Kurzskript zur Vorlesung Funktionentheorie

Kurzskript zur Vorlesung Funktionentheorie
Prof. Gero Friesecke
Zentrum Mathematik, TU München
SoSe 2017
Abstract
Dieses Kurzskript ersetzt weder die Teilnahme an, noch die Mitschrift aus,
der Vorlesung. Es enthält lediglich die Definitionen und Sätze der Vorlesung
sowie eine Liste der besprochenen Beispiele, aber keine Erläuterungen der
Definitionen, Beweise der Sätze oder Ausarbeitungen der Beispiele. Es ist als
zuverlässiges Nachschlagewerk für erstere gedacht.
1
Wiederholung: Komplexe Zahlen
Der Körper C der komplexen Zahlen ist als Menge identisch mit dem R2 . Komplexe
Zahlen schreiben wir wahlweise in der Form
� �
x
= x + iy, x, y ∈ R,
z=
y
mit x = Re z (Realteil von z), y = Im z (Imaginärteil von z).
Addition:
�
z+z =
�
x + x�
y + y�
�
Multiplikation (aus der Rechenregel i2 = −1 herleitbar):
�
�
�
�
�
�
�
z · z = (x + iy)(x + iy ) = xx − yy + i(xy + yx ) =
�
xx� − yy �
xy � + yx�
�
Polardarstellung:
z = reiϕ ,
r = |z| =
�
x2 + y 2 ∈ [0, ∞) Absolutbetrag,
ϕ ∈ R Winkel
Der Winkel ϕ ist nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2π eindeutig; Konvention
in der Funktionentheorie: ϕ ∈ (−π, π]. Die Polardarstellung ist nützlich zum
�
Verständnis der Multiplikation: zz � = rr� ei(ϕ+ϕ ) (Absolutbeträge multiplizieren,
Winkel addieren)
Konjugation: Sei z = x + iy, dann
z := x − iy zu z konjugierte Zahl (geometrisch: Spiegelung an der x-Achse)
Die Konjugation ist nützlich zum Verständnis des Kehrwerts einer komplexen Zahl:
1
x − iy
z
z
=
= 2 = 2
,
z
zz
|z|
x + y2
d.h. der Kehrwert liegt auf der Halbgeraden von 0 durch z.
���������������
�
�
�
𝝋
������������
�
�
�
�
2
1
Holomorphe Funktionen
Definition 1.1 Sei U ⊆ C offen, z0 ∈ U. Eine Funktion f : U → C heißt komplex
differenzierbar an der Stelle z0 , wenn der Grenzwert
lim
z→z0
f (z) − f (z0 )
=: f � (z0 )
z − z0
(*)
existiert. f � (z0 ) heißt Ableitung von f im Punkt z0 . f heißt holomorph auf U ,
wenn f überall in U komplex differenzierbar und f � : U → C stetig.
Grob gesagt: holomorph ≈ stetig diff’bar im Komplexen. Beachte aber: Division
und Grenzübergang in (*) finden in C statt.
Rechenregeln Wie im Reellen gilt für komplex differenzierbare Funktionen f , g
(i) (αf + βg)� = αf � + βg � (α, β ∈ C) Linearität
(ii) (fg)’ = f’ g + f g’ Produktregel
�
�
g�
(iii) ( fg ) = f g−f
falls g �= 0 Quotientenregel
g2
(iv) h(z) := f (g(z)) =⇒ h� (z) = f � (g(z))g � (z) falls g : U → V, f : V → C
Kettenregel.
Beispiele:
1) f (z) = c (c ∈ C) holomorph, f � = 0
2) f (z) = z holomorph, f � = 1
3) f (z) = z nirgends komplex differenzierbar
4) f (z) = z n holomorph, f � (z) = nz n−1 , denn
z n − z0n = (z n−1 + z0 z n−2 + ... + z0n−2 z + z0n−1 )(z − z0 )
(Beweis dieser Identität: rechte Seite ausmultiplizieren und bemerken, dass alle
Terme ausser denen auf der linken Seite 2mal vorkommen, mit umgekehrtem Vorze(z0 )
ichen) und somit f (z)−f
= z n−1 + z0 z n−2 + ... + z0n−1 → nz0n−1 für z → z0
z−z0
n
holomorph auf C\{0}, f � (z) = − zn+1
N
N
�
�
6) Polynome p(z) =
an z n (a0 , .., aN ∈ C) hol., f � (z) =
nan z n−1 (wg.4) u.(i))
5) f (z) =
1
zn
k=0
7) Potenzreihen f (z) =
∞
�
n=1
an z n mit Konvergenzradius R := sup{|z| :
n=0
∞
�
an z n konvergent}
n=0
holomorph im Konvergenzkreis {z ∈ C : |z| < R}, Ableitung = gliedweise Ableitung
(wg. 6) und Schwanzsummenabschätzung, siehe VL)
∞ n
�
z
8) f (z) = exp(z) =
holomorph auf C
n!
9) sin(z) = z −
z3
3!
n=0
5
+ z5! −
2
+..., cos(z) = 1 −
z2
2!
+
z4
4!
− +... holomorph auf C
1
1
4
2
4
10) f (z) = 1+z
2 = 1 − z + z − +..., g(z) = 1−z 2 = 1 + z + z + ... wegen 7) beide
holomorph auf {z ∈ C : |z| < 1}. Aus Sicht der reellen Analysis überraschend, dass
auch f nur Konvergenzradius 1 hat, obwohl die Funktion - im Gegensatz zu g - auf
ganz R beschränkt und glatt ist. Erklärung mittels Funktionentheorie: f (iz) = g(z),
also hat f “Singularitäten” bei ±i.
3