L¨OSUNGEN ZUM ¨UBUNGSBLATT 3, ¨UBUNGEN 2 UND 3(B

LÖSUNGEN ZUM ÜBUNGSBLATT 3, ÜBUNGEN 2 UND 3(B)
Übung 2:
(a) Wir konstruiren eine Teilmenge N von M durch Induktion. Da M unendlich ist, ist M 6= ∅
und so existiert x1 ∈ M . Jetzt, wir betrachten M \ {x1 }, die nochmal unendlich und nicht leer ist.
Es folgt dass ein punkt x2 ∈ M \ {x1 } existiert. Nun, machen wir gleich mit M \ {x1 , x2 } und so
finden wir x3 . Dann, ist die Menge N = {xn | n ∈ N and xn+1 ∈ M \ {x1 , . . . , xn }} eine abzählbare
unendliche Teilmenge von M .
(b) Falls M endlich ist, dann kann keine Teilmenge N ⊂ M echte Teilmenge gleicher Mächtigkeit
als M existieren. So: wenn eine echte Teilmenge N von M gliecher Mc̈htigkeit existiert, dann M ist
unendlich.
Um die andere Richtung zu beweisen, sollen wir eine bijektive Funktion zwischen M1 ⊂ M und M
definieren. Wegen Teil (a), existiert N = {xn | n ∈ N} echte Teilmenge von M und abzählbar.
Betrachten wir auch die Teilmenge N1 = {x2n ∈ N | n ∈ N}. Offensichtlich, haben N1 und N
glieche Mächtigkeit und es folgt, eine bijektive Funktion f : N1 → N existiert. Jetzt, setzen wir
M1 = (M \ N ) ∪ N1 und wir definieren g : M → M1 durch g(x) = f (x) falls x ∈ N − 1 und g(x) = x
falls x ∈ M \ N . Die Funktion g ist wohldefiniert und bijektiv.
Zur Injektivität: sei x, y ∈ M1 mit x 6= y. Falls x, y ∈ N1 , f (x) 6= f (y) und so auch g(x) 6= g(y).
Falls x, y ∈ M \ N , da x 6= y, g(x) 6= g(y). Falls x ∈ N − 1 und y ∈ M \ N , f (x) 6= y, da f (x) ∈ N
und es folgt g(x) 6= g(y).
Zur Surjektivität: sei yinM . Ist x ∈ M \ N , setzen wir x := y. Dann g(x) = x = y. Ist y ∈ N ,
setzen wir x = f −1 (y) und es gilt g(x) = f (x) = y.
(c) Wir folgen die gleiche Strategie als im Teil (b). Da M überabzählbar ist und A abzählbar
ist, ist M \ A unendlich und nach (a) folgt die Existenz einer abzählbaren echten Teilmenge B
von M \ A. Da A ∪ B B abzählbar sind, existiert f : B → A ∪ B bijektiv. Jetzt, definieren wir
g : M \A = (M \(A∪B))∪B → M durch g(x) = f (x) falls x ∈ B und g(x) = x falls x ∈ M \(A∪B).
Bijektivität der Funktion g folgt als in (b).
Übung 3(b):
Sei M 0 = { Häufungspunkten
an dass M 0 nur abzählbar ist. Jetzt, betraS∞ von M } und wir nehmen
0
chten wir Mk = [−k, k] \ m=1 U1/k (xm ), xm ∈ M , die höchstens endliche viele Elementen von M
S∞
enthält. Außerdem, M \ M 0 ⊂ k=1 Mk = R \ M 0 . Da R überabzählbar ist und M abzählbar ist,
ist R \ M 0 unendlich. Da M ⊂ (M \ M 0 ) ∪ M 0 , ist M 0 höchstens abzählbar, was ein Widerspruch ist.
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