Ubungen Analysis III Blatt Nr. 4 - Mathematisches Institut der

Prof. Dr. Matthias Lesch
Dr. Boris Vertman
Wintersemester 2012/2013
Mathematisches Institut Bonn
Übungen Analysis III
Blatt Nr. 4
1.November 2012
Abgabe am Donnerstag, den 8.November nach der Vorlesung.
Aufgabe 16. Es sei X eine nicht-leere Menge und A eine σ-Algebra auf X. Ein Maß
µ : A −→ [0, ∞] heißt Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn µ(X) = 1.
(i) Sei µ : A −→ [0, ∞] ein Maß und A0 ∈ A mit 0 < µ(A0 ) < ∞. Man zeige, dass
µA0 : A −→ [0, ∞],
A 7→
µ(A ∩ A0 )
µ(A0 )
ein Wahrscheinlichkeitsmaß definiert.
(ii) Für P
jedes n ∈ N sei an ∈ R>0 und µn : A −→ [0, ∞] ein Maß. Man zeige, dass auch
µ = n∈N an µn ein Maß auf A ist.
(iii) Eine Folge µn : A −→ [0, ∞] von Maßen heißt monoton wachsend, wenn µn (A) ≤ µm (A)
für all A ∈ A und n ≤ m. Man zeige, dass auch µ = limn→∞ µn ein Maß auf A ist.
Aufgabe 17. Es sei µ : B(Rn ) −→ {0, 1} ein Maß auf der Borelschen σ-Algebra von Rn
welches nur die Werte 0 und 1 annimmt. Man zeige, dass, wenn µ(Rn ) = 1 gilt, es einen
Punkt p ∈ Rn gibt, so dass µ = δp das Dirac Maß an p ist.
Aufgabe 18. Es sei X eine nicht-leere Menge und µ∗ : P(X) −→ [0, ∞] ein äußeres Maß.
Man zeige
(i) aus A ⊆ X und µ∗ (A) = 0 folgt, dass A µ∗ -messbar ist.
(ii) aus B ⊆ A ⊆ X und µ∗ (A) = 0 folgt, dass B µ∗ -messbar ist.
Aufgabe 19. Man nennt ein äußeres Maß µ∗ : P(X) −→ [0, ∞] regulär, wenn für jede
Teilmenge E ⊆ X eine µ∗ -messbare Menge A ⊆ X existiert, so dass
E ⊆ A und µ∗ (E) = µ∗ (A)
(1)
gilt. Es sei R ein Ring über X, µ ein σ-Inhalt auf R, und Aσ (R) die von R erzeugte σAlgebra. Es sei µ∗ : P(X) −→ [0, ∞] das aus µ konstruierte äußere Maß. Man zeige, dass
µ∗ regulär ist und zu jedem E ⊆ X die Menge A ⊆ X, welche (1) erfüllt, sogar aus Aσ (R)
gewählt werden kann.
Aufgabe 20 (Innere Maße). Es sei X eine nicht-leere Menge.
P(X) −→ [0, ∞] heißt inneres Maß, wenn
1
Eine Abbildung µ∗ :
1. µ∗ (∅) = 0 und µ∗ (A ∪ B) ≥ µ∗ (A) + µ∗ (B) für alle disjunkten A, B ∈ P(X),
T
2. µ∗ ( n∈N An ) = limn→∞ µ∗ (An ) für jede absteigende Folge von Mengen An ∈ P(X),
An ⊇ An+1 , mit µ∗ (A1 ) < ∞,
3. µ∗ (A) = ∞ ⇒ ∀R > 0 ∃B ⊆ A : R ≤ µ∗ (B) < ∞.
Sei A eine σ-Algebra auf X und µ : A −→ [0, ∞] ein σ-endliches Maß. Definiere für A ∈ P(X)
X
[
µ∗ (A) = sup{
µ(An ) | An ∈ A paarweise disjunkt,
An ⊆ A}.
n∈N
n∈N
Man zeige:
(i) µ∗ ist ein inneres Maß.
(ii) A ∈ P(X) mit µ∗ (A) < ∞ ist genau dann µ∗ -messbar, wenn µ∗ (A) = µ∗ (A).
∗-Aufgabe 3. (i) (Borel-Cantelli Lemma) Es sei (X, A, µ) ein Maßraum und An ∈ A,
n ∈ N, eine Folge von Mengen. Setze
\ [
A :=
An .
m∈N n≥m
Man zeige, dass aus
P
n∈N µ(An )
< ∞ folgt µ(A) = 0.
(ii) (Khinchins Theorem) Es sei X = (0, 1) und µ das durch die
PMetrik | · | induzierte
übliche Maß auf B(X). Sei α : N −→ [0, ∞) eine Funktion mit n∈N α(n) < ∞. Es sei
A ⊆ (0, 1) die Menge aller Punkte x ∈ (0, 1) für die unendlich viele Zahlen q ∈ N mit
folgender Eigenschaft existieren: Es gibt eine zu q teilerfremde ganze Zahl p ∈ N mit
|x − p/q| < α(q)/q. Man zeige, dass µ(A) = 0.
(Hinweis: Betrachte für q ∈ N die Mengen Aq = {x ∈ (0, 1) | ∃p ∈ N : |x − p/q| <
α(q)/q} und zeige µ(Aq ) ≤ 2α(q).)
Je Aufgabe sind jeweils bis zu 4 Punkte zu erreichen.
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