Der Umgang mit Brüchen

Der Umgang mit Brüchen
I. Was sind Brüche
Brüche bestehen aus einen Zähler und einem Nenner. Sie werden in der folgenden Art und
Weise geschrieben
Zähler
3 4 1 7
z. B. , , ,
Nenner
5 7 8 4
3
Brüche können verschieden gelesen werden. kann bedeuten
5

3 geteilt durch 5

3 Teile von 5 Teilen
3

Die Zahl .
5
II. Ganze Zahlen sind auch Brüche.
Man kann jede ganze Zahl als Bruch auffassen, indem man ihnr den Nenner 1 zuordnet.
5
7
z.B.: 5 
und
7  usw.
1
1
III. Erweitern und Kürzen von Brüchen
Brüche die durch Erweitern bzw. Kürzen auseinander hervorgegangen sind,
haben den gleichen Wert.
Man erweitert einen Bruch, indem man den Zähler und den Nenner mit derselben ganzen
Zahl multipliziert.
3 3 2
6
6 3
3 23
18
z.B.:





5 5 2
10
10  3 5  2  3
30
Man kürzt einen Bruch, indem man den Zähler und den Nenner durch denselben
gemeinsamen Teiler dividiert.
18 18  6 3
60 60  5 12
z.B.:


und


24 24  6 4
65 65  5 13
Zusammen mit der Erweiterungsregel können wir uns ganze Zahlen auch folgendermaßen
7
7  3 21
7  4 28
7  5 35
vorstellen: 7 





 usw.
1
3
3
4
4
5
5
IV. Vergleichen von Brüchen.
Man vergleicht zwei Brüche, indem man sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner erweitert,
(Hauptnenner) und dann die Zähler miteinander vergleicht.
3 15
4 16
3 4
z.B.:

und

also

da 15 < 16
4 20
5 20
4 5
V. Addieren und Subtrahieren von Brüchen
Man addiert (subtrahiert) zwei Brüche, indem man sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner
erweitert. Dann werden die neuen Zähler zu addiert (subtrahiert) und der neue Nenner bleibt
unverändert.
1 2 5
8 5  8 13
2 1 8
5 85 3
z.B.:
 



und
 



4 5 20 20
20
20
5 4 20 20
20
20
VI. Multiplizieren von Brüchen
Man multipliziert zwei Brüche, indem man den ersten Zähler mit dem zweiten Zähler und den
ersten Nenner mit dem zweiten Nenner multipliziert.
3 2 3 2 6
z.B.:
 

7 5 7  5 35
Für die Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl ergibt sich, dass man einen Bruch
mit einer ganzen Zahl multipliziert,
indem man nur den Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert (und den Nenner unverändert
lässt).
2 3 2 6
z.B.:
3 

7
7
7
Wenn man eine Zahl mit einem gemischten Bruch multiplizieren (oder durch einen gemischten
Bruch dividieren) möchte, so wandelt man den gemischten Bruch für die Rechnung in einen
unechten Bruch um.
4
39 117
2
z.B.: 3  7  3  
 23
5
5
5
5
VII. Division von Brüchen
1. Division durch eine ganze Zahl
Man kann einen Buch durch eine ganze Zahl dividieren, indem man
entweder den Nenner mit dieser Zahl multipliziert
oder (wenn der Divisor ein Teiler des Zählers ist) den Zähler durch diese Zahl dividiert.
z.B.:
4
4
4 2
2 
 
7
7  2 14 7
oder
4
42 2
2 

7
7
7
2. Division durch einen Bruch
Man dividiert eine Zahl (Sei es Bruch oder ganze Zahl) durch einen Bruch, indem man die Zahl
mit dem Kehrbruch (des Divisors) multipliziert.
3 5 3 2 3 2 6
z.B.:
   

7 2 7 5 7  5 35
VIII. Sonstiges.
Brüche deren Zähler größer als der Nenner sind, nennt man unechte Brüche.
36 16 11 7
z.B.:
, , ,
5 7 8 4
Unechte Brüche können in eine gemischte Zahl umgewandelt werden.
36
1
16
2
11 3
7
3
z.B.:
7 ,
2 ,
1 ,
1
5
5
7
7
8
8
4
4
Vollständig gekürzte Brüche nennt man Stammbrüche.
In der Mathematik gilt es als vereinbart,
 Ergebnisse von Rechnungen soweit wie möglich zu kürzen (strenge Regel)
 unechte Brüche möglichst in gemischte Brüche umzuwandeln (nicht so strenge Regel)