Gamma–Funktion

Seminar Fraktionale Differentialgleichungen“
”
(WS 2000/2001)
Prof. Dr. Peter E. Kloeden
Thema: Gamma–Funktion
Christine Schweinem
9. November 2000
1
Definition der Gamma–Funktion
Im Reellen gibt es für die Gamma–Funktion zwei mögliche Definitionen.
Die Eulersche Definition der Gamma–Funktion lautet
Z
∞
Γ(x) :=
tx−1 e−t dt,
x > 0.
(1)
0
Für die Definition (1) wird der Beweis benötigt, daß das uneigentliche Integral
R∞ x−1 −t
t e dt konvergiert (beide Grenzen sind problematisch):
0
•
R1
tx−1 e−t dt konvergiert, da e−t ≤ 1 für t ≥ 0, also tx−1 e−t ≤ tx−1 , und damit
0
Z1
x−1 −t
t
e dt ≤
0
und
t→∞
R∞
tx−1 dt < ∞ für x > 0
0
(vgl. [F], 20.2).
R∞
• tx−1 e−t dt konvergiert, da lim
1
Z1
tx−1 e−t
t−2
t−2 dt < ∞1 (vgl. [F], 12.1, 20.2).
= lim tx+1 e−t = 0
t→∞
1
Zu einer anderen Darstellung der Gamma–Funktion gelangt man (für x > 0) mit Hilfe von
N
und N-maliger Produktintegration (s. [H2], 150.2).
e−t = lim 1 − Nt
N →∞
Grenzwertkriterium ([H1], 87.6) Sind f und g positiv auf [a, ∞) und strebt f (x)/g(x) → 0, so kann
man aus der Konvergenz des zweiten Integrals die des ersten folgern.
1
1
2
Es gilt:
ZN t
1−
N
N
x−1
t
Z
N →∞
−→
dt
RN
1−
0
tx−1 e−t dt = Γ(x)
0
0
Das linke Integral
∞
t N
N
tx−1 dt soll in ein Produkt umgeformt werden, mit dessen
Hilfe dann die Gamma–Funktion ausgedrückt werden kann.
ZN a
t
1−
N
|
{z
N
x−1
}
t|{z} dt
"
t
1−
N
|
{z
Prod.–int.
=
u0
v
v
"
1−
=
t
N
N
tx
x
|{z}
}
u
N
tx
x
#N
Z
t N −1 tx
− 1−
dt
N
x
|
{z
} |{z}
N
−
a
a
#N
+
a
1
x
Z
N
v0
1−
a
t
N
u
N −1
tx dt
Für a → 0 erhält man
ZN t
1−
N
N
x−1
t
1
dt =
x
0
Z
N
0
t N −1 x
1−
t dt.
N
Weitere N − 2 Produktintegrationen der rechten Seite ergeben
ZN t
1−
N
N
x−1
t
dt
1
N −1
N x(x + 1)
Prod.–int.
=
0
ZN t
1−
N
N −2
tx+1 dt
Prod.–int.
=
...
0
(N − 1)(N − 2) · . . . · 1
1
N N −1
x(x + 1) · . . . · (x + N − 1)
Prod.–int.
=
Z
N
tx+N −1 dt.
0
Noch ein bißchen ordentlicher:
ZN 1−
t
N
N
tx−1 dt =
0
=
(N − 1)!
1
N x+N
N N −1 x(x + 1) · . . . · (x + N − 1) x + N
N! Nx
.
x(x + 1) · . . . · (x + N )
Fertig! Grenzübergang N → ∞ liefert
N! Nx
,
N →∞ x(x + 1) · . . . · (x + N )
Γ(x) = lim
x > 0,
(2)
dies ist die Gaußsche Definition der Gamma–Funktion.
Für x ≤ 0 setzt man Definition (2) fort mit Hilfe der Produktdarstellung von sin πx
sin πx = πx
∞ Y
k=1
x2
1− 2
k
für x ∈ R
(3)
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”
3
Es gilt nämlich für 0 < x < 1
1
Γ(x)Γ(1 − x)
x(x + 1) · . . . · (x + N ) (1 − x)(2 − x) · . . . · (N − x)(N + 1 − x)
N! Nx
N ! N 1−x
(12 − x2 )(22 − x2 ) · . . . · (N 2 − x2 ) N + 1 − x
= lim x
N →∞
12 22 · . . . · N 2
N
N
∞
2
Y
Y
x
x2
N +1−x
=x
1− 2
lim
1− 2
= lim x
N →∞
N →∞
k
N
k
(2)
=
lim
N →∞
k=1
(3)
=
k=1
sin πx
.
π
−
Daher liegt der Versuch nahe für x ∈ R−
0 \ Z0 zu setzen
Γ(x) :=
π
1
.
sin πx Γ(1 − x)
(4)
−
Man rechnet mit (3) leicht nach, daß für x ∈ R−
0 \ Z0 dann auch die Gaußsche Definition
(2) gilt (s. [H2], 150.2).
−
Sei also x ∈ R−
0 \ Z0 , dann gilt:
Γ(x)
(4), (3) u. (2) für 1-x
=
1
N
N →∞
Q
x
1−
lim
k=1
(1 − x)(2 − x) · . . . · (N + x)(N + 1 − x) N ! N x
N! Nx
N ! N (1−x)
x2
k2
N ! N x (1 − x)(2 − x) · . . . · (N + x) N + 1 − x
N →∞ x(12 − x2 )(22 − x2 ) · . . . · (N 2 − x2 )
N
x
N! N
lim
N →∞ x(x + 1)(x + 2) · . . . · (x + N )
=
lim
=
Erklärt man die Gamma–Funktion Γ(x) für ganz R, z. B. mit (5), aber nicht mit (1), so
hat diese Funktion Pole an allen x ∈ Z−
0 (Abb. 1).
Die funktionentheoretische Definition der Gamma–Funktion lautet übrigens [F/L]
!
∞ N
Y
X
z −1 z
1
−γz 1
− log N .
1+
e ν , z ∈ C, wobei γ = lim
Γ(z) := e
N →∞
z
ν
ν
ν=1
ν=1
(5)
4
10
Gamma(x)
8
6
4
2
–4
–2
2
x
4
–2
–4
–6
–8
–10
Abbildung 1: Die Gamma–Funktion und ihre Pole
6
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”
2
5
Eigenschaften der Gamma–Funktion
Funktionalgleichung. Es gilt
Γ(x + 1) = x Γ(x).
(6)
Beweis:
x > 0:
ZR
tx |{z}
e−t dt
|{z}
R→∞, ε→0, (1)
=⇒
x∈
=
u0
v
ε
Prod.–int.
−t x R
[−e
t ]ε
| {z } |{z}
v
u
ZR
+
ε
x−1
e−t x
|{z}
| t{z } dt
−u
v0
Γ(x + 1) = x Γ(x)
−
R−
0 \ Z0 :
x Γ(x)
(4)
1
1
π
π
(6) für x>0
=
x
sin πx Γ(1 − x)
− sin(πx + π) (1 − x − 1)Γ(1 − x − 1)
(4)
1
π
= Γ(x + 1)
sin π(x + 1) Γ(1 − (x + 1))
= x
=
Es gilt weiter
Z
(1)
Γ(1) = lim
R→∞ 0
R
e−t dt = lim 1 − e−R = 1
R→∞
und daraus folgt
(6)
(6)
(6)
Γ(N + 1) = N Γ(N ) = . . . = N (N − 1) · . . . · 1 · Γ(1) = N !,
N ∈N
Die Gamma–Funktion interpoliert also die Fakultät.
Man könnte die Gamma–Funktion für x ≤ 0 statt mit der Produktdarstellung (3) von
sin πx auch mit Hilfe der Funktionalgleichung rekursiv fortsetzen, dazu würde man dann
einfach setzen
Γ(x)
, x ≤ 0.
(7)
Γ(x − 1) :=
x−1
Wie schon gesagt, hat die Gamma–Funktion hat Pole an 0, −1, −2, ..., aber
Γ(−n)
,
Γ(−N )
n, N ∈ N, ist endlich!
Es gilt nämlich (mit (7)):
N!
Γ(−n)
= (−1)N −n .
Γ(−N )
n!
(8)
Will man die Polstellen der Gamma–Funktion vermeiden, so kann man stattdessen die
1
betrachten, diese Funktion ist stetig auf ganz R (Abb. 2).
Funktion Γ(x)
Es gilt:
x 2 −x x
1
∼ √
e , x → ∞ (Stirlingsche Formel)
Γ(x)
2π
Beweis: Funktionentheorie, s. [F/L], Kapitel VII, §6.
1
6
4
3
1/Gamma(x)
2
1
–4
–2
2
x
4
–1
–2
Abbildung 2: Die Funktion
1
Γ(x)
6
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3
7
Nützliche Formeln
3.1
Ein paar Formeln
(4)
• Γ(x)Γ(1 − x) =
x= 12
⇒
1 2
2
sin
π
=1
2
= sinπ π
⇒
2
√
1
= π
Γ
2
(6)
(6)
• Γ n + 12 = n − 12 Γ n − 12 = n − 12 n − 32 Γ n − 32
(6)
(6)
= . . . = n − 12 n − 32 · . . . · 12 Γ 12
√
(9) 1 n
= 2 (2n − 1)(2n − 3) · . . . · 5 · 3 · 1 · π, also
|
{z
}
π
sin πx
Γ
(9)
(2n)!
2n n!
√
(2n)! π
1
=
Γ n+
2
4n n!
(4)
π
=
• Γ 12 − n = Γ 1 − n + 12 =
sin(π(n+ 12 )) Γ(n+ 12 )
wegen (10) und sin π n + 12 = (−1)n , es folgt
√
π (−4)n n!
1
−n =
Γ
2
(2n)!
(4)
π
• Γ(−x) = Γ(1 − (1 + x)) = sin(π(1+x))
=
Γ(1+x)
wegen sin(πx + π) = − sin πx.
(10)
π 4n n! √
,
(−1)n (2n)! π
−π
,
sin πx Γ(1+x)
• Legendresche Verdoppelungsformel:
4x Γ(x) Γ x +
√
Γ(2x) =
2 π
1
2
Beweis: [F/L], Satz 5.4.
3.2
Formeln mit Stirling–Zahlen und Binomialkoeffizienten
3.2.1
Stirling–Zahlen
(m)
Die Stirling–Zahlen erster Art Sj
(m)
(m−1)
Sj+1 = Sj
, j, m ∈ N0 , sind rekursiv definiert durch
(m)
− j Sj
,
(m)
S0
(0)
= Sj
= 0,
(0)
aber S0 = 1.
(11)
Es gilt
(m)
Sj
= 0 für m > j
[m]
Die Stirling–Zahlen zweiter Art Sj
[m]
[m−1]
Sj+1 = Sj
und
(j)
Sj
= 1.
(12)
sind ebenfalls rekursiv definiert:
[m]
+ m Sj ,
[m]
S0
[0]
= Sj = 0,
[0]
aber S0 = 1.
(13)
Es gilt
[m]
Sj
= 0 für m > j
und
[j]
Sj = 1.
(14)
8
\ m |
\ |
j \ |
0
1
2
3
4
5
6
7
----------------------------------------------------------------0 |
1
0
0
0
0
0
0
0
1 |
0
1
0
0
0
0
0
0
2 |
0
-1
1
0
0
0
0
0
3 |
0
2
-3
1
0
0
0
0
4 |
0
-6
11
-6
1
0
0
0
5 |
0
24
-50
35
-10
1
0
0
6 |
0
-120
274
-225
85
-15
1
0
7 |
0
720 -1764
1624
-735
175
-21
1
(m)
Abbildung 3: Stirling–Zahlen erster Art Sj
\ m |
\ |
j \ |
0
1
2
3
4
5
6
7
----------------------------------------------------------------0 |
1
0
0
0
0
0
0
0
1 |
0
1
0
0
0
0
0
0
2 |
0
1
1
0
0
0
0
0
3 |
0
1
3
1
0
0
0
0
4 |
0
1
7
6
1
0
0
0
5 |
0
1
15
25
10
1
0
0
6 |
0
1
31
90
65
15
1
0
7 |
0
1
63
301
350
140
21
1
[m]
Abbildung 4: Stirling–Zahlen zweiter Art Sj
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”
3.2.2
9
Reelle Binomialkoeffizienten
Für x ∈ R, j ∈ N0 ist
x
j
definiert durch
x
j+1
:=
x
j
x−j
,
j+1
x
0
:= 1.
(15)
Direkt aus dieser Definition folgt für α ∈ R
α(α − 1) · . . . · (α − j + 1)
α
=
j
j!
und
−α
j
−α(−α − 1) · . . . · (−α − j + 1)
α(α + 1) · . . . · (α + j − 1)
= (−1)j
j!
j!
α+j−1
(s. [H1], Aufgaben zu Nr. 7),
= (−1)j
j
=
für α := −(j − x − 1) ergibt sich
j −x−1
x
j
= (−1)
.
j
j
Weiter gilt
x+1
j+1
=
x
j
+
x
j+1
(16)
,
daraus ergibt sich leicht mit vollständiger Induktion über n
n X
j−x−1
n−x
=
.
j
n
(17)
j=0
3.2.3
Endlich Formeln
Es gilt
j
(−1)j X (m) m
Γ(j − x)
=
Sj x .
Γ(−x) Γ(j + 1)
j!
(18)
m=0
Beweis:
Γ(j − x)
Γ(−x) Γ(j + 1)
=
(j − x − 1)(j − x − 2) · . . . · (j − x − (j − 1))(j − x − j)Γ(j − x − j)
Γ(−x) j!
=
j−1
x(x − 1) · . . . · (x − (j − 1))
(−1)j Y
=
(−1)
(x − m)
j!
j! m=0
(6)
j
Für den Beweis von (18), fehlt also nur folgende Aussage:
j−1
Y
!
(x − m) =
m=0
Diese zeigt man mit vollständiger Induktion.
j
X
m=0
(m)
Sj
xm .
10
j = 0:
−1
Q
0
P
(x − m) = leeres Produkt = 1 =
m=0
j → j + 1:
m=0
(j+1)−1
Q
j−1
Q
(x − m) =
m=0
m=0
j
X
(m)
Sj
j
X
xm − j
}
=
m=0
j
P
m=1
(m)
j+1
P
xm+1 =
(#) = jSj (0) x0 +
(m)
xm
| m=0 {z
}
xm (x − j)
(#)
(m−1)
m=1
(m−1) m
Sj
x
Sj
Sj
(∗)
Sj
xm
(m)
m=0
| m=0 {z
j
P
j
P
j
(x − m)(x − j) =
=x
(∗) =
(m)
S0
Sj
xm (Indexverschiebung)
j
P
(12)
(j)
+ Sj xj+1 =
(m−1)
Sj
xm + xj+1
m=1
j
(11) P
(m)
(m)
jSj xm =
jSj xm
m=1
m=1
j
P
Mit (∗) und (#) gilt also insgesamt:
(j+1)−1
j
Q
P
(m−1)
(m)
(x − m) =
(Sj
− jSj ) xm + xj+1
m=0
m=1
(11), (12)
=
=
0 x0 +
Sj+1
j+1
P
m=0
Der Ausdruck
Γ(j−x)
Γ(−x) Γ(j+1)
Γ(j−x)
Γ(−x) Γ(j+1)
j
P
(m)
m=1
(j+1)
Sj+1 xm + Sj+1 xj+1
(m)
Sj+1 xm
ist also ein Polynom in x (Abb. 5).
läßt sich auch mit Hilfe von Binomialkoeffizienten darstellen. Es gilt:
Γ(j − x)
= (−1)j
Γ(−x) Γ(j + 1)
Beweis:
j = 0:
j → j + 1:
Γ(−x)
Γ(−x) Γ(1)
= 1 = (−1)
0
x
0
x
j
= (−1)
j+1
(16)
=
j −x−1
j
j
Γ(j+1−x) (6) j−x
Γ(j−x)
Γ(−x) Γ(j+2) = j+1 Γ(−x) Γ(j+1) =
(15)
x
j +1
(−1)
j
x
j
j−x
j+1
Mit Eigenschaften der Binomialkoeffizienten lassen sich nun leicht verschiedene Formeln
für die Gamma-Funktion zeigen, z. B. folgt aus (17)
n−1
X
j=0
Γ(n − x)
Γ(j − x)
=
.
Γ(−x)Γ(j + 1)
Γ(1 − x)Γ(n)
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”
11
6
j=2
4
j=1
2
j=0
–4
–2
2
–2
x
4
j=3
–4
Abbildung 5: Das Polynom
Γ(j−x)
Γ(−x) Γ(j+1)
6
12
Γ(j−x)
Wenn Γ(−x) Γ(j+1) ein Polynom in x ist, so kann man natürlich auch xj mit Hilfe der
Gamma–Funktion ausdrücken.
Es gilt
j
x =
j
X
[m]
(−1)m Sj
m=0
Γ(m − x)
.
Γ(−x)
Beweis:
j = 0: x0 = 1 =
0
P
m=0
j
j → j + 1: xj+1 = x xj = x
j
P
=
=
m=0
j
P
m=0
j
(6) P
j
P
=
m=0
(m−x)
Γ(m−x)
Γ(−x)
[m] Γ(m−x+1)
Γ(−x)
(−1)m
+
Γ(m−x)
Γ(−x)
j
P
−
m=0
j
P
+
m=0
j
P
m=1
[m] Γ(m−x)
Γ(−x)
(−1)m+1 m Sj
[m] Γ(m−x)
Γ(−x)
(−1)m m Sj
[m] Γ(m−x)
Γ(−x)
(−1)m m Sj
(Indexverschiebung und (14))
[m−1]
[m] Γ(m−x)
j+1 [j]
Sj
+ m Sj
Sj
Γ(−x) + (−1)
[m]
Γ(j+1−x)
Γ(−x)
[j] Γ(j+1−x)
Γ(−x)
j+1 S
(−1)m Sj+1 Γ(j+1−x)
j
Γ(−x) + (−1)
[0] Γ(1−x)
Γ(−x)
= (−1)0 S1
=
[m]
[m−1] Γ(m−x)
(−1)m Sj
Γ(−x)
m=1
j+1
P
(−x + m − m)
(−1)m+1 Sj
m=1
j
P
(14)
[m]
(−1)m+1 Sj
(13)
=
[m] Γ(m−x)
Γ(−x)
(−1)m Sj
(−1)m+1 Sj
m=0
j+1
P
m=1
j
P
m=0
=
=
[m] Γ(m−x)
Γ(−x)
(−1)m S0
+
j+1
P
m=1
[m]
(−1)m Sj+1 Γ(j+1−x)
Γ(−x)
[m]
(−1)m Sj+1 Γ(j+1−x)
Γ(−x)
Literatur
[F/L] Fischer, Wolfgang/Lieb, Ingo: Funktionentheorie, Vieweg, 1994 (7. Auflage).
[F]
Forster, Otto: Analysis 1, Vieweg, 1983 (4. Auflage).
[H1]
Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis – Teil 1, B. G. Teubner Stuttgart, 1991
(9. Auflage).
[H2]
Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis – Teil 2, B. G. Teubner Stuttgart, 1983
(2. Auflage).
[O/S] Oldham, Keith/Spanier, Jerome: The fractional calculus, Academic Press, 1974,
Chapter 1.3: Properties of the gamma function.