Mathematische Methoden für Informatiker INF-120

Fachrichtung Mathematik • Institut für Algebra • Prof. Dr. Ulrike Baumann
Mathematische Methoden für Informatiker INF-120
Sommersemester 2016
4. Kurz-Lösungen für die Woche 02.05. - 08.05.2016
Unendliche Reihen, stetige Funktionen
∞
P
|
ak eine beliebige Zahlenreihe, die dem Quotientenkriterium genügt: lim |a|ak+1
< 1.
k|
k→∞
p
Es existiert aufgrund der strengen Ungleichung ein q ∈ (0, 1) mit lim k |ak | < q und damit ein Index
Ü19 Es sei
k=0
k→∞
|ak+1 |
|ak |
k0 ∈ N, so dass
< q für alle k ≥ k0 . Daraus läßt sich weiter schließen:
|ak+1 | < q|ak | < q 2 |ak−1 | < . . . < q k−k0 +1 |ak0 |
für alle k ≥ k0 .
(genauer Nachweis der resultierenden Ungleichung eigentlich mit vollst. Induktion.)
0 ≤ |ak+1 | <
|ak0 | k+1
q
q k0
| {z }
Also gilt
für alle k ≥ k0 .
=:c
Da die geometrische Reihe
und folglich
∞
P
q k wegen q ∈ (0, 1) konvergiert, ist auch die Reihe
k=0
∞
P
∞
P
cq k konvergent
k=0
ak nach dem Vergleichskriterium absolut konvergent.
k=0
Ü20 (e)
∞
P
√
k
(−1)
k=1
k
.
(2k − 1)
| {z }
=:ak
Offenbar ist, da ak > 0 für k ≥ 1, die Reihe alternierend. Weiter gilt:
Leibnizkriterium:
√
k
2k+1
k→∞
Die Folge (ak ) ist Nullfolge, denn lim ak = lim
k→∞
= lim
k→∞
√1
k
1 Stetigkeit
=
1
k→∞ 2+ k
· lim
Die Folge (ak ) ist streng monoton fallend, denn
√
√
⇔
⇔
⇔
⇔
k
2k−1
k(2k + 1)
k(4k 2 + 4k + 1)
4k 3 + 4k 2 + k
4k 2 + 4k
√
>
>
>
>
>
k+1
2(k+1)−1
√
k + 1(2k − 1)
(k + 1)(4k 2 − 4k + 1)
4k 3 − 3k + 1
1
wahre Aussage für k ≥ 1, k ∈ N.
Folglich ist die Reihe konvergent.
(a)
∞
P
k
(−1)k
.
k+1
{z
}
k=1 |
Die Folge lim ck ist keine Nullfolge, also ist die Reihe divergent.
k→∞
=ck
Ü21 (a) f (x) = 4x(1 − x).
Definitionsbereich:
D(f ) = R.
Wertebereich: Es ist f eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt bei
x = 12 (Maximalstelle) und f ( 21 ) = 1.
Die Funktion ist auf ganz R stetig, also ist W (f ) = (−∞, 1].
Sie ist nicht injektiv, da z.B. f (1) = f (0) = 0.
1
0 · 2+0
= 0.
Sie ist auch nicht surjektiv, da W (f ) 6= R gilt.
Die Parabel ist auf den Intervallen I1 = (−∞, 21 ] und I2 = [ 12 , ∞) injektiv, dort existiert jeweils
die Umkehrfunktion:
√
Es gilt: y = 4x − 4x2 ⇒ x2 − x + y4 = 0 ⇒ x1,2 = 12 ± 12 1 − y. Also folgt:
√
Auf I1 : f −1 (x) = 21 − 12 √1 − y und D(f −1 ) = (−∞, 1].
Auf I2 : f −1 (x) = 12 + 12 1 − y und D(f −1 ) = (−∞, 1].
√
(b) f (x) = ln( x + 1), x > −1.
√
Definitionsbereich: D(f ) = (−1, ∞), da wegen des Logarithmus x + 1 > 0 gelten muss und
weiter wegen der Wurzel x + 1 > 0.
√
Wertebereich: y = g(x) = x + 1 erreicht alle Werte y > 0, also den gesamten Definitionsbereich
des Logarithmus, folglich ist W (f ) = R.
Die Funktion ist streng monoton wachsend und stetig (beide Funktionen der Verkettung haben
diese Eigenschaften), folglich ist f injektiv und hat eine Umkehrfunktion.
√
für alle y ∈ R
y = ln( x + 1) ⇔ 2y = ln(x + 1) ⇔ x = f −1 (y) = e2y − 1
(Die Vorüberlegungen sind bei sauberer Umstellung von y = f (x) auf x = f −1 (y) nicht notwendig. Gäbe es die
Umkehrfunktion nicht, würden Probleme bei der äquivalenten Umformung auftauchen.)
(c) f (x) = ln(|x + 1| − 2).
Wegen des Logarithmus muss |x + 1| > 2 gelten, also
Definitionsbereich:
D(f ) = (−∞, −3) ∪ (1, ∞).
Wertebereich:
Da das Argument alle Werte in (0, ∞) annimmt, folgt (ln ist stetig)
W (f ) = W (ln) = R.
Die Funktion ist nicht injektiv, z.B. f (−4) = f (2) = 0 (Symm. bzgl. Geraden x = −1).
Sie ist jedoch surjektiv, da W (f ) = R.
Da der Logarithmus streng monoton ist, ist f auf den Intervallen I1 = (−∞, −3) und I2 = (1, ∞)
injektiv, dort existiert jeweils die Umkehrfunktion:
Es gilt: ln(|x + 1| − 2) = y ⇒ |x + 1| = ey + 2. Also folgt:
f −1 (x) = −ey − 3 und D(f −1 ) = R.
f −1 (x) = ey + 1 und D(f −1 ) = R.
Auf I1 :
Auf I2 :
H23 (a) Es ist lim
q
Die Reihe
Pα
n→∞
4n+1
2n−3
r
=
1
4+ n
3
2−
n→∞
n
lim
n
n=2 (−1) bn
=
√
2, also ist es eine Nullfolge lim bn =
√
n→∞
2−
√
2 = 0.
konvergiert nach dem LK, denn
• sie ist Nullfolge, s.o.
• und streng monoton fallend, denn
bn
>
r
4n + 1
2n − 3
4n + 1
⇐⇒
2n − 3
⇐⇒ (4n + 1)(2n − 1)
⇐⇒ 8n2 − 2n − 1
q
√
4n+1
2
• und alternierend, da lim
2n−3 =
⇐⇒
n→∞
(b) (i)
∞
P
n=1
(3k)2
2·3k
=
1
2
∞
P
n=1
>
>
>
>
bn+1
r
4n + 5
2n − 1
4n + 5
2n − 1
(4n + 5)(2n − 3)
8n2 − 2n − 15 wahre Aussage
und (bn ) smf, also bn ≥
√
2 > 0 für alle n ≥ 2.
(3k)2
3k
mit Wurzelkriterium:
√
k
lim
k→∞
mit Quotientenkriterium:
(3k)2
3
1
k→∞ 2
= lim
(3(k+1))2 ·3k
k+1 (3k)2
k→∞ 3
lim
√
√
k
9( k k)2 =
1
k→∞ 3
= lim
1
3
<1
k+1 2
k
=
1
3
< 1.
⇒ die Reihe ist absolut konvergent.
∞
P
1
√ .
(−1)k
(ii)
k− k
k=2
| {z }
=:ak
Leibnizkriterium:
Da ak > 0, ist die Reihe alternierend. Weiter gilt:
1√
k→∞ k− k
Die Folge (ak ) ist Nullfolge, denn lim ak = lim
k→∞
1
k→∞ k
= lim
1
1
k→∞ 1− √k
· lim
= 0.
Die Folge (ak ) ist streng monoton fallend, denn die Folgen (xk ) und (yk ) mit xk =
1
yk = √k−1
sind streng monoton fallend und ak = xk · yk .
√1
k
und
Alternativ:
< k−1√k
√
1− k+1
⇔
k√− k < k + √
⇔
k+1 < 1+ √
k
⇔
k+1 < √
1+2 k+k
⇔
0 <
k
wahre Aussage.
Folglich ist die Reihe konvergent. Sie ist aber nicht absolut konvergent, denn für k > 1, k ∈ N
ist k−1√k ≥ k1 , und die harmonische Reihe ist divergent. Damit nach dem Vergleichskriterium
auch die vorliegende Reihe.
P∞ 1 4k (k + 1)!
(iii)
,
k=1 2
k
| k{z }
1√
k+1− k+1
√
=:ck
Quotientenkriterium:
ck+1 ck =
4k+1 (k+2)! kk
(k+1)k+1 4k (k+1)!
=
4(k+2)
k
k
k+1
k+1
k+1
1
= e1 , also lim 4 1 + k2 1 − k+1
=
k→∞
k→∞
für hinreichend großes k, folglich ist die Reihe divergent.
Da lim
H24 (a) f (x) = √
1−
1
k+1
k+1
k+1
1
= 4 1 + k2 1− k+1
.
4
e
> 1, folgt ck+1
ck > 1
1
−1
x2 + 2x − 3
Definitionsbereich: Da Nenner 6= 0 gelten muss und die Wurzel nur für nicht-negative
Zahlen definiert ist, ist die Forderung: x2 + 2x − 3 > 0.
√
Es ist x2 + 2x − 3 = 0 für x1,2 = −1 ± 1 + 3, also x1 = −3 und x2 = 1.
Folglich ist D(f ) = {x ∈ R : x < −3 ∨ x > 1} = (−∞, −3) ∪ (1, ∞).
Bild: Die Funktion g(x) = x2 + 2x − 3 ist stetig auf D(f ), sie nimmt dort alle Werte
in (0, ∞) an. Die Wurzelfunktion
Wert 0 und ist nach oben unpist stetig, hat als minimalen
1
beschränkt, also nimmt h(x) = g(x) und damit auch h(x)
ebenfalls alle Werte in (0, ∞) an.
1
− 1 das Bild W (f ) = (−1, ∞).
Folglich ist für f (x) = h(x)
(b) g(x) = ln(|x + 1| − |x|)
Definitionsbereich:
Da ln nur für positive Zahlen definiert ist, muss |x + 1| > |x| gelten.
Fall 1: Für x ≥ 0 ist das offensichtlich erfüllt (x + 1 > x).
Fall 2: −1 ≤ x < 0 ⇒ x + 1 > −x ⇔ x > − 21 ⇒ Lösungsmenge − 12 < x < 0.
Fall 3: x < −1 ⇒ −(x + 1) > −x ⇔ −1 > 0 Widerspruch. Lösungsmenge ist leer.
⇒
D(g) = (− 21 , ∞).
Bild:
Da
Die Fallunterscheidung liefert
(
ln(2x + 1)
g(x) =
0
lim
1
x→− 2 +0
für − 21 < x < 0,
.
für x ≥ 0
g(x) = −∞, der Logarithmus monoton wächst und die Funktion g(x) stetig ist
( lim g(x) = ln(2 · 0 + 1) = 0), folgt W (g) = (−∞, 0].
x→0−0