¨Ubungsaufgaben Mathematik II für Studierende der Physik: Blatt 9

Fachbereich
Mathematik
Prof. Dr. Jörg Teschner,
PD Dr. Ralf Holtkamp
Übungsaufgaben Mathematik II für Studierende der Physik:
Blatt 9 zur Abgabe am 21.6.2017 (in den Übungen).
Die Lösungen der folgenden Aufgaben sind schriftlich auszuarbeiten und handschriftlich
abzugeben. Sie können für dieses Blatt zu zweit zusammenarbeiten und Lösungen abgeben. Dabei müssen allerdings beide, die zusammen abgeben, derselben Übungsgruppe
angehören, und jeder Abgabepartner sollte erkenntlich pro Blatt mindestens eine Aufgabenlösung aufgeschrieben haben.
Aufgabe 1: (3 Punkte)
Betrachten Sie die differenzierbare Funktion F : R3 → R2 mit F1 (x1 , x2 , x3 ) = sin(x1 x2 x3 )
und F2 (x1 , x2 , x3 ) = cos(x1 x2 x3 ), sowie die differenzierbare Funktion G : R2 → R2 mit
G1 (y1 , y2 ) = 5y12 − 3y22 und G2 (y1 , y2 ) = y12 + y22 , und H := G ◦ F : R3 → R2 .
Berechnen Sie dHx auf zwei Weisen: einmal, indem Sie zunächst H bestimmen, und einmal,
indem Sie die Kettenregel verwenden.
Aufgabe 2: (3 Punkte)
Wir fassen
O(n) := {T ∈ GL(n, R) : T · T t = 1n }
⊆ Mat(n, R)
2
als eine Untermenge von Rn auf. Es sei ε > 0 und A : (−ε, ε) → Mat(n, R), t 7→ A(t) eine
differenzierbare Abbildung, so dass A((−ε, ε)) ⊆ O(n) ist und A(0) = 1n gilt. Außerdem
sei:
d B = A.
dt t=0
Beweisen Sie die Identität B t = −B.
Aufgabe 3: (2 Punkte)
Bestimmen Sie das quadratische Taylorpolynom der Funktion
f : (0, ∞) × (0, ∞) → R,
f (x, y) =
x−y
x+y
im Punkt (1, 2).
Aufgabe 4: (3 Punkte)
Zeigen Sie, dass eine symmetrische Matrix A genau dann positiv definit bzw. negativ
definit bzw. indefinit ist, wenn unter ihren Eigenwerten nur positive Zahlen bzw. nur
negative Zahlen bzw. sowohl positive wie negative Zahlen sind.
Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass es zu jeder symmetrischen Matrix A eine orthogonale
Matrix S gibt, so dass S t · A · S eine Diagonalmatrix ist (vgl. Blatt 4).
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Aufgabe 5: (1+4 Punkte)
In der Vorlesung wird für die Polarkoordinatenabbildung
R2 → R2 ,
(r, ϕ) 7→ (x, y) = (r cos ϕ, r sin ϕ)
gezeigt:
Zu jedem Punkt (r0 , ϕ0 ) ∈ (R \ {0}) × R gibt es eine offene Umgebung U ⊆ (R \ {0}) × R,
so dass die Abbildung Φ : U → Φ(U ), (r, ϕ) 7→ (x, y) unendlich oft differenzierbar ist und
eine unendlich oft differenzierbare Umkehrabbildung besitzt.
Betrachten Sie im Folgenden
π π
Φ : R+ × (− , ) → R+ × R,
2 2
(r, ϕ) 7→ (x, y)
mit der Umkehrabbildung Ψ definiert auf R+ × R, also:
p
y .
Ψ(x, y) =
x2 + y 2 , arctan
x
(a) Beweisen Sie, dass Ψ tatsächlich die Umkehrabbildung zu Φ ist.
(b) Sei nun ∆ : f 7→ ∆f der Laplace-Operator angewendet auf eine zweimal stetig differenzierbare Abbildung f : R+ × R → R, (x, y) 7→ f (x, y). Beweisen Sie, dass
∆(f ◦ Φ) =
∂ 2F
1 ∂F
1 ∂ 2F
+
+
∂r2
r ∂r
r2 ∂ϕ2
für F (r, ϕ) := f (Φ(r, ϕ)) gilt, indem Sie zur Berechnung von ∆(F ◦Ψ) die Kettenregel
verwenden.
2