UE Wahrscheinlichkeitsrechnung I WS 2005/06

UE Wahrscheinlichkeitsrechnung I WS 2005/06
Übungsblatt 6
34. Assume that, during each second, a Dartmouth switchboard receives one call with probability 0.01 and no
calls with probability 0.99. Use the Poisson approximation to estimate the probability that the operator
will miss at most one call if he takes a 5-minute coffee break.
Hinweis: switchboard . . . Vermittlung.
Probability theory was used in a famous court case: People vs. Collins (cf. M.W. Gray, “Statistics and the
Law,”, Mathematics Magazine, vol. 56 (1983), pp. 67–81). In this case a purse was snatched from an elderly
person in a Los Angeles suburb. A couple seen running from the scene were described as a black man with a
beard and a mustache and a blond girl with hair in a ponytail. Witnesses said they drove off in a partly yellow
car. Malcolm and Janet Collins were arrested. He was black and though clean shaven when arrested had evidence
of recently having had a beard and a mustache. She was blond and usually wore her hair in a ponytail. They
drove a partly yellow Lincoln. The prosecution called a professor of mathematics as a witness who suggested
that a conservative set of probabilities for the characteristics noted by the witnesses would be as shown below:
man with mustache
girl with blond hair
girl with ponytail
black man with beard
interracial couple in a car
partly yellow car
1/4
1/3
1/10
1/10
1/1000
1/10
The prosecution then argued that the probability that all of these characteristics are met by a randomly chosen
couple is the product of the probabilities or 1/12000000, which is very small. He claimed this was proof beyond
a reasonable doubt that the defendants were guilty. The jury agreed and handed down a verdict of guilty of
second-degree robbery.
Hinweis: People vs. Collins . . . Das Volk gegen Collins; purse . . . Handtasche; to snatch . . . entreissen, stehlen;
mustache . . . Oberlippenbart; interracial . . . von unterschiedlicher Hautfarbe; defendant . . . Angeklagter; verdict
. . . Schuldspruch.
35. In the appeal of the People vs. Collins case, the counsel for the defense argued as follows: Suppose, for
example, there are 5000000 couples in the Los Angeles area and the probability that a randomly chosen
couple fits the witnesses’ description is 1/12000000. Then the probability that there are two such couples
given that there is at least one is not at all small. Find this probability. (The California Suppreme Court
overturned the initial guilty verdict.)
Beispiele zu Verteilungsfunktionen & Dichten:
36. Gegeben sei die Funktion

 0
x2
F (x) =

1
falls x < 0,
falls 0 ≤ x < 1,
falls x ≥ 1.
(a) Zeigen Sie, daß F (x) eine Verteilungsfunktion ist; d.h. prüfen Sie nach, daß F (x) jene Eigenschaften
besitzt, die für Verteilungsfunktionen charakteristisch sind.
(b) Bestimmen Sie durch differenzieren die Dichte von F (x).
37. Sei X eine Zufallsvariable mit der Dichte
cx(1 − x)
f (x) =
0
falls 0 < x < 1,
sonst.
(a) Bestimmen Sie den Wert von c; d.h. welchen Wert muß c haben, sodaß
R∞
−∞
f (x)dx gleich 1 ist?
(b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X.
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist X < 1/4?
Zur Exponentialverteilung Exp(λ):
38. Zeigen Sie, daß für λ > 0 die Funktion
f (x) =
λe−λx
0
falls x ≥ 0,
falls x < 0
eine Dichte ist.
39. Suppose that the number of years a bulldozer will run is exponentially distributed with parameter λ = 1/4.
If Prosser buys a used yellow bulldozer today, what is the probability that it will still run after 4 years?
40. Überprüfen Sie die Eigenschaft der “Gedächtnislosigkeit” der Exponentialverteilung: Ist X ∼ Exp(λ)
(λ > 0), so ist P (X > z + x | X > z) = P (X > x).
Zur Gamma-Verteilung: Für α ≥ 0 ist die sogenannte Gamma-Funktion gegeben durch
Z ∞
Γ(α) =
xα−1 e−x dx.
0
41. Leiten Sie die folgenden Eigenschaften der Γ-Funktion her: Γ(1) = 1, und Γ(α + 1) = αΓ(α) (α ≥ 0). In
welcher Beziehung stehen Γ(n) und n! (n ∈ N)?
42. Zeigen Sie, daß für λ > 0, α > 0 die Funktion
f (x) =
λα
0
α−1 −λx
x
e
Γ(α)
falls x < 0,
falls x ≥ 0
eine Dichte ist. Die durch diese Dichte beschriebene Verteilung heißt Gamma-Verteilung mit Parametern
λ und α; kurz Gamma(λ, α).
43. Prüfen Sie mit Hilfe der entsprechenden Dichtefunktionen, daß gilt:
Gamma(λ, 1) ≡ Exp(λ).
D.h. also, daß die Gamma-Verteilung mit Parametern λ und 1 gleich der Exponentialverteilung mit Parameter λ ist.