Knobelaufgabe Mathematikwettbewerb WS 2011/2012 Bei den

Knobelaufgabe Mathematikwettbewerb WS 2011/2012
Bei den folgenden Aufgaben gilt:
 Jeder Buchstabe entspricht einer bestimmten Ziffer von 1 bis 9.
 Unterschiedliche Buchstaben stehen für unterschiedliche Ziffern.
 ABC steht beispielsweise für die Zahl 261.
Wettbewerbsfragen (in der Schwierigkeit zunehmend)
a) Welche Möglichkeiten gibt es für A und B, so dass die Rechnung
A
 0, B B B B B B B B 
B
stimmt?
b) Für welche Ziffern stehen die Buchstaben A, B, C, D und E, so dass die Rechnung
AB
 0, DCE DCE DCE DCE 
CB
stimmt?
c) Für welche Ziffern stehen die Buchstaben A, B, C und D so dass die Rechnung
AB
 0, CBABC CBABC CBABC CBABC 
CAD
stimmt?
Lösung
a) Erste Lösung:
Zweite Lösung:
,
,
b) Da
lässt sich die Gleichung auch so schreiben:
und somit
Zerlegt man die Zahl 999 in seine Primfaktoren so erhält man:
Diese Primzahlen müssen auf die beiden Zahlen
ist also zum Beispiel ein Vielfaches von 37:
oder
oder
und
aufgeteilt werden,
,
ist ein Vielfaches von 27:
oder
oder
.
Wäre
nämlich nur ein Vielfaches von 3 oder 9, so wäre
111, was nicht geht.
ein Vielfaches von
Außerdem gelten die folgenden Eigenschaften:

und
haben die gleiche Einerziffer.

ist kleiner als
.
 Unterschiedliche Buchstaben stehen für unterschiedliche Ziffern.
Damit bleiben die folgenden 17 Fälle:
17/37
34/74
14/54
31/81
71/81
27/37
54/74
24/54
41/81
14/74
64/74
34/54
51/81
24/74
17/27
21/81
61/81
Die folgenden beiden Fälle sind erfolgreich:
also
und
.
also
und
.
c) Der Lösungsweg dieser Aufgabe ist analog zur Teilaufgabe b), wenn auch mit etwas
mehr Aufwand verbunden. Das eindeutige Ergebnis der Aufgabe lautet:
also
und
.
Gewinner
Die folgenden Mitspieler hatten richtige Lösungen und erhielten dafür eine Urkunde:
Melanie Munz, Anja Svoboda, Tayfun Yildirim, Michael Schwez, Andrea Hornberger,
Lorenz Bausch, Thomas Gottuck, Raphael Bär, Kathrin Bromberg, Markus Hägele, Jan
Homberg, Steffen Mergheim, Oliver Breuning, Martin Hau, Christian Henkel, Paul
Wermeling, Simon Schweikert, Tobias Finke
Sonderpreise für besonders elegante Lösungen gingen an:
Felix Jenne, Simon Klink, Georgios Mavridis, Michael Schertler
Allen Gewinnern herzlichen Glückwunsch!