Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für
Studierende der Informatik
PD Dr. U. Ludwig
Vorlesung 6
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Stetige Zufallsvariable
Denition 2.9
Sei (Ω, A, p ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Funktion
X : Ω → R heiÿt stetige Zufallsvariable, falls es eine integrierbare,
nicht negative reelle Funktion f gibt mit der Eigenschaft
p (X ≤ x ) =
Z x
−∞
f (t )dt .
Die Funktion
F : R → [0, 1],
Rx
x 7→ p (X ≤ x ) = −∞
f (t )dt
heiÿt Verteilungsfunktion von
Zufallsvariablen
X.
X , die Funktion f
heiÿt Dichte der
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Beispiel: Standardnormalverteilung
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Eigenschaften der Verteilungsfunktion einer stetigen
Zufallsvariablen
Satz 2.10
Ist X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F
und Dichte
f,
so gilt:
x < y , so gilt F (x ) ≤ F (y ).
lim F (x ) = 0, lim F (x ) = 1.
(a) Ist
(b)
x →−∞
x →∞
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Eigenschaften der Verteilungsfunktion einer stetigen
Zufallsvariablen (bis)
Satz 2.11
Ist F eine Verteilungsfunktion der stetigen Zufallsvariablen X
der Dichte f , so gilt für alle reellen Zahlen a < b :
Rb
(a) p (a < X ≤ b ) = F (b ) − F (a) =
a f (t )dt .
R∞
(b) p (a < X ) = 1 − F (a) =
a f (t )dt .
mit
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Diskrete unabhängige Zufallsvariable (Erinnerung und
Korrektur)
Denition 2.8
Zwei diskrete Zufallsvariable
Wahrscheinlichkeitsraum
Ω
X
und
Y
auf einem
heiÿen unabhängig, wenn die Ereignisse
X = x und Y = y für jedes beliebige Tupel (x , y ) mit x ∈ X (Ω)
und y ∈ Y (Ω) unabhängig sind, d.h. wenn gilt:
p ((X = x ) ∩ (Y = y )) = p (X = x ) · p (Y = y ).
Sonst heiÿen
X
und
Y
abhängig.
Beispiel: Experiment: Würfeln mit 2 Würfeln
X =Augenzahl Würfel 1, Y = Augenzahl Würfel 2,
Z =Augensumme. Die Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig,
die Zufallsvariablen X und Z sind abhängig.
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Stetige unabhängige Zufallsvariablen
Denition 2.13
X und Y heiÿen unabhängig, wenn die
2
Ereignisse X ≤ x und Y ≤ y für beliebige (x , y ) ∈ R unabhängig
Zwei stetige Zufallsvariable
sind, d.h. wenn
p ((X ≤ x ) ∩ (Y ≤ y )) = p (X ≤ x ) · p (Y ≤ y )
gilt. Sonst heiÿen
X
und
Y
abhängig.
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§
2.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
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Beispiel: Roulettespiel
Laplaceraum
Ω = {0, 1, 2 . . . , 36}.
(A) Setze 1 Euro auf die Zahl 7. Wird die gewählte Zahl
ausgespielt erhält man als Gewinn 36 Euro (wovon der Einsatz
eingezogen wird).
(B) Setze 1 Euro auf ungerade Zahl. Der Gewinn beträgt 2 Euro.
(C) Setze 1 Euro auf das Tripel
(1, 2, 3),
der Gewinn beträgt 12
Euro.
Zahlen
5, 9, 11, 13, 15 . . . 35
1,3
2
7
Rest
(15 Werte)
Gewinn
2
(18 Werte)
12+2
12
36+2
X = Zufallsvariable Gewinn, X (Ω) = {0, 2, 12, 14, 38}
Erwartungswert:
2
1
1
E (X ) = 2 · 15
37 + 14 · 37 + 12 · 37 + 38 · 37 =
108
37
0
' 2, 92
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Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen
Denition 2.14
Sei X eine diskrete Zufallsvariable.
E (X ) =
in der über alle Werte
x
aus
X
x ∈X (Ω)
Falls die Summe
x · p (X = x )
(1)
X (Ω) summiert wird, eindeutig
X.
existiert, so heiÿt sie Erwartungswert von
Bemerkung
Ist die Wertemenge
X (Ω) endlich so existiert die Summe (1)
immer. Ist die Summe (1) unendlich so muss sie nicht immer
konvergieren, dann gibt es keinen Erwartungswert. Wenn wir in
Zukunft
E (X ) schreiben, so gehen wir davon aus, dass der
Erwartungswert existiert.
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Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen
Denition 2.14
Ist X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion f .
Falls
das Integral
E (X ) :=
Z
∞
−∞
xf (x )dx
existiert, so heiÿt es der Erwartungswert der Zufallsvariablen
Der Erwartungswert wird oft auch einfach mit
X.
E (X ) = µ
bezeichnet.
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Rechenregeln für den Erwartungswert
Satz 2.17
Sind X , Y zwei Zufallsgröÿen mit existierenden Erwartungswerten,
so gelten folgende Aussagen:
(i)
(ii)
(iii)
E (aX + b) = aE (X ) + b
für beliebige Konstanten
a , b ∈ R.
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ).
Gilt X ≤ Y , d.h. X (ω) ≤ Y (ω) für alle ω ∈ Ω, so folgt
E (X ) ≤ E (Y ).
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Beispiel: Roulette
XA
Zufallsvariable, die den Gewinn beim Setzen von 1 Euro
auf die Zahl 7 beschreibt.
XB
Zufallsvariable, die den Gewinn beim Setzen von 1 Euro
auf ungerade Zahl beschreibt.
XC
Zufallsvariable, die den Gewinn beim Setzen von 1 Euro
auf
(1, 2, 3).
Erwartungswerte:
E (XA ) = 36 · p (XA = 7) + 0 · p (XA 6= 7) =
36
37
E (XB ) = 2 · p (XB = ungerade) + 0 · p (XB = gerade) =
E (XC ) = 12 · p (XC = 1, 2, 3) + 0 · p (XC 6= 1, 2, 3) =
36
37
36
37
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Varianz diskreter Zufallsvariablen
Denition 2.18
Ist X eine diskrete Zufallsvariable mit Erwartungswert E (X ) = µ,
so heiÿt der Wert
Var (X ) := E ((X − µ)2 )
die Varianz von
X.
Satz
Für eine diskrete Zufallsvariable
Var (X ) =
X
x ∈X (Ω)
X
mit Erwartungswert
µ
gilt
(x − µ)2 p (X = x ) = E (X 2 ) − µ2 .
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