¨Ubungen zu “Theoretische Physik Ib—Elektrodynamik und Optik”

Universität Regensburg
Dr. Piotr Korcyl, Dr. Enno E. Scholz
Sommersemester 2017
Übungen zu
“Theoretische Physik Ib—Elektrodynamik und Optik”
Studiengang LA Gym und B.Sc. (Physik, Nanoscience, Computational Science)
Blatt 11 (für die Übungen in der Woche 10.7.–16.7.2017)
Aufgabe 1
Induktion
Eine rechteckige Leiterschleife mit Seitenlängen ax und ay in der xy-Ebene bewegt sich mit
konstanter (nicht-relativistischer) Geschwindigkeit ~v = vêx . In einem Bereich 0 ≤ x ≤ d mit
~ = Bêz , außerhalb dieses Bereiches ist kein Magnetfeld
d < ax wirkt ein konstantes Magnetfeld B
vorhanden. Berechnen Sie die in der Leiterschleife induzierte Spannung U (t) als Funktion der
Zeit.
Aufgabe 2
Energiefluss im ladenden Kondensator
Betrachten Sie einen Kondensator, der aus zwei kreisförmigen Platten jeweils mit Radius R im
Abstand d besteht. Die Kondensatorplatten werden mit dem konstanten Strom I0 geladen, so
dass für die obere bzw. untere Platte gilt:
d
Qoben,unten = ±I0 = const .
dt
a) Geben Sie das elektrische Feld zwischen den Platten an (unter Vernachlässigung von Randeffekten, es sei R d).
b) Berechnen Sie das magnetische Feld zwischen den Platten, welches durch das sich aufbauende
elektrische Feld induziert wird.
c) Berechnen Sie den Poynting-Vektor (Energiestromdichte) und zeigen Sie, dass die Änderung
der elektrischen Feldenergie dem Fluss durch die Seitenflächen entspricht und insbesondere
dWE
= I0 · U
dt
gilt, wobei U die Potentialdifferenz zwischen den Kondensatorplatten bezeichnet.
Aufgabe 3
Eindimensionale Wellengleichung
Betrachten Sie die eindimensionale homogene Wellengleichung
2
1 ∂2
∂
− 2 2 Φ(x, t) = 0 .
∂x2
c ∂t
a) Zeigen Sie, dass für beliebige (2-fach stetig differenzierbare) reelle Funktion f± (x)
Φ± (x, t) = f± (x ± ct)
Lösungen der Wellengleichung sind.
1
b) Zeigen Sie, dass die allgemeine Lösung der eindimensionalen homogenen Wellengleichung
Z
dk a(k) ei(kx−ωt) ,
Φhom,allg (x, t) = Re
ω = c|k|
mit einer im allgemeinen komplexen Funktion a(k) wie folgend zerlegt werden kann:
Φhom,allg (x, t) = Φ+ (x, t) + Φ− (x, t) .
c) Betrachten Sie nun eine Welle mit
2
f+ (x) = Φ0 e−γx ,
f− (x) = 0 ,
wobei Φ0 = const. Wie lautet die Zeitabhängigkeit Φ(x, t) einer solchen Welle?
Aufgabe 4
Greensche Funktion des Wellenoperators
Bekanntermaßen ist die Greensche Funktion zum Laplaceoperator die Funktion G∆ (~r, ~r 0 ) =
− 4π|~r1−~r 0 | , also
∆ G∆ (~r, ~r 0 ) = δ (3) (~r − ~r 0 ) .
Nun soll gezeigt werden, dass zum Wellenoperator (∆ + k 2 ) die Greensche Funktion
0
1 e±ik|~r−~r |
,
G±k (~r, ~r ) = −
4π |~r − ~r 0 |
0
∆ + k 2 G±k (~r, ~r 0 ) = δ (3) (~r − ~r 0 )
gehört. Gehen Sie hierzu folgendermaßen vor:
a) Betrachten Sie zunächt nur den Fall ~r 0 = ~0 und zeigen Sie, dass für ~r 6= ~0 gilt:
∆ + k2
e±ikr
r
= 0.
b) Um nun die Umgebung um ~r = ~0 zu untersuchen, betrachten Sie folgendes Volumenintegral
über eine Testkugel K mit Radius um ~r = ~0
Z
I =
K
e±ikr
d3 r f (~r ) ∆ + k 2
r
mit einer bei ~r = ~0 nicht-singulären (hinreichend stetigen) Testfunktion f (~r ) und zeigen
Sie:
I = −4π f (~0 ) + O(2 ) ,
so dass folgt
lim I = −4π f (~0 ) = lim
→0
→0
Z
d3 r f (~r) − 4π δ (3) (~r ) .
K
Da die Testfunktion beliebig ist, ist hiermit dann gezeigt:
e±ikr
= −4π δ (3) (~r )
r
Die Verallgemeinerung ergibt sich nun einfach durch Verschiebung des Vektors ~r → ~r − ~r 0 .
∆ + k2
2