¨Ubungen zur Relativistischen Quantenfeldtheorie, Serie 3

Universität Basel, FS 2010
Übungen zur Relativistischen Quantenfeldtheorie, Serie 3
Propagatoren und Kommutatoren
1. Der Fockraum-Einteilchenzustand |1i sei, wie in der Vorlesung definiert, gegeben durch |1i = a† (f )|0i =
R 3
d k fˆ(~k)a† (~k)|0i für ein f ∈ L2 (R√3 ), weiter sei der Zustand |2i eine Überlagerung des Vakuums |0i mit
dem Zustand |1i: |2i = (|0i + |1i)/ 2.
Berechnen Sie die Norm h1|1i und den Erwartungswert h2|ϕ(x)|2i, wobei ϕ(x) das in Aufgabe 3 definierte
Quantenfeld sei. Untersuchen Sie weiter, ob h0|ϕ(x)2 |0i eine wohldefinierte Grösse ist.
R
2. Weisen Sie nach, dass N = d3 x a† (~x)a(~x) als ein Teilchenzahloperator aufgefasst werden kann, wobei
X
X
a(~x) =
a(fj )fj (~x) und a† (~x) =
a† (fj )fj∗ (~x)
j
j
die in der Vorlesung mit Hilfe eines vollständigen Orthonormalsystems {fj } ⊂ L2 (R3 ) eingeführten Feldoperatoren sind. Hinweis:
Untersuchen Sie die Wirkung des Operators a† (fj )a(fj ) auf einen beliebigen Fockraumzustand Φ.
3. Das freie ungeladene
pskalare Quantenfeld für Teilchen der Masse m hat die Darstellung
(kx = kµ xµ , k 0 = (~k 2 + m2 ), † ∼ hermitesche Konjugation, ± ∼ Frequenzanteil)
Z
d3 k
1
−
+
√
[a(~k)e−ikx + a† (~k)e+ikx ],
ϕ(x) = ϕ (x) + ϕ (x) =
(2π)3/2
2k 0
das geladene Feld die Darstellung
+
ϕc (x) = ϕ−
c (x) + ϕc (x) =
1
(2π)3/2
Z
d3 k
√
[a(~k)e−ikx + b† (~k)e+ikx ],
2k 0
wobei die nicht verschwindenden Kommutatoren der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren gegeben sind
durch
[a(~k), a† (k~0 )] = [b(~k), b† (k~0 )] = δ (3) (~k − k~0 ),
die Vernichter wirken auf das nicht-entartete Vakuum |0i gemäss a(~k)|0i = b(~k)|0i = 0 ∀ ~k.
Zeigen Sie, dass das geladene skalare Quantenfeld die Bewegungsgleichung
i
∂
ϕc (t, ~x) = [ϕc (t, ~x), H]
∂t
erfüllt, wobei H gegeben ist durch
q
Z
£
¤
H = d3 k E(~k) a† (~k)a(~k) + b† (~k)b(~k) , E(~k) = ~k 2 + m2 .
Interpretieren Sie den Operator H.
4. Der skalare Feynman-Propagator ist definiert als zeitgeordneter Vakuum-Erwartungswert
∆F (x) = −ih0|T (ϕc (x)ϕ†c (0)|0i = −ih0|T (ϕ(x)ϕ(0)|0i.
Die sogenannten positiv- und negativ-frequenten Pauli-Jordan-Distributionen sind definiert durch
∆± (x) = −i[ϕ∓ (x), ϕ± (0)], die Pauli-Jordan-Distribution selbst durch ∆(x) = ∆+ (x) + ∆− (x). Der
retardierte Propagator ist definiert durch ∆ret (x) = Θ(x0 )∆(x). Zeigen Sie:
(¤ + m2 )∆F (x) = (∂µ ∂ µ + m2 )∆F (x) = −δ (4) (x).
∆(x) verschwindet für raumartige x (x2 < 0).
R
ˆ ± (k) = d4 x ∆± (x)eikx = ∓2πiΘ(±k 0 )δ(k 2 − m2 ).
∆
(¤ + m2 )∆± (x) = 0.
∆ret = ∆F + ∆− .
(¤ + m2 )∆ret (x) = −δ (4) (x).
R d4 k
e−ikx
ˆ ret (x) =
(g) ∆
(2π)4 k2 −m2 +ik0 0 .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Vorbesprechung: 6. April. Abgabe: 12. April 2010.