) der Gesamtdrehimpuls und b) die Drehimpulsprojektion auf eine Achse (z-Achse) bei einem 3d-Rotator (z. B. Hantelmodell) annehmen? Haben die Drehimpulsprojektionen auf die z-Achse und auf die x-Achse gleichzeitig scharfe Werte? Identische Teilchen 3*) 2 Fermionen mit dem Spin ½ befinden sich in einer Box der Länge L (eindimensionales Modellsystem). Es soll keine Wechselwirkung zwischen den Fermionen auftreten. Bestimmen Sie die Systemenergie und die Wellenfunktion für den Grundzustand. 4) Wie groß ist die Energie des Grundzustandes eines Gases aus N wechselwirkungsfreien Fermionen mit dem Spin ½ in einer kubischen Box mit dem Volumen L3. (Einfaches Modell für das Elektronengas in Metallen.) Welchen Beitrag liefert die Austauschwechselwirkung zum Druck und zur Kompressibilität eines Festkörpers? (me = 9.1 * 10-27 kg, Ne/V=8.5*1028 /m3 für Cu) Die Austauschwechselwirkung verhindert, dass ein Neutronenstern durch seine eigene Schwerkraft zusammengedrückt wird. Nahe der Oberfläche eines Neutronensterns betrage die Dichte eines Neutronendichte ρ = 1015 kg/m3 (mn = 1.7*10-27 kg). Welchen Druck verursacht die Austauschwechselwirkung? Wie groß ist die Kompressibilität der Neutronenmaterie (Fermi-Gas)? 5*) Stellen Sie mögliche Wellenfunktionen der Elektronen für Helium aus Produkten von Wasserstoff-Wellenfunktionen dar. Wie unterscheiden sich Para- und Orthohelium? Variationsmethode 6*) Wie kann mit einer Variationsmethode die Energie des Grundzustandes eines Systems näherungsweise bestimmt werden? Bestimmen Sie für das Wasserstoffatom mit der Variationsmethode unter Verwendung des Ansatzes ψ = C exp(-br) eine Abschätzung für die Energie des Grundzustandes. 7) Schätzen Sie mit dem Ansatz ψ = C x (L-x) +D x2 (1-x)2 die Energie eines freien Teilchens in einem ‚Kasten’ 0 < x < L ab. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem exakten Wert. 10 Aufgaben zur Thermodynamik irreversibler Prozesse 1) Schreiben Sie die Beziehungen zwischen den Kräften und Flüssen für Prozesse der Wärmeleitung und 2 chemische Parallelreaktionen in Matrixschreinweise auf! Verwenden Sie dabei die thermodynamisch exakten Kräfte! 2) Formulieren Sie die Beziehung zwischen Kräften und Flüssen als Matrixgleichung für den Fall, dass Wärme und Ladung transportiert werden. Verwenden Sie die thermodynamisch exakten Kräfte. 3) Geben Sie die allgemeine Form der Bilanzgleichung für eine spezifische skalare Größe a an! Welche Besonderheit gibt es für die Bilanz von Erhaltungsgrößen? 4) Bestimmen Sie aus dem Summanden – 1/T div(Jq) in der Entropiebilanz einen diffusen Entropiestrom und die thermodynamische Kraft der Wärmeleitung! 5) Was versteht man unter einem stationären Zustand 1. Grades? 6) Schreiben Sie die Beziehungen zwischen Kräften und Flüssen für Prozesse des Wärmetransports und des Transports elektrischer Ladung in Matrixschreibweise auf! Leiten Sie daraus die Gleichungen für den Peltier-Effekt und den Seebeck-Effekt unter Angabe der Bedingungen für Kräfte und Ströme ab! 7) Leiten Sie die Kontinuitätsgleichung für das spezifische Volumen unter Verwendung der substantiellen Ableitung ab! 8) Was besagt das Curie-Prinzip? 9) Formen Sie den Ausdruck φi div(Ji+ρiv) unter Berücksichtigung von grad(φi) = - Fi so um, dass ein Teil dem Strom und ein Teil dem Quellterm in der Bilanz der potenziellen Energie (φim) zugeordnet werden kann! Was gehört zum Quellterm? 10) Zeigen Sie die Äquivalenz der mit lokaler und substantieller Zeitableitungen formulierten Bilanzen der Entropie: ds div J s dt s ds s div J s ,tot mit v grads und J s J s ,tot s v t dt t 11) Die Wärmestromdichte in einem isotropen Festkörper genügt dem Gesetz J q Lqq grad 1 / T gradT . Leiten Sie mit Hilfe der Energiebilanz eine Gleichung her, die den Temperaturausgleich beschreibt! 12) Welche Gestalt hat der Impulsstromtensor einer ruhenden Flüssigkeit? 11 Irreversible Thermodynamik 1) Welche Transformationseigenschaften hat ein Vektor bei Drehung des Koordinatensystems? Ein Vektor habe die Komponenten V = (Vx, Vy, Vz) in einem kartesischen Koordinatensystem. Das Koordinatensystem wird um die z-Achse (Drehwinkel 30°) gedreht. Wie groß sind die Komponenten (Vx’,Vy’,Vz’) des Vektors im gedrehten Koordinatensystems. Wie transformieren sich Skalare und Tensoren zweiter Stufe bei Drehung des Koordinatensystems? Zeigen Sie, dass div V = ∂Vx/∂x+∂Vy/∂y+∂Vz/∂z ein Skalar ist. 3) Eine Flüssigkeit strömt durch ein Rohr mit konstantem Querschnitt. Leiten Sie eine Gleichung für die lokale Massenbilanz ab. Verallgemeinern Sie das Ergebnis auf den Fall einer beliebigen Strömung! In welche allgemeine mathematische Form lassen sich Bilanzen von skalaren und vektoriellen Erhaltungsgrößen überführen? 4) Wie unterscheiden sich die Ströme in der Entropiebilanz bei Verwendung der lokalen und der substantiellen Zeitableitung? 5) Die Wärmestromdichte je in einem isotropen Festkörper genügt dem Gesetz je = - κ gradT. Leiten Sie mit Hilfe der Energiebilanz eine Gleichung her, die den Wärmeausgleich in dem Festkörper beschreibt (Wärmeleitung ohne Konvektion). In einem Stab der Länge L sei zu einem Zeitpunkt t = 0 die Temperaturverteilung T(t=0,x)=f(x) vorgegeben. Wie lässt sich der Temperaturausgleich beschreiben unter der Annahme, dass die Stabenden (x=0 und x=L) auf eine konstante Temperatur T0 gehalten werden. Bestimmen Sie den Temperaturverlauf T(r) in der Umgebung einer erhitzten Kugel im stationären Zustand. 6) Wie kann der lokale Erhaltungssatz für den Impuls in einem Kontinuum formuliert werden. Der Impulsstromtensor für eine nicht kompressible reibungsfreie Flüssigkeit ist durch Πij = p δij + ρVi Vj gegeben. Leiten Sie eine Bewegungsgleichung der Flüssigkeit ab. Wie kann die Reibung (Viskosität) berücksichtigt werden? 12 Aufgaben Statistik 1) Nullpunktsentropie CO und einige andere AB-Moleküle haben im Kristallzustand zwei energetisch fast gleichwertige Anordnungen (Orientierungen CO und OC). Daraus resultiert ein Entropiebeitrag, der auch am absoluten Nullpunkt nicht verschwindet. Wie groß ist die Nullpunktsentropie. Hinweis: Verwenden Sie die Boltzmannsche Entropiedefinition S = k ln W! 2) Kombinatorik A) Reihenfolge Auf wie viel verschiedene Weisen können 3 Bücher gestapelt werden. B) Anzahl der Aufteilungen Wie groß ist die Anzahl der Aufteilungen von N Elementen auf p Fächer. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, zwei Geschenke auf 2 Personen aufzuteilen? C) Aufteilung mit Nebenbedingungen Wie groß ist die Anzahl der Aufteilungen von N Elementen auf p Fächer, so dass N1 Elemente im ersten Fach, N2 Elemente im zweiten Fach, : Np Elemente im p-ten Fach sind? Wie viele verschiedene Aufteilungen der Karten sind beim Kartenspiel ‚Skat’ möglich? 3) Mischungsentropie idealer Mischungen Ein idealer Mischkristall bestehe aus NA Atome der Sorte A und NB Atome der Sorte B (N = NA + NB). Wie groß ist die Anzahl der Konfigurationen W des Systems, wenn jeder der N Gitterplätze entweder von einem Atom der Sorte A oder der Sorte B besetzt ist. Bestimmen Sie mit der Beziehung S = k lnW und der Stirlingschen Formel die Entropie des Mischkristalles. Wie groß sind die chemischen Potentiale? 4) Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung Verwenden Sie die Lagrange - Parametermethode, um folgenden Satz zu beweisen: Unter allen Rechtecken mit einem vorgegebenen Umfang hat das Quadrat den größten Flächeninhalt! 5) Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung Die Entropie für ein System, das sich jeweils mit der Wahrscheinlichkeit Pi in einem der n Zustände (i=1,2,…,n) befindet, kann mit der Beziehung P ln P n S k i i i 1 bestimmt werden. Zeigen Sie, dass dieser Ausdruck maximal wird, wenn Pi = 1/n für i = 1,2,3 .. n gilt (Gleichverteilung). Welche Verteilung führt auf ein Maximum der Entropie S, wenn die Nebenbedingung für die Gesamtenergie P E const n E i i i 1 einbezogen wird? 13 6) Geben Sie eine Formel an, mit der man aus den relativen Besetzungszahlen (bzw. Besetzungswahrscheinlichkeiten) P1=N1/N und P2=N2/N die Entropie eines Zweiniveausystems bestimmen kann (N Anzahl der Teilchen). Wie groß wird die Entropie in den Grenzfall T → 0 und bei hohen Temperaturen T? 7) Boltzmannsche Verteilung Die Oberflächentemperatur der Sonne beträgt 6000K. Wie viele H-Atome befinden sich im ersten angeregten Energieniveau bezogen auf den Grundzustand? 8) Boltzmannsche Verteilung und thermodynamische Funktionen für ein Zwei-NiveauSystem In einem Paranagmet können für bestimmte Fragestellungen die magnetischen Freiheitsgrade unabhängig von den übrigen Freiheitsgraden des Festkörpers behandelt werden. Ein Spin 1/2System hat in einem Magnetfeld zwei verschiedene Spinausrichtungen. Bei paralleler Orientierung von Spin (z-Komponente) und Magnetfeld (in Richtung der z-Achse) ist die Energie niedriger ( 1 H ) als bei antiparalleler Ausrichtung ( 2 H ). Folgende Größen sind für ein System aus N Spins zu bestimmen: A) Boltzmannsche Verteilung (Darstellung N1/N bzw. N2/N gegen T oder 1/T) B) Freie Energie, Entropie, Wärmekapazität C) Suszeptibilität 9) System aus Oszillatoren Die charakteristische Temperatur θosz für die Schwingung eines zweiatomigen Moleküls wurde zu 1200 K bestimmt. N0 und N1 seien die Anzahl der Oszillatoren im Grundzustand bzw. im ersten angeregten Zustand. Wie groß ist das Verhältnis der Besetzungszahlen N1/N0 für die Temperatur T = 300 K? 10) Geben Sie jeweils eine Formel für die Zustandssumme, die Freie Energie, die Energie, die Entropie und die Wärmekapazität eines Systems aus N gleichartigen linearen Oszillatoren (mit der Eigenfrequenz bzw. der charakteristischen Temperatur 0 = h/k) an! System aus Rotatoren 11) Wie groß ist für T = 50 K das Verhältnis aus den Besetzungszahlen des Grundzustandes und des ersten angeregten Zustandes für einen Rotator (Molekül AB, ungleiche Kerne A und B, rot sei 10K)? Freie Teilchen mit Boltzmannscher Statistik behandelt 12) Für ein System aus N freien Teilchen erhielt man die Einteilchenzustandssumme f CT 3 / 2V (Boltzmannschen Statistik), wobei C eine Konstante, T die Temperatur, V das Volumen und N die Teilchenzahl ist. Bestimmen Sie daraus die freie Energie F, die Entropie S, die Energie E, die Wärmekapazität Cv , den Druck p und das chemische Potential . Freie Teilchen und kanonische Gesamtheit 13) Für ein System aus N freien Teilchen ergab sich die kanonische Zustandssumme zu Z CT 3 / 2V / N ! , wobei V das Volumen, T die Temperatur und C eine Konstante ist. Bestimmen Sie daraus F, S, E, die thermische Zustandsgleichung, die Wärmekapazitäten CV und das chemische Potential! N 14 15 16 17 18 1) Stellen Sie die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom auf! 2) Bestimmen Sie die Normierungskonstanten N der Wellenfunktionen a) N expi b) N cos und c) x N sin x / d , wobei der Winkel und die Koordinate x die Wertebereiche 0 2 und 0 x d haben. 3) Geben Sie den Impulsoperator px für die Bewegung eines Elektrons parallel zur x-Achse an. Berechnen Sie für ein Elektron, das sich in dem Bereich 0 < x < a befindet (Kasten mit 1/ 2 unendlich hohen Wänden) aus der Wellenfunktion ( x) 2 / a sin x /a den Erwartungswert des Impulses p x . Bestimmen Sie außerdem als Maß der Impulsunschärfe die Differenz p x2 p x 2 . 4) Der Abstand zwischen einem Elektron und einem Positron betrage d = 1 nm. Wie groß sind die Wechselwirkungsenergie und der Betrag des elektrischen Dipolmoments der Ladungen. 5) Geben Sie die allgemeine Form der Bilanzgleichung für eine skalare Erhaltungsgröße an. Wie unterscheidet sich diese Gleichung von der Bilanzgleichung einer skalaren Nichterhaltungsgröße. 6) Für ein System aus N freien Teilchen ergab sich die Einteilchenzustandssumme zu q CT 3 / 2V (Boltzmannsche Statistik), wobei C eine Konstante, T die Temperatur, V das Volumen und N die Teilchenzahl ist. Bestimmen Sie daraus die freie Energie F, die Entropie S, die Energie E, die Wärmekapazität Cv , den Druck p und das chemische Potential . 7) Wie kann man im Rahmen der Boltzmannschen Statistik aus den relativen Besetzungszahlen P1=N1/N und P2=N2/N die Entropie eines Zweiniveausystems bestimmen (N Anzahl der Teilchen)? Wie groß wird die Entropie in den Grenzfällen T → 0 und bei hohen Temperaturen T >> ε2/k (ε2, Energie des oberen Niveaus)? 8) Die charakteristische Temperatur θosz = hv/kB für den Schwingungsfreiheitsgrad eines zweiatomigen Moleküls betrage 1200 K. N0 und N1 seien die Anzahl der Oszillatoren im Grundzustand bzw. im ersten angeregten Zustand. Wie groß ist das Verhältnis der Besetzungszahlen N1/N0 für die Temperatur T = 300 K? --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Elementarladung e0=1,6*10-19C; Dielektrizitätskonstante (im Vakuum) ε0 = 8,854*10-12C2J1 -1 m ; h und kB bezeichnen das Plancksche Wirkungsquantum bzw. die Boltzmannsche Konstante; y sin ( By) dy 2 2 sin 2 By ; 4B 1 sin( By) cosBy dy 2B sin By 2 19
