17.11.10 unvollständig kompakt M⊂X heißt kompakt, wenn

17.11.10 unvollständig
kompakt
M ⊂ X heißt kompakt, wenn
∀ Folgen {x n}n ∈ℕ mit x n ∈M ∃konvergente Teilfolge {x n k }k∈ℕ mit lim x n k ∈ M
k ∞
In X =ℝ gilt : M ⊂ℝ ist kompakt ⇔ M beschränkt und abgeschlossen
Hilfssatz
M ⊂ X ist abgeschlossen⇔∀ konv. Folgen {x n }n∈ℕ mit x n∈M gilt x :
gebildet aus
=
lim x n ∈ M
Bew. d. Hilfssatzes
⇒
Vorrauss. X ∖ M offen
betr. Folge x n ∈ M mit x =lim x n
z.z.
x ∈M
Angenommen nicht ,d.h. x ∉M
⇒ X ∖ M ist offen, dann ∃0 mit B°  x , ⊂ X ∖ M , wegen x =lim x n ist d  x n , x  falls n groß
Widerspruch
⇐
Sei die folg. Eigensch. erfüllt:
Ann: M ist nicht abgeschl., d.h. X ∖ M nicht offen, d.h. ∃ x ∈M : B°  x , ⊄ X ∖ M ∀ 0
1
Wählen = ⇒∃ x n mit d  x n , x   , x n ∈ M
n
1
=
n
haben dann x n  x , x n ∈M , x ∉M
Widerspruch
□ Hilfssatz
¿
Ann. M kompakt, dann muß M beschr. sein, sonst ∃ x n ∈M mit ∣x n∣∞
Dann kann d. Folge d. x_n keine konv. Teilfolge besitzen.
M kompakt ⇒ M beschr.
Bleibt zu zeigen: M beschr.und abgeschl.⇒ M kompakt
Betr. x n ∈M. M beschr. in ℝ Bolz.-Weierstr.
⇒
∃ unendl. konv. Teilfolge {x n k  ; x n k   x }
Da M abgeschl., ist x ∈M , also ist M kompakt
□
Ein Satz v. Weierstraß
Sei ∅≠M ⊂ X eine komp. Menge u. f : X ℝ eine stetige Fkt. (stetig heißt: stetig in allen Pktn. aus M)
Beh. Dann ∃ x ∈M : f  x ≤ f  x ∀ x∈ M
Bew.
Betrachten S=sup { f  x ∣x∈ M }
Fall 1 S ist endl.
Betrachten die Zahlen s n=S−
⇒∃ x n ∈M mit f  x n S−
1
n
1
n
M kompakt ⇒ ∃konv. TF x n k   x ∈M
Wissen wg. Stetigkeit: f 
x n k   f  x ⇒ f  x  ist maximal
S −
1
n
Fall 2 S =∞
Dann ∃ Pkte. x n∈M mit f  x nn
Andererseits haben wir wieder: ∃TF x n k  mit x n  k  x ∈M
⇒ f  x n  k  f  x ∈ℝ , f  x n  k n k ∞
Stetigk.
Wiederspr. Dieser Fall kann nicht eintreten
□
Gleichmäßige Stetigkeit
1. f : X Y heißt stetig auf M ⊂ X falls f in allen x ∈M stetig ist
2. f heißt gleichmäßig stetig auf M wenn gilt
∀ 0 ∃ 0 , so dass ∀ x , x mit x ∈ M u. d x  x , x  gilt d y  f  x  , f  x 
x variiert in M