Quantenmechanik II Musterlösung 10.

Quantenmechanik II
Musterlösung 10.
Übung 1.
FS 2017
Prof. Thomas Gehrmann
Streuung zweier identischer Spin- 12 -Teilchen
In der Vorlesung wurde die Streuung zweier identischer Spin-0 Teilchen behandelt. Wir wollen dies nun für
zwei Spin- 21 Teilchen wiederholen. Separiere die Wellenfunktion in Schwerpunkt- und Relativkoordinaten
und in Spinkoordinaten. Nimm an, dass die Teilchen an einem spinunabhängigen Potential streuen.
(a) Diskutiere die benötigte Symmetrie der relativen Wellenfunktion, wenn die Streuung in einem
Singlett-Zustand (s = 0) auftritt. Benutze dies, um die benötigten Modifikationen für die Streuamplitude und damit einen Ausdruck für den differentiellen Wirkungsquerschnitt zu erhalten.
(b) Wiederhole Teil (a), wenn die Streuung in einem Triplett-Zustand (s = 1) stattfindet.
Abbildung 1: Zwei mögliche ’Trajektorien’ durch ihren Spin unterscheidbarer Teilchen.
Lösung.
Die komplette Wellenfunktion im Schwerpunktsystem ist gegeben durch:
~ ~
~ ~r, S, ms ) = eiK·R ψ(~r) χ(S, ms ),
ψ(R,
wobei χ(S, ms ) die Wellenfunktion für den Gesamtspin der beiden Teilchen ist.
(a) Wenn die Streuung in einem Singlett-Zustand (s = 0) stattfindet, dann ist χ(S, ms ) antisymmetrisch unter der Vertauschung der beiden Teilchen. In diesem Fall muss die Gesamtwellenfunktion antisymmetrisch unter Vertauschung der zwei Teilchen sein, und somit
muss die räumliche Wellenfunktion symmetrisch sein, wie im Spin-0 Fall. Also erhalten wir
für den Singlett-Fall, dass die Streuamplitude gegen ist durch:
f(S=0) (ϑ, ϕ) = f (ϑ, ϕ) + f (π − ϑ, ϕ + π),
und der differentielle Wirkungsquerschnitt durch:
2
σ(ϑ, ϕ) = f(S=0) (ϑ, ϕ) = |f (ϑ, ϕ) + f (π − ϑ, ϕ + π)|2 .
√
Hier haben wir Faktoren von 2 bzw. 1/ 2 vernachlässigt, da sie sich gegenseitig wegheben.
1
(b) Wenn der Gesamtspin S = 1 ist, ist die Spinwellenfunktion symmetrisch unter Vertauschung der Teilchen. Also muss die Streuamplitude antisymmetrisch sein. Das Ergebnis
ist:
f(S=1) (ϑ, ϕ) = f (ϑ, ϕ) − f (π − ϑ, ϕ + π),
und für den differentiellen Wirkungsquerschnitt:
2
σ(ϑ, ϕ) = f(S=1) (ϑ, ϕ) = |f (ϑ, ϕ) − f (π − ϑ, ϕ + π)|2 .
Übung 2.
Heisenberg-Feldoperatoren
(a) Betrachte ein System nicht-wechselwirkender Bosonen und schreibe den Hamiltonoperator in der
∞
P
Form H =
~ω a†k ak . Finde einen expliziten Ausdruck für
k=0
i
i
ψH (~x, t) = e ~ Ht ψS (~x, t) e− ~ Ht ,
wobei ψS (~x) =
∞
P
h~x|ki ak .
k=0
Hinweis. Zerlege die zweite Exponentialfunktion und kommutiere ak durch Zeigen von
†
†
ak eλak ak = eλ(ak ak +1) ak .
(b) Berechne ψH (~x, t) für ein System nicht-wechselwirkender Fermionen.
Lösung.
(a) Der Hamilton-Operator des Feldes ist gegebn durch: H =
∞
P
k=0
~ω a†k ak . Der Feldoperator
im Heisenberg-Bild ist verbunden mit dem Feldoperator im Schrödinger-Bild über:
i
i
ψH (~x, t) = e ~ Ht ψS (~x, t)e− ~ Ht ,
mit ψS (~x) =
∞
P
h~x|ki ak .
k=0
i
i
Um e ~ Ht ak e− ~ Ht auszurechnen betrachten wir zuerst:
s
s−1 s−1
ak a†n an = ak a†n an a†n an
= δkn + a†n an ak a†n an
s−2 2 s−2
= δkn + a†n an ak a†n an a†n an
= δkn + a†n an ak a†n an
Also erhalten wir nach s Schritten:
s
s ak a†n an = δkn + a†n an ak .
Und damit:
†
ak ecan an = ak
∞ s X
c
s=0
s!
a†n an
s
=
∞ s X
c
s=0
2
s!
δkn + a†n an
s
†
ak = ec(δkn +an an ) ak
Damit erhalten wir:
eiHt/~ ak e−iHt/~ = eit
P
ωn a†n an
ak e−it
Also:
i
i
ψH (~x, t) = e ~ Ht ψS (~x) e− ~ Ht =
P
ωn a†n an
∞
X
= e−iωk t ak
h~x|ki e−iωk t ak
k=0
(b) Die Lösung für Fermionen beginnt wie oben. Es ist jedoch nun noch einfacher da ak mit
a†n an vertauscht wenn k 6= n, und für k = n findet man
an a†n an = −a†n an an + an = an
Das bedeutet, dass
X
X
eiHt/~ ak e−iHt/~ = exp it
ωn a†n an ak exp −it
ωn a†n an = e−iωk t ak
Also bekommen wir wie oben:
i
i
ψH (~x, t) = e ~ Ht ψS (~x)e− ~ Ht =
∞
X
k=0
3
h~x|ki e−iωk t ak