E1 – Mechanik Übungsblatt 13

Ludwig–Maximilians–Universität München – Fakultät für Physik
.
E1 – Mechanik
Übungsblatt 13
WS 2014 / 2015
Prof. Dr. Hermann Gaub
Aufgabe 1 fast ganz leer
Wie hängt die mittlere freie Weglänge vom Gasdruck ab? Ab welchem Druck in einer großen
Vakuumkammer mit den Durchmesser d = 50 cm stoßen die Moleküle des Restgases in der
Kammer nur noch mit den Wänden und nicht mehr untereinander. Nehmen Sie dazu einen
Molekülradius von 0, 2 nm an.
Lösungsvorschlag:
√1 .
2nσ
T
Die Teilchenzahldichte n ist für ideale Gase proportional zum Druck: n = kBpT . Also gilt: l = √kB2σp
1
BT
(In der Vorlesung wurde gezeigt wie Moleküle mit ruhenden Gasteilchen stoßen (l = nσ
= kσp
).
2
−19
2
Mit einem Molekülradius von 0,2nm ist also der Stoßquerschnitt σ = 4πr = 5, 04 · 10 m .
Die mittlere freie Weglänge für untereinander stoßende Teilchen in einem idealen ist l =
kB ·300K
−8 m = 57nm
Bei einem Normaldruck von 1013 hPa ist: l = √2·5,04·10
−19 m2 ·1013hP a = 5, 72 · 10
Damit nur mit den Wänden gestoßen wird muss gelten: l ≥ 0, 5m.
p≤
√
kB ·300K
2·5,04·10−19 m2 ·0,5m
= 0, 0115P a = 1, 15 · 10−4 hP a = 1, 15 · 10−4 mbar.
Um diesem Druck zu erreichen, reichen einfache Drehschieberpumpen nicht mehr aus. Vielmehr muss eine Kombination zwischen einer Vorpumpe und einer Diffusions- oder Turbomolekularpumpe benutzt werden. Hiermit lassen sich dann Drücke bis 10−10 hP a erzielen. Solche
Vakuumpumpsysteme sind von immenser Bedeutung nicht nur für die Grundlagenforschung.
Zum Beispiel werden Beschichtungen von Brillengläsern unter einem Vakuum von ca. 10−7 hP a
hergestellt.
Aufgabe 2 Geschwindigkeitsverteilungen
a) Zeigen Sie, dass die Funktion
4
m 3 2 − 2kmv2T
f (v) = √ (
)2 v e B
π 2kB T
r
2kT
ihren Maximalwert bei v =
hat.
m
b) Weil f (v)dv die Wahrscheinlichkeit, ein Molekül im Geschwindigkeitsintervall v, v + dv zu
finden angibt, muss das Integral von f (v)dv über alle möglichen Geschwindigkeiten gleich
1 sein. Zeigen Sie mit Hilfe der Beziehung
√
Z ∞
Z ∞
π −3
2 −av 2
2
v e
dv =
a
, dass
f (v)dv = 1
4
0
0
.
1
c) Gegeben sei das Integral
Z
∞
2
v 3 e−av dv =
0
a−2
.
2
Berechnen Sie mit Hilfe der Maxwell-Boltzmann-Verteilung die mittlere Geschwindigkeit
der Gasmoleküle.
Lösungsvorschlag:
Aufgabe 3 Wärmeleitung
Draußen herrscht bei Hochdruckwetterlage (1013 hPa) eine winterliche Temperatur von 0◦ C,
während die Heizung die Zimmertemperatur bei 22◦ C einstellt. Das Zimmer hat drei Fenster mit
einer Glasfläche von je 1 m2 . Sie sind doppelt verglast aber mit sehr unterschiedlicher Technik:
das altmodische Fenster hat einen Scheibenabstand von 10 cm und der Zwischenraum ist mit Luft
gefüllt. Die moderneren Fenster haben einen Scheibenabstand von 1cm und im Zwischenraum
befindet sich einmal Xenon und einmal Luft bei einem Druck von je 0, 1 mbar.
a) Berechnen sie den Energiefluss durch jedes der Fenster unter der Annahme, dass die
jeweiligen Innenscheiben Raumtemperatur und die Außenscheiben 0◦C haben.
b) Warum ist die Annahme aus Teilafgabe a)unrealistisch?
Berechnen Sie zunächst die mittlere freie Weglänge der Moleküle bei der Durchschnittstemperatur (T = 285K). Nehmen Sie für den Wirkungsquerschnitt der Stöße näherungsweise die
Querschnittsfläche des doppelten Radius der Moleküle an (für N2 einen Radius von 0, 71 Å und
für Xe 1, 77 Å). Nehmen sie der Einfachheit halber an, dass der Fensterrahmen keinen Einfluss
auf die Wärmeleitung habe und die Luft ein ideales Gas sei, das lediglich aus Stickstoffmolekülen
(N2) zusammengesetzt sei (N2 hat bei diesen Temperaturen 5 Freiheitsgrade: 3xTranslation und
2xRotation)
Lösungsvorschlag:
Es gibt zwei Arten der Wärmeleitung in Gasen, die von der freien Weglänge abhängt. Ist
die freie Weglänge größer als der Abstand der Wärmequelle und der Wärmesenke gilt die druckabhängige Wärmeleitung (]) Ist sie kleiner gilt die druckunabhängige Wärmeleitung(∗∗), die
einen Temperaturgradienten im Gas erzeugt. ⇒ Berechnung der freien Weglängen (bei einer
Temperatur zwischen 0◦ und 22◦ C – also ca. 285K) in den Fensterscheiben für Stickstoff bei
Normaldruck und bei 0,01mbar sowie für Xenon bei 0,01 bar:
a)
2
für Normaldruck gilt: (Demtröder Formel 7.50)
die Freiheitsgrade für Stickstoff sind 5 (3 Translation +2 fach entartete Rotation. Schwingungsmoden werden bei Raumtemperaturen noch nicht angeregt.) Beim einatomigen Gas
Xenon gibt es nur die drei Freiheitsgrade der Translation. Da die freie Weglänge für Xenon
auf der Grenze zum Scheibenabstand liegt wurden beide Formeln für die Energietransferdichten angesetzt. Der tatsächliche Wert liegt wohl zwischen den beiden Ergebnissen bei ca.
5, 16W m−2 . Es isoliert also viermal so gut wie das evakuierte Stickstoffgasfenster und würde
20 mal so gut wie das altmodische Fenster isolieren. Allerdings ist der Scheibenabstand
des altmodischen Fensters 10cm. Dadurch isoliert es auch nur doppelt so gut wie das
altmodische Fenster (zumindest wenn man Konvektion und Undichtigkeiten für Zugluft
vernachlässigt...).
b) In Realität ist die Innenscheibe natürlich kühler als die Zimmertemperatur und die Außenscheibe wärmer als die Außentemperatur (besonders im Falle des altmodischen Fensters!)
Dieser verringerte Temperaturunterschied der Scheiben verbessert die Isoliereigenschaften
der Fenster noch um etwa einen Faktor 2.
Aufgabe 4 Diffusion
3
In der bis zu 100 m tiefen euphotischen Zone wässriger Ökosysteme ist ausreichend Licht zur
Photosynthese vorhanden, so dass dort mehr Sauerstoff produziert wird, als die Pflanzen durch
Atmung verbrauchen. Die Photosynthese wird begleitet von der Synthese organischer Materialien.
Dabei wird unter anderem Phosphor, als wesentlicher Bestandteil der Nukleinsäuren (DNS),
benötigt. Solch organisches Material wird vor allem in Organismen gebildet, die wegen ihrer
höheren Dichte als Wasser, mit der Zeit unter die euphotische Zone absinken und der Zone so
Nährstoffe entziehen. Also wird ein Mechanismus benötigt, der insbesondere den Phosphor wieder
zurück in die euphotische Zone bringt, damit dieser Lebensraum bestehen kann. Unterhalb der
euphotischen Zone wird organisches Material oxidierend zersetzt und der Phosphor gelangt in
Form seines Oxations (Phosphat) ins Meerwasser. Oberhalb einer bestimmten Konzentration
gelöster Phosphat-Ionen in Wasser bilden sich unlösliche Kalzium-Phosphat-Mineralien die
dadurch die maximale Phospat-Ionenkonzentration auf 1 · 10−6 mol/l begrenzen.
Kann die Diffusion von Phosphat-Ionen aus tieferen Gewässern zur Oberfläche bereits eine
ausreichende Konzentration von Phosphor in der euphotischen Zone erzeugen, wenn man in einer
Tiefe von 1000 m einen Phosphatgehalt von 3 mol/l annimmt, während er an der Oberfläche
0 mol/l betrage und zudem in der euphotischen Zone etwa 1 g/cm2 Phosphor im Jahr benötigt
wird? (Berechnen Sie für diese Abschätzung den Phosphationenstrom an die Meeresoberfläche
mit der Diffusionskonstante der Phosphat-Ionen in Wasser: 1 · 10−5 cm2 /s und unter Berücksichtigung, dass das Gewicht von einem Mol eines Stoffes seiner atomaren Masse in Gramm entspricht)
Lösungsvorschlag:
J ≈D·
1 · 10−6 mol/l
mol
∆c
=
= 10−11
∆x
1000 m
l · cm
(Löslichkeit von Phosphor in Wasser ist maximal 10−6 mol/l ) Wenn man die Liter zusätzlich
mol
mol
≈ 3 · 10−8 2
in cm3 umwandelt, erhält man für den Fluss J = 10−19 2
. Die Diffusion
cm · s
m ·a
bewirkt also einen Strom an die Oberfläche von 0, 03µM bzw. 0, 1µg pro Quadratmeter und
Jahr. (1Mol Phosphor wiegt 31g. Atomgewicht 31u). Dies reicht bei weiten nicht aus, um das
erforderliche Gramm Phosphor in die euphotische Zone zu bringen! Aber wenn das in der
euphotischen Zone gebildete Phosphor gleich weiter verwendet wird und nur ein sehr kleiner
Teil absinkt und weil Meeresströmungen das Meer wirkungsvoll umwälzen und weil über die
Flüsse große Mengen an Phosphat aus Düngemitteln eingebracht werden, gibt es besonders in
Küstennähe eher keinen Phosphat Mangel als eher zuviel (Algenwachstum...)!
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