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Prof. Dr. D. van Straten
21. März 2002
Oliver Labs
Konrad Möhring
Mathematik für Informatiker I
Klausur am 21. März 2002
Die Bearbeitungszeit für die Klausur beträgt 3 Stunden. Es sind keine Hilfmittel erlaubt.
Bitte bearbeitet alle Aufgaben auf gesonderten Blättern und schreibt auf jedes Blatt Euren
Namen und Eure Matrikelnummer.
Man kann 100 Punkte mit den regulären Aufgaben erreichen. Dazu kommen die 10 Punkte für
die Zusatzaufgabe. Wer insgesamt 50 Punkte erreicht, hat bestanden.
In die nächste Tabelle bitte nichts eintragen.
Punkte
1. Aufgabe
2. Aufgabe
3. Aufgabe
4. Aufgabe
5. Aufgabe
6. Aufgabe
7. Aufgabe
8. Aufgabe
9. Aufgabe
10. Aufgabe
11. Aufgabe
12. Aufgabe
13. Aufgabe
∗
14. Aufgabe
Summe
1. (8
Punkte ) Zeige mit vollständiger Induktion, dass für alle
n≥2
gilt
n
X
√
1
√ > n.
k
k=1
2. (4
Punkte ) Schreibe
3. (2 + 2 + 2 + 3 + 3
(a) lim
n→∞
1
als
3
= 12
5-adische
Zahl.
Punkte ) Berechne die folgenden Grenzwerte:
2
4n2 − 7n + 2
n−
3
6n + 3
√1
(b) lim e n
n→∞
1 1
+
(c) lim log5
n→∞
5 n
1
(d)
lim ln(1 + 2 + · · · + n) − 2 ln(n)
ln(2) n→∞
i
n
X
1
für k ∈ N
(e) lim
k·
n→∞
2k + 1
i=1
4. (4
Punkte ) Schreibe die folgenden komplexen Zahlen in der Form
(a) i7
5. (8
(b)
1
3 + 4i
(c) (2 − i)3
(d)
√
a + bi
mit
a, b ∈ R:
π
π 2 cos( ) + i sin( )
4
4
Punkte ) Wir betrachten die Rekursionsgleichung xn+1 = 2xn +4n mit Startwert x0 = 1.
(a) Gib das charakteristische Polynom und die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Rekursionsgleichung an.
(b) Finde eine spezielle Lösung der inhomogenen Rekursionsgleichung.
(c) Gib eine explizite Formel für das
(d) Überprüfe die Formel für
6. (6
n-te
Folgenglied an.
n = 0, 1, 2 und durch Einsetzen in die Rekursionsgleichung.
Punkte )
(a) Wende den Euklidischen Algorithmus auf das Paar
gemeinsame Teiler von
(b) Finde
A, B ∈ Z,
(c) Finde ein
7. (6
221
so dass
und
(221, 85)
an. Was ist der gröÿte
85?
A · 221 + B · 85 = ggT(221, 85)
ist.
x ∈ Z/221Z, welches die Kongruenzgleichung 85X ≡ 187 mod 221 erfüllt.
Punkte ) Gib alle Lösungen des folgenden Systems von Kongruenzen an:
X≡3
X≡2
X≡5
8. (10 × 2
(a)
√
= 20
4
Punkte ) Wahr oder falsch?
mod 5
mod 6
mod 7
Gib jeweils eine kurze Begründung an.
ist irrational.
(b) Jede monotone Folge ist konvergent.
(c) Jede konvergente Folge ist nach oben beschränkt.
R → R, x 7→ |x|, ist stetig.
(d) Die Betragsfunktion
z gilt |Im(z)| ≤ |z|.
n
=
.
n
n
d e
b c
(e) Für jede komplexe Zahl
(f) Für alle
n∈N
gilt
(g) Für eine gerade Zahl
n
2
2
n∈
N gilt ϕ(n) ≤
n
, wobei
2
die Eulersche Totientfunktion
ϕ
ist.
(h) Es gibt keine Bijektion zwischen einer abzählbaren und einer überabzählbaren Menge.
(i) Für alle quadratischen Matrizen über
R gilt det(A + B) = det(A) + det(B).
(j) Wenn ein lineares Gleichungssystem den Null-Vektor als Lösung hat, dann ist es
homogen.
9. (8
Punkte ) Für welche rellen Zahlen t ∈ R ist die Matrix
At =
invertierbar? Gib für diese
10. ( 2 + 2
11. ( 8
R
=4
2t + 3 t2
1
1
die inverse Matrix
A−1
t
an.
Punkte ) Sind diese Vektoren linear unabhängig über K ?
(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 3, 4) ∈ R3 ,
K = R,
5
(2, 0, 5, 6, 7), (3, 1, 2, 3, 4) ∈ R ,
K = R,
Punkte )
3×3
t
Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des
R-Vektorraumes
? Gib für die Untervektorräume die Dimension an.
U1 = {A ∈ R3×3 | Aij = 0 ∀i < j}
U2 = {A ∈ R3×3 | det A ≤ 1}
12. ( 6
Punkte ) Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems
a + 2b
= 5
− a
+ 2c = 5
a + 2b − c = 2
13. ( 6
Punkte ) Zeige, dass komplexe Konjugation
C→C
z 7→ z̄
R-lineare Abbildung ist und gib die Matrix bezüglich der Basis
14.∗ (10 Punkte ) Ein linearer Code
eine
{a, b, . . . , z, +, −, /},
a 7→ aaa, . . . , / 7→ ///.
Wir kodieren ein Zeichen aus
schreiben; also
(a) Was ist der Minimalabstand dieses Codes?
wieviele korrigiert werden?
(b) Wir ordnen jedem Zeichen ein Element von
an.
indem wir es dreimal hintereinander
Wieviele Fehler können erkannt und
F29 zu.
matrix und eine Kontrollmatrix für den Code an.
Viel Erfolg!
(1, i)
Gib eine normierte Generator-