Phyllotaxis - Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen

Christina Imp
Phyllotaxis
Seminararbeit
Karl-Franzens-Universität Graz
Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen
LV-Leiterin: Univ.-Prof. Dr.phil. Karin Baur
Graz, Oktober 2014
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Der Goldene Schnitt
2
2.1
Die Goldene Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
Der Goldene Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Die Goldene Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3 Die Fibonacci-Zahlen
10
4 Phyllotaxis
12
4.1
Wie kann so etwas funktionieren? . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Literatur
25
ii
1 Einleitung
Phyllotaxis ist ein Begriff aus der Botanik und Mathematik und bezeichnet
die Blattanordnung, die sich nach Regeln verhält, in Pflanzen. Es gibt hier
natürlich unterschiedliche Formen, aber ich werde mich nur auf die ma”
thematisch Interessanten“ beschränken.
Das Phänomen der Phyllotaxis tritt z.B. bei Sonnenblumen, Ananas, Gänseblümchen,
Blumenkohl, Tannenzapfen und diversen Kakteenarten auf.
Um jedoch überhaupt die Phyllotaxis erklären zu können, müssen wir uns
zuerst den Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt bzw. den damit
einhergehenden Dingen wie der Goldenen Zahl und dem Goldenen Winkel
widmen.
1
2 Der Goldene Schnitt
2.1 Die Goldene Zahl
Der Goldene Schnitt ist ein Teilverhältnis einer Strecke oder das Teilungsverhältnis einer anderen Größe.
Definition: Eine Strecke ist im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt,
wenn sich die beiden Teilstücke zueinander verhalten wie die ganze Strecke
zum längeren Teilstück.
1
x −1
=
x
1
Bild aus Der goldene Schnitt, S.15
2
2 Der Goldene Schnitt
Wobei die längere der beiden Seiten Major und die kürze Minor genannt
wird
Eine weiter Annäherung an das Gebiet des Goldenen Schnitts kann auch
über ein Stück Papier erfolgen. Betrachtet man zum Beispiel ein A3 Papier,
so sieht man zwei A4 Papiere in diesem A3 Papier. Das Verhältnis der Seiten
ist bei allen Blattgrößen das selbe:
Bild aus Gems of Geometry, S.1
y
2x
y = x , somit
( yx )2 = 2
was
√
auch
2 = 1.414... beträgt.
Wir wissen also, dass jedes kleinere Blatt genau um
√
2 kürzere Seiten hat,
als das vorhergegangene (größere). Außerdem ist ein Blatt der Größe A0 -
3
2 Der Goldene Schnitt
das größte - genau einen m2 groß.
Bild aus Gems of Geometry, S.2
Ein anderer Weg Papier zu teilen ist ein Quadrat am Ende wegzuschneiden.
Hierfür benötigen wir das goldene Rechteck. Dies ist ein Rechteck, bei dem
die Seitenverhältnisse im Goldenen Schnitt sind. Ein Goldenes Rechteck
kann also in ein Quadrat und ein weiteres kleineres Goldenes Rechteck
unterteilt werden.
Nehmen wir an, das Papier hat folgende Abmessungen:
4
2 Der Goldene Schnitt
Bilder aus Gems of Geometry, S.3
Man bekommt also wiederrum die Gleichung
τ 2 = τ + 1, wodurch man wiedderum τ 2 − τ − 1 = 0 bekommt. Dies ist
aber die gleiche Gleichung, die man auch bekommt, wenn man
1
x −1
=
folgendermaßen auflöst:
1
x −1
=
x
1
1 = x · ( x − 1)
1 = x2 − x
0 = x2 − x − 1
Möchte man diese Gleichung nun mit Hilfe der großen Lösungsformel
x1,2 =
√
−b± b2 −4ac
,
2a
a 6= 0
5
x
1
2 Der Goldene Schnitt
lösen, so erhält man: x1,2 =
√
1± 5
2
Da die von uns gesuchte Länge x positiv sein muss, ist die Lösung also:
φ=
√
1+ 5
2
≈ 1, 61803
Der Goldene Schnitt wird in der Literatur entweder mit φ oder τ bezeichnet
wird.
Hier die (für unser Thema) wichtigsten Eigenschaften:
φ=
1
φ
=
√
1+ 5
2
2√
1+ 5
≈ 1, 61803 ... die goldene Zahl
=
√
−1+ 5
2
≈ 0, 61803
τ=φ
ρ=
φ=
1
φ
√
1− 5
2
Weiter gelten folgende Beziehungen:
φ+
φ−
1
φ
1
φ
=
√
5
=1
φ2 − φ = 1
( φ1 )2 +
1
φ
=1
Die quadratische Gleichung x2 − x − 1 = 0 hat als Lösungen x1 = φ und
x2 = − φ1
6
2 Der Goldene Schnitt
und die quadratische Gleichung x2 + x − 1 = 0 hat als Lösungen x1 =
1
φ
und x2 = −φ.
2.2 Der Goldene Winkel
Für die Phyllotaxis müssen wir auch den Goldenen Winkel definieren.
Eigentlich (aber eher unüblich in der Verwendung) erhält man den Goldenen
Winkel, wenn man den Vollwinkel im goldenen Schnitt teilt, was zu einem
Winkel von 222, 5◦ führen würde.
Definition: Der Goldene Winkel Ψ ist die Ergänzung zum Vollwinkel und
beträgt daher
Ψ = 2π −
2π
φ
≈ 2, 40 ≈ 137, 5◦
er wird auch der Divergenzwinkel genannt.
Die Winkel in diesem Kreis werden auch extreme and mean ratio“ genannt:
”
1=
360
φ
360
φ2
1
φ
+
1
φ2
= 222, 5
= 137, 5
7
2 Der Goldene Schnitt
Bild aus Gems of Geometry, S.16
Die Bedeutung des Goldenen Winkels für die Phyllotaxis liegt darin, dass
durch wiederholte Drehung um den Goldenen Winkel immer neue Positionen erhalten werden, an denen sich Blattansätze bilden. Da φ eine irrationale
Zahl ist, kommt es hier also nie zu exakten Überdeckungen und somit wird
das Risiko, dass sich überdeckende Blätter an der Photosynthese hindern,
minimiert.
2.3 Die Goldene Spirale
Was hier auch erwähnt werden sollte ist die Goldene Spirale, auf die ich
zwar nicht mehr genau eingehen werde, die man jedoch bei diesem Thema
nicht auslassen kann: Die Goldene Spirale lässt sich nach dem gleichen
Prinzip bilden, wie wir vorher mit Goldenen Rechtecken den Goldenen
Schnitt gezeigt haben, nur das man nun Viertelkreise verwendet. Der Radius
der Viertelkreise wird bei jeder 90◦ - Drehung – also in jedem Rechteck –
um den Faktor φ verändert.
8
2 Der Goldene Schnitt
Bild aus Der goldene Schnitt, S.59
9
3 Die Fibonacci-Zahlen
Doch nicht nur der Goldene Schnitt und somit die goldene Zahl spielen
eine wichtige Rolle für dieses Thema, sondern auch die Fibonacci – Zahlen werden zur Erklärung der Phänomene benötigt. Besonders wichtig ist
hierbei der Zusammenhang zwischen der goldenen Zahl und den Fibonacci
Zahlen.
Defintion: Sei ( Fn )n∈N eine Folge natürlicher Zahlen. Die Folge heißt
Fibonacci-Folge, wenn sie der Formel
Fn = Fn−1 + Fn−2
genügt, wobei F1 = 1 und F2 = 1 gilt.
Das n-te Folgeglied bezeichnet man als die n-te Fibonacci-Zahl.
Der Zusammenhang zwischen der Goldenen Zahl und den Fibonacci-Zahlen
ist, dass das Verhältnis zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen
gegen φ konvergiert.
(Wir verwenden hier Identitäten, die bereits aus der Analysis bekannt
sind.)
10
3 Die Fibonacci-Zahlen
Beweis.
Fn+1
= φ
n→∞ Fn
√
√
1+ 5 n
1
1− 5 n
1
) − √ ·(
)
Loesungsansatz : Fn = √ · (
2
2
5
5
1
n
Fn = √ · (φn − φ )
5
1
n +1
und Fn+1 = √ · (φn+1 − φ
)
5
zu zeigen : lim
n +1
( √15 )(φn+1 − φ )
Fn+1
=
Betrachte :
n
Fn
( √1 )(φn − φ )
5
Fn+1
=
Fn
n +1
( φ n +1
−φ )
n
(φn − φ )
n +1
φ
φn
φ−
Fn+1
=
Fn
1−
lim
n→∞
Fn+1
=
Fn
lim
n
φ
φn
φ−
n→∞
11
n +1
φ
φn
1−
n
φ
φn
=φ
4 Phyllotaxis
Wie schon weiter oben erwähnt, treten geregelte Blattanordnung zum Beispiel bei Sonnenblumen, Ananans und Blumenkohl auf. Hier kann man
zwei Systeme von Einzelblüten, Früchten, Zweigen, Blütenblättern usw. die
in entgegengesetzte Richtungen verlaufen erkennen. Diese spiralförmige
Anordnung der Punkte nennt man Parastichen. Wenn man sich nun zum
Beispiel die Blume genauer anschaut, so erscheint sie doch sehr symmeterisch. In Wahrheit stimmt die Anzahl der im Uhrzeigersinn verlaufenden
Spiralen nicht mit denen überein, die gegen den Uhrzeigersinn verlaufen
Die Anzahl der Spiralen in diesem System sind aufeinanderfolgende Fibonacci Zahlen.
Zum Beispiel:
Ananas: 5 und 8, 8, 13 und 21
Sonnenblume 55 und 89, 34 und 55
12
4 Phyllotaxis
Bild aus dem Internet
Bild aus dem Internet
13
4 Phyllotaxis
Bild aus dem Internet
4.1 Wie kann so etwas funktionieren?
Hierzu muss man zuerst einmal Wissen, wie das Wachstum bei Pflanzen
funktioniert. Dafür muss man die Spitze einer Pflanze betrachten – ihren
sogenannten Vegetationspunkt – und betrachten ihn in weiterer Folge als
Kegel, da man weiß, dass das Wachstum eben genau an dieser Stelle stattfindet. Weiters sieht man sich an, wie sich die Knospen auf diesem Kegel
verteilen. Der Kegel kann flach sein (bei Sonnenblumen), spitz (Stengel)
oder auch etwas zwischen diesen Extremen“ (Ananas).
”
14
4 Phyllotaxis
Bild aus Zahlenzauber, S.132
In der Wachstumsphase kommt es zu einer gegenseitigen Verdrängung
der Knospen. Da die Spitze kontinuierlich vorwärtsrückt bewegt sich ein
gegebener Teil der Pflanze relativ zur Spitze stetig nach unten und nach
außen.
Bild aus Zahlenzauber, S.133
In den Bildern werden die Knospen in der Reihenfolge ihres Auftretens
nummeriert, um den Sachverhalt besser beschreiben zu können.
15
4 Phyllotaxis
Den Prozess der Blütenbildung zitiere ich aus Zahlenzauber (Seite 133):
”... haben wir die Knospennummer 0 an die Uhrenposition 12 gesetzt; da diese
Knospe als erste gebildet wurde, ist sie bereits auf dem Umfang angekommen. Die
Knospen 0 und 1 trennen den Kegel in einen größeren und einen kleineren Sektor.
Knospe 2 findet es leichter, im größeren Sektor zu existieren und zwingt dadurch 3
in den kleineren. Wo ungefähr werden sie sich in diesen Sektoren aufhalten? Da die
Zahl 1 neueren Ursprungs ist und sich näher an der Spitze befindet als die Zahl
0, wird sie wahrscheinlich eine größere Hemmwirkung ausüben; daher werden die
Zahlen 2 und 3 etwas näher an der 0 als an der 1 liegen. [...] In diesem Stadium
haben wir vier Sektoren, deren größter sich zwischen den Knospen 1 und 2 befindet.
Wir erwarten, dass Nummer 4 in diesem Sektor gebildet wird und etwas näher bei
1 liegt, da 2 neueren Ursprungs ist.”
In einer perfekten Version bedeutet der Prozess, dass jede neue Knospe um
den gleichen Winkel vorrückt, wobei es sich hier genau um den Goldenen
Winkel handelt.
Zur Veranschaulichung nehmen wir das Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen, multiplizieren dieses mit 360◦ und subtrahieren
dieses von 360◦ (da wir ja den inneren Winkel genommen haben, der weniger als 180◦ beträgt). Somit bekommen wir eine Annäherung an den
goldenen Winkel bzw. den Divergenzwinkel 137, 5◦ :
360◦ (1 − 53 ) = 360◦ ·
360◦ (1 − 58 ) = 360◦ ·
2
5
3
8
= 144◦
= 135◦
16
4 Phyllotaxis
360◦ (1 −
360◦ (1 −
360◦ (1 −
360◦ (1 −
8
13 )
13
21 )
21
34 )
34
55 )
5
= 360◦ · 13
= 138, 5◦
8
= 360◦ · 21
= 137, 1◦
◦
= 360◦ · 13
34 = 137, 6
◦
= 360◦ · 21
55 = 137, 5
Wenn die Anzahl der Spiralen zu klein oder zu groß ist und man somit nicht
ganz auf den Divergenzwinkel kommt, so kommt es zu kleinen Lücken und
man sieht die Spiralen nicht mehr so schön, oder gar nur eine Richtung“
”
davon.
Ein weiteres Phänomen ist: Um die mathematischen Besonderheiten besser
sehen zu können, betrachtet man eine idealisierte Pflanze, bei der der Kegel
fast zylindrisch ist und wickeln diesen ab, um vor uns eine Art Rechteck zu
erhalten. Bei einer natürlichen Pflanze sind klarerweise nicht alle Knospen
genau an der richtigen (berechneten) Stelle, weichen aber auch nur knapp
davon ab.
In der folgenden Abbildung sieht man auch sehr gut, dass der Prozess
der Knospenbildung – ist er einmal im Gange – kaum noch vom richtigen
Weg abkommen kann; die gestrichelten Ellipsen zeigen genau an, wo die
Knospe Nummer 25 auftauchen wird und selbst wenn sie eher am Rand
oder knapp außerhalb dieses Bereiches entsteht, so wird sie im Laufe des
Wachstums noch an ihren richtigen“ Platz geschoben. Die Spiralen, die
”
auf unserem Bild gerade verlaufen existieren aber in ihrer Anzahl und
Erscheinung hauptsächlich im Auge des Betrachters. Schaut man sich die
17
4 Phyllotaxis
erste Abbildung an, so wird man hier die Knospen intuitiv zu Geraden
mit der Differenz 3 (nach rechts aufsteigend) und mit der Differenz 5
(links aufsteigend) wahrnehmen. Schwerer zu erkennen sind hier schon die
Geraden mit der Differenz 8 und 13 (von unten nach oben verlaufend).
Bild aus Zahlenzauber, S.134
Die Zahlen, die man sieht, hängen davon ab, wie sehr der vertikale Maßstab
im Vergleich zum horizontalen zusammengedrückt ist. In den folgenden
Abbildungen kann man also erkennen, dass sich die Differenzen verändern
(erhöhen). Das Gitter entsteht, indem man Bereiche bildet, bei denen jeder
Punkt der ihm am nächsten liegenden Knospe zugeordnet wird.
18
4 Phyllotaxis
Bild aus Zahlenzauber, S.135
Bild aus Zahlenzauber, S.136
19
4 Phyllotaxis
Bild aus Zahlenzauber, S.132
20
4 Phyllotaxis
Das oben gezeigte Bild erscheint uns wie das Zentrum einer Blume die in
der Natur wachsen würde. In Wahrheit ist es aber ein computergeneriertes
Bild, bei dem nach einem bestimmten Wachstumsfaktor, nach und nach die
vertikale Stauchung verstärkt wurde.
Um noch einmal auf den Winkel zusprechen zu kommen, stellen wir uns
die Frage warum bei Pflanzen die Anzahl der Blütenblättern mit den diversen Fibonacci-Zahlen übereinstimmen. Wir wissen bereits, dass der Winkel
zwischen den auftretenden Blütenblättern ca. 137, 5◦ umfasst. Betrachten
wir zuerst eine Blume mit fünf Blütenblättern und nehmen an, dass sich
die Blütenblätter im Gegensatz zu z.B. Sonnenblumen-Blütenblätter beim
Wachsen nicht verdrängen bzw. sich vom Zentrum der Knospe wegbewegen, sondern rundherum um das Zentrum ohne zu überlappen entstehen.
Wiederum werden die Blätter wie oben beschrieben gebildet.
21
4 Phyllotaxis
Bild aus Gems of Geometry, S.21
Das letzte (sechste) Blatt würde nun zwischen dem ersten und dritten
Blütenblatt entstehen, hat dort aber keinen Platz mehr. Dies könnte der
Grund sein, warum so viele Blumen nur 5 Blätter haben. Nun könnte man
einwenden, dass es sehr wohl viele Blumen mit engerstehenden – und
dadurch mehr – Blütenblättern gibt.
Bild aus Gems of Geometry, S.21
Doch egal wie groß die Anzahl auch ist, es ist doch immer die erste Zahl, die
sich nicht mehr bilden kann, eine Zahl, die direkt auf eine Fibonacci-Zahl
folgt.
22
4 Phyllotaxis
Außerdem gibt es einen weiteren spannenden Punkt. Die Blüten der Blumen
sind meist in Paaren und Einzelnen angeordnet. Gibt es nun genau Fn Blüten,
so gibt es dazu genau Fn−2 Paare und Fn−3 Einzelne.
Bild aus Gems of Geometry, S.22
Dies ist deshalb so besonders, da wir ja wissen das gilt:
Fn = 2 · Fn−2 + Fn−3
Beweis. durch vollständige Induktion:
zu zeigen Fn = 2 · Fn−2 + Fn−3
23
4 Phyllotaxis
IB: n = 4 F4 = 2 · F2 + F1 = 2 · 1 + 1 = 3
IS: es gelte die Aussage für n, zu zeigen:
es gilt: Fn+1 = 2 · F(n+1)−2 + F(n+1)−3 = Fn+1 = 2 · Fn−1 + Fn−2
Fn+1 = Fn + Fn−1 = 2 · Fn−2 + Fn−3 + Fn−1 =
Fn−2 + Fn−2 + Fn−3 + Fn−1 = 2 · Fn−1 + Fn−2
24
5 Literatur
Adam, John A: Mathematics in Nature. New Jersey: Princeton University
Press, 2003.
Adler, Irving: Solving the Riddle of Phyllotaxis. Why the Fibonacci Numers
and the Golden Ratio Occur on Plants. Singapur, World Scientific Publishing,
2012.
Barnes, John: Gems of Geometry. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2009.
Conway, John: Guy, Richard: Zahlenzauber. Berlin: Birkhäuser, 1997.
Crilly, Tony: 50 Schlüsselideen. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag,
2009.
Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 6. Auflage, Leipzig: Edition am Gutenbergpatz, 2013.
Links zu den Bildern aus dem Internet in auftretender Reihenfolge:
http://www.redbubble.com/people/metrognome/works/1378704-phyllotaxis
25
5 Literatur
http://www.tydecks.info/online/math multi muo.html
http://www.atum-design.com/schluessel2 s2.html
http://www.j-berkemeier.de/Spiralen.html
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