Aufgaben zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie I Prof. Dr. Holger Dette Dr. Stefan Fremdt WS 2013/2014 Blatt 3 Besprechung: In der Übung Donnerstag, 7. November 2013 Aufgabe 1. (4 Punkte) (a) Seien X und Y unabhängige, reelle Zufallsvariablen auf einem W’Raum (Ω, A, P ). Zeige, dass für deren charakteristische Funktionen gilt: ϕX ϕY = ϕX+Y . (b) Zeige, dass zwei reelle Zufallsvariablen X und Y auf (Ω, A, P ) genau dann unabhänging sind, wenn für deren charakteristische Funktionen gilt ϕX (s)ϕY (t) = ϕ(X,Y ) (s, t) für alle s, t ∈ R. (c) Sei ϕ die charakteristische Funktion einer absolut-stetigen d-dimensionalen Zufallsvariablen X. Zeige, dass ϕ nichtnegativ definit ist, d.h. es gilt: m X m X λi λj ϕ(ti − tj ) ≥ 0 für alle m ∈ N, λ1 , . . . , λm ∈ C, t1 , . . . , tm ∈ Rd . i=1 j=1 Aufgabe 2. (4 Punkte) (a) Für eine Menge M reeller Zufallsvariablen sei die Menge Mr = {|X|r : X ∈ M} gleichgradig (P -)integrierbar. Zeige, dass dann auch die Menge Mr∗ := {|aX + bY |r : X, Y ∈ Mr , a, b ∈ R, |a| ≤ 1, |b| ≤ 1} gleichgradig integrierbar ist. (b) Sei {Xn }n∈N eine i.i.d. Folge reeller Zufallsvariablen auf (Ω, A, P ) mit E|X1 |r < ∞, wobei r ≥ 1 (fest). Nach dem starken Gesetz der großen Zahlen gilt dann: n 1X f.s. X n := Xi −→ a := E[X1 ] (n → ∞). n i=1 Zeige, dass auch Lr X n −→ a (n → ∞). Aufgabe 3. (4 Punkte) (a) Seien {Xn }n∈N und X reelle Zufallsvariablen auf (Ω, A, P ) mit ∞ X P (|Xn − X| > ε) < ∞. (1) n=1 Dann gilt, dass Xn fast sicher gegen X konvergiert. Dies bedeutet, dass hinreichend schnelle stochastische Konvergenz fast sichere Konvergenz impliziert. Zeige, dass Bedingung (1) nicht notwendig für die fast sichere Konvergenz von Xn gegen X ist. (b) Seien {Xn }n∈N paarweise unkorrelierte und identisch verteilte Zufallsvariablen auf (Ω, A, P ) mit endlicher Varianz. Zeige: 2 n 1 X f.s. Xi −→ E[X1 ] für n → ∞. n2 i=1 Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei (Ω, A, P ) ein W’Raum und {Xn }n∈N eine Folge d-dimensionaler Zufallsvariablen, die in diesem stochastisch gegen eine Zufallsvariable X konvergiert. Zeige: (a) Für jede stetige Funktion h : Rd → Rk konvergiert h(Xn ) stochastisch gegen h(X) für n → ∞. (b) Für jede Folge (an )n∈N d-dimensionaler Vektoren mit limn→∞ an = a konvergiert aTn Xn stochastisch gegen aT X für n → ∞. (c) Sei {Yn }n∈N eine weitere Folge d-dimensionaler Zufallsvariablen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum, die stochastisch gegen eine Zufallsvariable Y konvergiere. Zeige, dass dann Xn + Yn stochastisch gegen X + Y und XnT Yn stochastisch gegen X T Y konvergiert.