Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
xiii
Vorworte
I
I.1
I.2
I.3
I.4
I.5
Einführung
Ein paar Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpretation von Schaubildern . . . . . . . . . .
Mathematische Beschreibung von Abhängigkeiten
Der Begriff der Funktion . . . . . . . . . . . . . .
Einteilung des Zahlenstrahls – Intervalle . . . . .
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1
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7
7
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II
II.1
II.2
II.3
II.4
II.5
II.5.1
II.5.2
II.5.3
Lineare Funktionen
Die Streckenlänge im kartesischen Koordinatensystem . . . . . . .
Der Mittelpunkt einer Strecke im kartesischen Koordinatensystem
Die Hauptform der Geradengleichung . . . . . . . . . . . . . . . .
Die gegenseitige Lage von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . .
Über Schnittwinkel und orthogonale Geraden . . . . . . . . . . .
Eine neue Möglichkeit, die Steigung zu berechnen . . . . . . . . .
Zueinander orthogonale Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Schnittwinkel zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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25
27
30
III
III.1
III.1.1
III.1.2
III.1.3
III.1.4
III.2
III.2.1
III.2.2
Quadratische Funktionen
Die Binomischen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die 1. Binomische Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die 2. Binomische Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die 3. Binomische Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Weg zurück – Die Binomischen Formeln im Rückwärtsgang . . . . .
Der Umgang mit quadratischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Mitternachtsformel (MNF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Von der Scheitelform zur Normalform und wieder zurück – There and back
again . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Scheitelermittlung durch „Absenken“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Herleitung der Mitternachtsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Umgang mit Parabelscharen – Grundlagen Parameterfunktionen . .
Zusammenfassung des Unterkapitels über Parameterfunktionen . . . . .
III.2.3
III.3
III.4
III.5
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viii
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IV
IV.1
IV.1.1
IV.1.2
IV.2
IV.2.1
IV.2.2
IV.2.3
IV.2.4
IV.2.5
IV.2.6
IV.2.7
IV.2.8
IV.2.9
IV.3
IV.4
Grundlagen Potenzfunktionen
Potenzfunktionen – Definition und ein paar Eigenschaften
Parabeln n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hyperbeln n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Potenzgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Warum Hochzahlen praktisch sind . . . . . . . . . . . . . .
Das „nullte“ Potenzgesetz und noch eine Definition . . . .
Das erste Potenzgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das zweite Potenzgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das dritte Potenzgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das vierte Potenzgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das fünfte Potenzgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rationale Hochzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechnen ohne Klammern – Vorfahrtsregeln beim Rechnen
Rechnen mit Wurzeln – Einfache Wurzelgleichungen . . . .
Die Logarithmengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V
V.1
V.2
V.3
V.4
V.4.1
V.4.2
V.4.3
V.5
V.5.1
V.5.2
V.6
V.7
V.7.1
V.7.2
V.7.3
V.7.4
Ganzrationale Funktionen – Eine Einführung
91
Definition und Grenzverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Zur Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
95
Noch mehr Symmetrie – Symmetrie zu beliebigen Achsen und Punkten .
96
Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . .
99
Warum die Polynomdivision funktioniert . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Das Horner-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Nullstellen und Substitution bei ganzrationalen Funktionen . . . . . . . . 105
Das Baukastenprinzip – Zusammengesetzte Funktionen . . . . . . . . . . 106
Addition und Subtraktion von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Multiplikation und Division von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Den Überblick behalten – Gebietseinteilungen vornehmen . . . . . . . . . 112
Beträge von Zahlen/Funktionen und Betragsgleichungen . . . . . . . . . 113
Vom Betrag einer Zahl und den dazugehörigen Rechenregeln . . . . . . . 113
Der Betrag einer Funktion oder Ebbe in den Quadranten Nummer III und
IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Die abschnittsweise definierte Funktion in Gleichungen – Jetzt wird’s kritisch! 121
Betragsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
VI
VI.1
VI.1.1
VI.1.2
VI.1.3
VI.1.4
VI.1.5
Die vollständige Induktion und (ihre)
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . .
Ein paar Spielregeln zu Beginn . . . .
Darstellungsformen von Folgen . . . .
Die Definition der Monotonie . . . . .
Der Nachweis der Monotonie . . . . . .
Beschränktheit . . . . . . . . . . . . .
Folgen
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Inhaltsverzeichnis
ix
VI.2
VI.2.1
VI.2.2
VI.3
VI.3.1
VI.3.2
VI.3.3
VI.4
VI.4.1
VI.4.2
VI.5
VI.5.1
VI.5.2
VI.5.3
VI.6
VI.6.1
VI.6.2
VI.6.3
VI.6.4
VI.6.5
Der Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Definition des Grenzwertes . . . . . . . . . . . . . . . .
Zwei Sätze und ein paar Begriffe . . . . . . . . . . . . . . .
Die Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die 3 Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein Beweis zu den Grenzwertsätzen . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung der Grenzwerte bei rekursiven Folgen . . . . . .
Arithmetische und geometrische Folgen . . . . . . . . . . . .
Arithmetische Folgen I – Ein paar Grundlagen . . . . . . . .
Geometrische Folgen I – Ein paar Grundlagen . . . . . . . .
Die vollständige Induktion – Ein mächtiges Beweisverfahren
Arithmetische Folgen II – Die Summe der Folgenglieder . . .
Geometrische Folgen II – Die Summe der Folgenglieder . . .
Vollständige Induktion in Beispielen . . . . . . . . . . . . . .
Ein Test alles Gelernten – Die Fibonacci-Zahlenfolge . . . .
Einführung und historischer Abriss . . . . . . . . . . . . . .
Die Fibonacci-Zahlenfolge – Grundlagen . . . . . . . . . . .
Die Kaninchen-Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Goldene Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Herleitung der expliziten Formel . . . . . . . . . . . . .
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161
163
164
VII
VII.1
VII.2
VII.2.1
VII.3
VII.3.1
VII.3.2
VII.3.3
VII.3.4
VII.3.5
VII.4
VII.4.1
VII.4.2
VII.4.3
VII.5
VII.5.1
VII.5.2
VII.5.3
VII.5.4
VII.6
Einführung in die Differentialrechnung
Vom Differenzen- zum Differentialquotienten . . . . . . . . . . .
Die Ableitung einer Potenzfunktion und die Tangentengleichung
Der Umgang mit Berührpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Herleitungen der Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . .
Die Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wichtige Punkte eines Funktionsgraphen . . . . . . . . . . . . .
Extrempunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Neu und alt – Ableitung trifft Parameter . . . . . . . . . . . . .
Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Monotonie und die Wertetabelle .
Stetigkeit – Ohne Sprung ans Ziel . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenzierbarkeit – Knickfrei durch’s Leben . . . . . . . . . . .
Monotonie – Wo geht’s denn hin? . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Wertetabelle – Eine oft ignorierte Zeichenhilfe . . . . . . . .
Die Kurvendiskussion – Gesamtübersicht mit Beispiel . . . . . .
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243
VIII
VIII.1
VIII.1.1
VIII.1.2
VIII.1.3
VIII.1.4
VIII.2
VIII.2.1
VIII.2.2
VIII.3
Über das Lösen linearer Gleichungssysteme
LGS mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen . . . . . . . . . . .
Das Gleichsetzungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Einsetzungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Additionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Umgang mit Parametern bei einem LGS . . . . . . . . . . .
LGS mit 3 und mehr Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Gaußsche Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . .
Gibt es Lösungen – und wenn ja wie viele? . . . . . . . . . . . .
LGS und Funktionen – Bestimmung ganzrationaler Funktionen
IX
Mit Brüchen muss man umgehen können – Gebrochenrationale Funktionen
253
Grundlagen – Umgang mit Bruchgleichungen und Brüchen . . . . . . . . 253
Definition der gebrochenrationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 258
Ein paar Besonderheiten – Definitionslücken und Asymptoten . . . . . . 258
Ableiten gebrochenrationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
IX.1
IX.2
IX.3
IX.4
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X.2
X.3
Trigonometrische Funktionen
271
Grundlagen und Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Vom Einheitskreis zur Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Das Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Andere Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Der Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Der Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Weitere Betrachtungen zum Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen – Ein wenig Nostalgie
bei der Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Übersicht über die Eigenschaften der trigonometrischen Grundfunktionen 292
Die Modifizierung trigonometrischer Funktionen (Sinus und Kosinus) . . 296
XI
XI.1
XI.2
XI.3
XI.3.1
XI.3.2
XI.3.3
XI.3.4
XI.4
Wachsen ist schön – Exponentialfunktionen
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableiten von Exponentialfunktionen . . . . . . . .
Wachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineares Wachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exponentielles/Natürliches Wachstum . . . . . . .
Beschränktes Wachstum . . . . . . . . . . . . . . .
Logistisches Wachstum . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Grenzen erfahren – Grenzwertuntersuchung mit
X
X.1
X.1.1
X.1.2
X.1.3
X.1.4
X.1.5
X.1.6
X.1.7
X.1.8
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L’Hospital
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Inhaltsverzeichnis
xi
XII
XII.1
XII.2
XII.2.1
XII.2.2
Die Ableitung der Umkehrfunktion
Was ist eine Umkehrfunktion? – Grundlagen und Begriffe
Ableiten von Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . .
Implizites Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableiten von Umkehrfunktionen mit der Kettenregel . .
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XIII
XIII.1
XIII.1.1
XIII.2
XIII.3
XIII.3.1
XIII.3.2
XIII.3.3
XIII.4
XIII.5
Integralrechnung
Schritt für Schritt zum Ziel – Ober- und Untersumme . . . . . . .
Ober- und Untersumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Was haben Stammfunktionen und Integralfunktionen gemeinsam?
Übersicht zu wichtigen Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . .
Aufleiten mittels der linearen Substitution . . . . . . . . . . . . .
Etwas Interessantes – Die Produktintegration . . . . . . . . . . .
Ein praktischer Satz – Über das Aufleiten von Brüchen . . . . . .
Flächenberechnung – Worauf man achten sollte . . . . . . . . . .
Einmal rundherum – Berechnung von Rotationsvolumen . . . . .
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XIV
XIV.1
XIV.2
XIV.3
XIV.3.1
XIV.4
XIV.4.1
XIV.4.2
XIV.4.3
XIV.4.4
XIV.5
Beweise mit Vektoren führen
Der Vektor in der analytischen Geometrie . . . . . . . . . . .
Linear abhängig und unabhängig . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Prinzip des geschlossenen Vektorzugs . . . . . . . . . . .
Ein Beispiel: Teilverhältnis der Seitenhalbierenden im Dreieck
Ein erstes Produkt für Vektoren: Das Skalarprodukt . . . . .
Von Vektoren und ihren Beträgen . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Skalarprodukt: Die Definition und ihre Konsequenzen . .
Was man vom Skalarprodukt zum Beweisen benötigt . . . . .
Ein Beispiel: Der Satz des Thales . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine Aufgabe zur Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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XV
XV.1
XV.2
XV.3
XV.4
XV.4.1
XV.4.2
XV.4.3
XV.5
XV.5.1
XV.5.2
XV.5.3
Rechnen im Raum – Analytische Geometrie
Noch ein Produkt für Vektoren: Das Kreuzprodukt
Eine Runde Teamwork – Das Spatprodukt . . . . .
Geraden und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . .
Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Koordinatenform . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Normalenform . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umwandeln von Ebenen . . . . . . . . . . . . . . .
Lagebeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gegenseitige Lagen von Geraden . . . . . . . . . .
Gegenseitige Lagen von Ebenen . . . . . . . . . . .
Gegenseitige Lagen von Ebene und Gerade . . . . .
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xii
Inhaltsverzeichnis
XV.6
XV.6.1
XV.6.2
XV.6.3
XV.7
XV.8
Abstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Abstand zweier Punkte . . . . . . . . . . . . . . .
Die Hessesche Normalenform – Abstandsbestimmungen
Abstände, die uns noch fehlen . . . . . . . . . . . . . .
Ein kurzes Wort über Schnittwinkel . . . . . . . . . . .
Ein kugelrunder Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . .
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bei
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Ebenen
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XVI
XVI.1
XVI.1.1
XVI.1.2
XVI.2
XVI.2.1
XVI.2.2
XVI.3
Wenn’s nicht direkt geht – Ein wenig Numerik
Für Nullstellen – Das Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . .
Wann Newton nicht funktioniert . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übersicht mit Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Für Flächen – Die Keplersche Fassregel . . . . . . . . . . . . .
Sehnentrapeze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tangententrapeze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wo Kepler aufhört, da fängt Simpson an – Die Simpson-Regel
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XVII
XVII.1
XVII.2
XVII.3
XVII.4
XVII.5
XVII.6
XVII.7
XVII.8
Wem’s reell nicht genug ist – Komplexe Zahlen
Von natürlich bis reell – Eine kurze Geschichte der Zahlen .
Komplexe Zahlen – Definition und Grundlagen . . . . . . . .
Rechnen mit komplexen Zahlen I . . . . . . . . . . . . . . .
Polarkoordinaten und komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . .
Euler und eine der schönsten Gleichungen der Mathematik .
Rechnen mit komplexen Zahlen II . . . . . . . . . . . . . . .
Potenzen berechnen und Wurzelziehen bei komplexen Zahlen
Bastelstunde: Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . .
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A
A.1
A.2
A.3
A.4
Die Strahlensätze
Einführende Betrachtungen . . . .
Der 1. Strahlensatz . . . . . . . . .
Der 2. Strahlensatz . . . . . . . . .
„Kurzversion“ des 1. Strahlensatzes
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B
B.1
B.2
Ungleich geht die Welt zugrunde – Rechnen mit Ungleichungen
Ganz elementare Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele statt allgemeiner Hudelei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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465
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C
C.1
C.2
C.3
Das Pascalsche Dreieck
Worum es geht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zum Aufstellen des Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Warum das Schema funktioniert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Anhang
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Weiterführende Literatur
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Stichwortverzeichnis
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