Stochastik II

Institut für Stochastik
Universität Karlsruhe
Dr. B. Klar
Dipl.-Math.oec. W. Lao
WS 2007/2008
Blatt 11
Übungen zur Vorlesung
Stochastik II
Aufgabe 45 ()
Es sei X eine Zufallsvariable mit charakteristischer Funktion ϕ und Dichte f . Zeigen Sie:
a) P X = P −X ⇐⇒ ϕ(t) ∈ R ∀ t ∈ R.
R
b) Ist ϕ reell und nichtnegativ mit c := ϕ dλ < ∞, so hat das W–Maß mit der Dichte g := ϕ/c
die charakteristische Funktion 2πf /c.
Hinweis: Verwenden Sie die Umkehrformel für Dichten.
Aufgabe 46 ()
a) X und Y seien unabhängige Exp(1)–verteilte Zufallsvariablen. Bestimmen Sie Dichte und
charakteristische Funktion von Z := X − Y .
b) Zeigen Sie: Eine Zufallsvariable mit Standard–Cauchy–Verteilung (d.h. eine Zufallsvariable
1
mit der Dichte g(t) := π(1+t
2 ) ) besitzt die charakteristische Funktion ψ(t) = exp(−|t|), t ∈ R.
Hinweis: Teil a) und Aufgabe 45.
c) Es seien X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilt mit der Cauchy–Verteilung C(α, β),
1
d.h. mit der Dichte g(t) := βπ · β 2 +(t−α)
2 . Zeigen Sie, daß dann gilt:
n
1X
Xj ∼ C(α, β) .
n
j=1
Warum widerspricht dieses Ergebnis nicht dem starken Gesetz großer Zahlen?
Aufgabe 47 ()
³
´
n
Es sei (Ω, A, P ) := (0, 1), B 1 ∩ (0, 1), λ1|(0,1) sowie N := ω ∈ Ω : ∃ n ∈ N ∃ ²1 , . . . , ²n ∈
o
P
{0, 1}, ²n = 1, mit ω = nj=1 ²j · 2−j die Menge aller Zahlen in (0, 1) mit abbrechender dyadischer
Entwicklung.
a) Zeigen Sie: P (N ) = 0.
b) Jedes ω ∈ Ω \ N besitzt eine eindeutig bestimmte dyadische Entwicklung
ω=
∞
X
j=1
Xj (ω) · 2−j .
Definieren wir zusätzlich Xj (ω) := 0 für ω ∈ N (j ≥ 1), so sind X1 , X2 , . . . {0, 1}–wertige Zufallsvariablen auf Ω. Zeigen Sie: X1 , X2 , . . . sind stochastisch unabhängig und je Bin(1, 1/2)–
verteilt.
c) Nach Konstruktion gilt
lim
n→∞
n
X
Xj · 2−j = idΩ
P –f.s.,
j=1
wobei idΩ die Gleichverteilung U(0, 1) besitzt. Die Gleichverteilung im Intervall (−1, 1) besitzt
die charakteristische Funktion t−1 · sin t. Zeigen Sie unter Benutzung des Stetigkeitssatzes von
Lévy-Cramér:
µ ¶
∞
sin t Y
t
=
cos
,
t∈R.
t
2j
j=1
Aufgabe 48 ()
Für eine Folge X1 , X2 , . . . stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit
0 < σ 2 := V (X1 ) und EX14 < ∞ sei
Sn2 :=
n
X
1
·
(Xj − X n )2
n−1
j=1
n
1X
die sog. Stichprobenvarianz, wobei X n :=
Xj . Zeigen Sie:
n
j=1
a) Sn2 konvergiert fast sicher gegen σ 2 .
£
¤
b) Es sei τ 2 := E (X1 − µ)4 − σ 4 > 0, wobei µ := EX1 ist. Dann gilt
¢ D
¡
¢
√ ¡ 2
n · Sn − σ 2 −→ N 0, τ 2 .
Keine Abgabe!
Diese Aufgaben werden in der Hörsaalübung am 22.01.2008 behandelt.
Klausuranmeldung:
Die Anmeldung zur Scheinklausur wird in der Zeit vom 28.01 - 15.02.2008 von 10:00-12:00 Uhr
im Sekreteriat (Zi. 234) des Instituts für Stochastik bei Frau Voss entgegengenommen.
Die Anmeldung zur Studienbegleitende Prüfung wird in der Zeit vom 04.02 - 29.02.2008 von
10:00-12:00 Uhr im Sekreteriat (Zi. 234) des Instituts für Stochastik bei Frau Voss entgegengenommen.