Übungsblatt 13

Algebraische Geometrie I
WS 2012/13
Übungsblatt 13
Prof. Dr. Ulrich Görtz
Dr. Christian Kappen
Übungsblatt 13
Aufgabe 1
Sei R ein Ring, sei PnR der n-dimensionale projektive Raum über R, und für i = 0, . . . , n sei Ui ⊆ PnR
das Komplement von V+ (Xi ), d.h.
"
#
ci
X0
X
Xn ∼ n
Ui = Spec R
,...,
,...,
= AR .
Xi
Xi
Xi
Zeigen Sie, dass für r > 0 der kanonische Homomorphismus
R → Γ(U0 ∪ · · · ∪ Ur , OPnR )
ein Isomorphismus ist.
Aufgabe 2
Sei p eine Primzahl. Geben Sie ein Beispiel für ein Schema X an, derart dass für alle U ⊆ X offen
die Bedingung p · 1 = 0 ∈ OX (U ) gilt und so dass der Frobenius-Morphismus FrobX = (f, f [ )
[
induziert, ohne selbst ein
(vgl. Aufgabe 3 auf Blatt 12) einen Isomorphismus globaler Schnitte fX
Isomorphismus zu sein.
Aufgabe 3
Sei X ein topologischer Raum, und sei t(X) die Menge aller irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen
von X. Zeigen Sie:
a) Ist Z ⊆ X abgeschlossen, so ist t(Z) in natürlicher Weise eine Teilmenge von t(X), und die
Menge
{t(Z) ; Z ⊆ X abgeschlossen}
all dieser Teilmengen ist die Menge der abgeschlossenen Teilmengen einer Topologie auf t(X).
b) Ist Y ein weiterer topologischer Raum und ist f : X → Y eine stetige Abbildung, so ist die
Abbildung t(f ) : t(X) → t(Y ), welche eine abgeschlossene irreduzible Teilmenge Z ⊆ X auf den
Abschluss von f (Z) in Y abbildet, wohldefiniert und stetig, und die Zuordnungen X 7→ t(X),
f 7→ t(f ) erklären einen Funktor von der Kategorie der topologischen Räume in sich.
c) Jede irreduzible abgeschlossene Teilmenge von t(X) besitzt genau einen generischen Punkt.
d) Ist jeder Punkt von X in X abgeschlossen und ist αX : X ,→ t(X) die kanonische, durch x 7→ {x}
−1
gegebene Inklusion, so erklärt die Zuordnung V 7→ αX
(V ) eine Bijektion zwischen der Menge
der abgeschlossenen Teilmengen von t(X) und der Menge der abgeschlossenen Teilmengen von
X.
e) Es ist αX ein Homömorphismus von X auf αX (X), und αX (X) ⊆ t(X) ist sehr dicht.
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