Stochastik 1, Teil 2 - Fachbereich Mathematik und Statistik

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Dr. Volker Bürkel
Sommersemester 2011
Stochastik 1, Teil 2 (Statistik)
1. Übungsblatt
test test
Wir benötigen für die Aufgabe 1.1 den Transformationssatz, den wir zur Erinnerung nochmals
angeben (in allgemeinerer Form als für Aufgabe 1.1 erforderlich):
Transformationssatz: Sei S ∈ Bn (also eine Borel-Menge im Rn ), und sei S = ∪m
i=0 Si , wobei
die Si paarweise disjunkte Borelmengen des Rn sind und λ(S0 ) = 0 (λ: Lebesgue-Maß). Der
Rand der S1 , . . . , Sm sei jeweils eine Lebesgue-Nullmenge. Sei X ein Zufallsvektor mit Werten
in S und Dichte der Verteilung fX .
Sei g : S −→ Rn so, dass für i = 1, . . . , m die Einschränkungen gi := g|Si : Si −→ Rn injektiv
und stetig differenzierbar sind mit regulärer Jacobi-Matrix.
Dann hat die Verteilung von Y := g(X) ebenfalls eine Dichte. Sei wi : g(Si ) −→ Rn die Umkehrfunktion von gi . Dann besitzt Y die Dichte
fY (y) =
m
X
i= 1
Aufgabe 1.1
mit Dichte
fXi (xi ) =
¯
¶¯
µ
¯
dwi ¯¯
.
fX (wi (y)) ¯¯det
dy ¯
Seien X1 und X2 beide standard-normalverteilt und unabhängig (also jeweils
√1 e−
2π
x2
i
2
).
h
Bestimmen Sie die gemeinsame Dichte von Y =
Y1
Y2
i
h
:=
X1 +X2
X1 −X2
Aufgabe 1.2 Sei x1 , . . . , xn eine Folge reeller Zahlen und x̄ :=
Zeigen Sie: für alle c ∈ R gilt
i
.
1
n
Pn
i=1 xi .
n
n
X
X
(xi − c)2 =
(xi − x̄)2 + n(x̄ − c)2 .
i=1
i=1
Aufgabe 1.3 Sei X1 , . . . Xn eine Folge von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen (also eine Folge von iid-Zufallsvariablen) mit endlichem zweiten Moment. Sei µ := E[Xi ]
und σ 2 := var(Xi ) P
:= E[(Xi − µ)2 ].
P
1
Wir setzen X̄ = n ni=1 Xi und S̃ = n1 ni=1 (Xi − X̄)2 . Zeigen Sie:
1. E[X̄] = µ.
2. var(X̄) =
3. E[S̃] =
σ2
n .
n−1 2
n σ .
Aufgabe 1.4 (Computeraufgabe) Wir nehmen von einem sechsseitigen Würfel an, daß er
’fair’ ist in dem Sinne, daß die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer gegebenen Zahl bei jedem Wurf gleich 61 ist. Wir groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein solcher fairer Würfel bei 100
Würfen 25-mal oder häufiger eine ’sechs’ zeigt?
Schreiben Sie ein R-Skript, dass 5000 mal den Wurf von 100 Würfeln simuliert. Bestimmen Sie,
wie oft in diesen 5000 Simulationen die Zahl ’sechs’ mit einer Häufigkeit von 25 oder mehr vorkommt.
Hinweis: Verwenden Sie den R-Befehl sample mit Zurücklegen (replace = TRUE ).
Die weiteren Übungsblätter können über http://www.math.uni-konstanz.de/∼buerkel/ heruntergeladen werden. Auf dieser Seite finden Sie auch Richtlinien zur Berabeitung der Computeraufgaben. Die Übungsgruppen bleiben im wesentlichen bestehen, am Freitag, 8.30 -10.00 h
kommt eine weitere hinzu. Die letztliche Einteilung wird ebenfalls auf der oben genannten Homepage verlinkt.
Abgabe: Montag, 30.5.2011, 14.00 h, in die Briefkästen auf F4.