In einer PIC-Simulation (particle-in-cell) - Delta

Zur Herleitung der Rekursionsformel in Übungsblatt 5, Aufgabe 3:
In einer PIC-Simulation (particle-in-cell) sind Gitterpunkte k gegeben, denen eine Ladungsdichte ρk zugeordnet wird, wobei k = 1 . . . nc +1 und ρ1 = ρnc +1 gilt, d.h. das Modell ist zyklisch.
Aus den Ladungsdichten soll für jeden Gitterpunkt das elektrische Feld Ek berechnet werden.
Aus der Poissongleichung
∆ϕ = −
ρ
ε◦
~ = −gradϕ
E
mit
(1)
ergibt sich in einer Dimension die Differenzengleichung
1
{ρk + ρk+1 } ,
(2)
2
wobei über zwei benachbarte Punkte arithmetisch gemittelt wird und alle Größen zur Vereinfachung dimensionslos sind, d.h. einheitenabhängige Konstanten wie ε◦ werden ignoriert. Wenn
E1 bekannt ist, können die anderen Werte des elektrischen Felds rekursiv berechnet werden:
Ek+1 − Ek =
E2 = E1 +
1
{ρ1 + ρ2 }
2
E3 = E2 +
1
1
1
{ρ2 + ρ3 } = E1 + {ρ1 + ρ2 } + {ρ2 + ρ3 } usw. (3)
2
2
2
Für das elektrische Feld am Gitterpunkt j gilt also
Ej = E1 +
j−1
X
1
{ρk + ρk+1 } .
2
k=1
(4)
Mit Gl. (4) und der Bedingung, dass die Summe aller elektrischen Felder null ist, gilt
nc
X
Ej = 0 = E1 +
j=1
nc
X
Ej = E1 +
j=2
nc
X
j=2
E1 +
nc j−1
X
X1
j=2 k=1
2
{ρk + ρk+1 } .
(5)
Damit kann E1 als Ausgangspunkt für die rekursive Berechnung aller Ek angegeben werden:

E1 =

nc j−1
X1
1 
1 X
E1 +
{ρk + ρk+1 } .
E1  = −
nc
nc j=2 k=1 2
j=2
nc
X
(6)
Die nächste Seite zeigt als Beispiel das Ergebnis einer PIC-Simulation.
Literatur zur numerischen Simulation von Plasmen:
W. Kruer, The Physics of Laser Plasma Interactions, Addison-Wesley 1988
C. Birdsall, A. Longdon, Plasma Physics via Computer Simulation, Taylor & Francis 2005.
1
Abbildung 1: Elektronen im Plasma nach 200, 400, 600, 800 und 1000 Zeitschritten in einer PICSimulation. Die Elektronen sind im Phasenraum (Ort, Geschwindigkeit) gezeigt, wobei zur Darstellung
mehrerer Zeitschritte zur Geschwindigkeit eine Konstante addiert wurde (5 Einheiten pro 200 Schritte).
Die Elektronen wurden mit entgegengesetzten Anfangsgeschwindigkeiten gestartet. Nach 600 Schritten
hat sich eine sog. Zwei-Strom-Instabilität entwickelt.
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