Stochastik II Stochastische Prozesse

Stochastik II
Stochastische Prozesse
Wintersemester 2014/15
Prof. Dr. U. Rösler
C. Kleinschmidt
Blatt 10
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Sei (Xn ) eine kommunizierende homogene Markoffkette mit endlichem Zustandsraum I. Dann gilt für jede Funktion f : I 7→ R
Z
N
1 X
f (Xn ) →
f (x)dµ(x)
N →∞
N
n=1
konvergiert in L1 . Hierbei ist µ das invariante Wahrscheinlichkeitsmaß der
Markoffkette.
Aufgabe 2 ((Erneuerungsfolgen und Markovketten, Teil 1); 4 Punkte)
Eine Folge (un )n∈N0 reeller Zahlen heißt Erneuerungsfolge,
P falls eine Folge
(fn )n∈N nichtnegativer reeller Zahlen so existiert, dass n∈N fn = 1 und
u0 = 1, un =
n
X
fi un−i für alle n ∈
N.
(1)
i=1
Zeigen Sie: Ist (Xn )n∈N0 eine Markovkette mit Zustandstandsraum E, x ∈ E
rekurrent und un := P (Xn = x | X0 = x) für alle n ∈ 0 , so ist (un )n∈N0
eine Erneuerungsfolge.
N
Hinweis: Ihnen können die Erst-Rückkehrzeiten τx helfen.
Anmerkung: Machen Sie sich klar, wie die oben angegebene Gleichung in den
allgemeinen Rahmen der Erneuerungsgleichungen passt.
Aufgabe 3 ((Erneuerungsfolgen und Markovketten, Teil 2); 4 Punkte)
Zeigen Sie umgekehrt: Ist (un )n∈N0 eine Erneuerungsfolge, so existiert eine
Markovkette (Xn )n∈N0 mit Zustandstandsraum E = 0 und ein x ∈ E so,
dass (P (Xn = x | X0 = x))n∈N0 die gleiche Erneuerungsgleichung (1) wie
(un )n∈N0 erfüllt.
Anmerkung: Man kann dann schon einsehen, dass un = P (Xn = x | X0 = x)
für alle n ∈ 0 .
N
N
Aufgabe 4 ((Erneuerungsfolgen und Markovketten, Teil 3); 4 Punkte)
Zeigen Sie: Sind (un )n∈N0 und (vn )n∈N0 Erneuerungsfolgen, so auch (un vn )n∈N0 .
Abgabe bis Freitag, den 30.01.2015, 12.15 Uhr im Postfach „Kleinschmidt“ im
3. Stock.