Ferienkurs Elektrodynamik 2010

Ferienkurs Elektrodynamik 2010
Multipolentwicklung und Magnetostatik
Vorlesungsskript für den 16. März 2010
Carl Hippler
Inhaltsverzeichnis
1 Multipolentwicklung des elektrischen Feldes
1.1 Entwicklung des Potenzials . . . . . . . . . . .
1.2 Der Monopol- und Dipolterm des Potenzials .
1.3 Der Quadrupolterm . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Entwicklung nach den Kugelflächenfunktionen
1.5 Bemerkungen zur Multipolentwicklung . . . .
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2 Magnetostatik
2.1 Die Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Elektrischer Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Die Stromdichte ~j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Magnetfelder stationärer Ströme . . . . . . . . . . . . .
2.6 Anwendungen des Amperèschen Gesetzes . . . . . . . .
2.7 Das Vektorpotenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Das Hilfsfeld H
~
2.9 Verhalten an Grenzflächen, Stetigkeitsbedigungen für B
2.10 Magnetische Suszeptibilität und Permeabilität . . . . .
2.11 Das Magnetfeld eines Dipols . . . . . . . . . . . . . . .
1
.
.
.
.
.
2
2
2
3
4
4
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
~
und H
. . . .
. . . .
5
5
6
7
7
8
9
9
11
11
13
13
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1.1
Multipolentwicklung des elektrischen Feldes
Entwicklung des Potenzials
Es sei eine lokalisierte Ladungsverteilung %(~r 0 ) gegeben. Das elektrische Potenzial an einem Punkt ~r ist dann durch die folgende Formel gegeben:
Z
%(~r 0 ) d3 r 0
1
(1)
Φ(~r) =
4π ε0
|~r − ~r 0 |
Es soll nun herausgefunden werden, wie sich dieses Potenzial an Punkten
verhält, die sehr weit von der Ladungsverteilung entfernt sind, das heißt man
betrachtet den Fall r r 0 , wobei r ≡ |~r | und r 0 ≡ |~r 0 |. Es gilt zunächst:
1
1
1
= q
=√
0
2
0
2
0
|~r − ~r |
r
r + r − 2~r ◦ ~r
1+
Ein Term der Form
√1
1+ξ
1
r0 2
r2
− 2 ~r r◦2~r
(2)
0
mit ξ 1 kann wie folgt Taylor-entwickelt werden:
1
1
1
3
√
= (1 + ξ)− 2 = 1 − ξ + ξ 2 + ...
2
8
1+ξ
r0 2
r2
0
− 2 ~r r◦2~r einsetzt, gilt für die Entwicklung von
1
1
~r ◦ ~r 0 1 r 0 2 3 4(~r ◦ ~r 0 )2
=
1+ 2 −
+ ·
+ ...
|~r − ~r 0 |
r
r
2 r2
8
r4
1 ~r ◦ ~r 0 3(~r ◦ ~r 0 )2 − r2 r 0 2
= + 3 +
+ ...
r
r
2r5
Das elektrische Potenzial kann man dann schreiben als
Z
Z
1
1
~r
0
3 0
Φ(~r) =
%(~r ) d r + 3 ◦ ~r 0 %(~r 0 ) d3 r0
4πε0 r
r
Z
1
2
0
0
2
2
0
3
0
%(~r ) 3 (~r ◦ ~r ) − r r
d r + ... .
+ 5
2r
Wenn man für ξ nun
1.2
(3)
1
:
|~
r−~
r 0|
(4)
(5)
(6)
Der Monopol- und Dipolterm des Potenzials
Der dominierende Term in der Entwicklung ist der Monopolterm
Z
1 1
1 Qges
Φ0 (~r) =
%(~r 0 ) d3 r0 =
,
4πε0 r
4π0 r
2
(7)
wobei Qges die Gesamtladung der Ladungskonfiguration darstellt. In großer
Entfernung verhält sich also eine Ladungskonfiguration näherungsweise wie
eine Punktladung Qges im Ursprung.
Falls die Gesamtladung gleich null ist, verschwindet der Monopolterm und
es dominiert der Dipolterm
Z
1 ~r
◦
Φ1 (~r) =
~r 0 %(~r 0 ) d3 r0 .
(8)
4πε0 r3
Mit dem Dipolmoment der Ladungsverteilung
Z
p~ = ~r 0 %(~r 0 ) d3 r0
(9)
vereinfacht sich der Dipolterm zu
Φ1 (~r) =
1 p~ ◦ ~r
.
4πε0 r3
Das elektrische Feld eines Dipolmoments p~ ist gegeben durch
◦p
1
3(~
r
~
)
~
r
p
~
~ dip (~r) = −∇Φ
~ 1 (~r) =
E
− 3+
.
4π
r
r5
1.3
(10)
(11)
Der Quadrupolterm
Der Quadrupolterm in der Multipolentwicklung lautet
Z
1
1
2
%(~r 0 ) 3 (~r ◦ ~r 0 )2 − r2 r0 d3 r0 .
Φ2 (~r) =
· 5
4πε0 2r
(12)
Diesen kann man auch schreiben als
3
X
3
Φ2 (~r) =
Qij Rij
8πε0 r5 i,j=1
mit dem spurlosen Quadrupoltensor
Z
1
2
Qij = (x0i x0j − δij r0 ) %(~r) d3 r0
3
(13)
(14)
und dem spurlosen Orstensor
Rij = xi xj −
1
δij r2 ,
3
siehe Skript der Elektrodynamik-Vorlesung.
3
(15)
1.4
Entwicklung nach den Kugelflächenfunktionen
Aus der Vorlesung ist die Zauberformel“ bekannt, mit deren Hilfe sich der
”
1
Term |~r−~
nach den sogenannten Kugelflächenfunktionen Ylm (ϑ, ϕ) entwir 0|
ckeln lässt:
∞ X
+l
X
1
r< l
1
=
4π
Y ∗ (ϑ0 , ϕ0 ) Ylm (ϑ, ϕ) ,
l+1 lm
|~r − ~r 0 |
2l
+
1
r
>
l=0 m=−l
(16)
wobei r> = max{r, r0 } und r< = min{r, r0 }. Das elektrische Potenzial, gegeben durch Gleichung 1, wird mit Gleichung 16 zu
Z
Φ(~r) =
d3 r0 %(~r 0 )
∞ X
+l
X
l=0
4π
r< l
∗
Ylm
(ϑ0 , ϕ0 ) Ylm (ϑ, ϕ) .
l+1
2l + 1 r>
m=−l
(17)
Bei der Entwicklung des elektrischen Potenzials wollen wir dieses in großen
Abständen von der Ladungsverteilung betrachten, das heißt es gilt r > r0 .
Wir setzen darum r> = r und r< = r0 . Man definiert nun das sphärische
Multipolmoment
r
Z
4π
l
∗
d3 r0 %(~r 0 ) r0 Ylm
(ϑ0 , ϕ0 )
(18)
Qlm =
2l + 1
und kann dann das Potenzial Φ schreiben als
+l r
∞
1 X X
4π Qlm
Φ(~r) =
Ylm (ϑ, ϕ) .
4πε0 l=0 m=−l 2l + 1 rl+1
1.5
(19)
Bemerkungen zur Multipolentwicklung
1. Für Punktladungen lautet das magnetische Dipolmoment:
p~ =
n
X
qi ~ri
(20)
i=1
2. Wenn die Ladungsverteilung aus einer Punktladung besteht, sind die
Multipolterme außer dem Monopolterm nur dann genau null, wenn sich
die Ladung im Ursprung befindet.
4
3. Für einen Dipol aus zwei entgegengesetztes Ladungen +q und −q, die
sich im Abstand d voneinander befinden, dominiert zwar der Dipolterm in der Multipolentwicklung, außer dem Monopolterm (der gleich
null ist) verschwinden die anderen Terme aber nicht völlig in großen
Entfernungen. Damit diese Terme verschwänden, müsste der Abstand
der Ladungen gegen null gehen und die Ladungen gleichzeitig gegen
unendlich, bei festem Produkt q · d = p. Es würde dann ein idealer
”
Dipol“ vorliegen.
4. Das Dipolmoment einer Ladungsverteilung hängt im Allgemeinen von
der Wahl des Koordinatensystems ab.
Beweis:
Man stelle sich vor, man würde das Koordinatensystem I mit den Koordinaten ~r 0 um eine Strecke ~a verschieben und so das Koordinatensystem
I¯ mit den Koordinaten ~r̄ 0 erhalten. Dann gilt für das Dipolmoment p̄~
¯
in I:
Z
~p̄ = ~r̄ 0 %(~r̄ 0 ) d3 r̄ 0
Z
= (~r 0 − ~a)%(~r 0 ) d3 r0 Es gilt: %(~r̄ 0 ) = %(~r 0 )
Z
Z
0
0
3 0
= ~r %(~r ) d r − ~a
%(~r 0 ) d3 r0
= p~ − Qges · ~a
Das Dipolmoment ist nur dann von der Wahl des Koordinatensystems
unabhängig, wenn die Gesamtladung gleich null ist.
2
2.1
Magnetostatik
Die Lorentz-Kraft
~ Das
Ein Magnetfeld wird beschrieben durch die magnetische Flussdichte B.
Feld manifestiert sich in der Lorentz-Kraft auf sich bewegende Ladungen q:
~ ,
F~L = q ~v × B
(21)
wobei ~v die Geschwindigkeit des geladenen Teilchens ist. Dies ist ein fundamentales Axiom in der Theorie der Magnetostatik, es lässt sich mit Hilfe der
5
Lagrangeschen Formulierung der Bewegung eines geladenen Teilchens herleiten.
Wenn zusätzlich zum Magnetfeld auch noch ein elektrisches Feld anliegt, ist
die gesamte Kraft auf das geladene Teilchen
~ + ~v × B)
~ .
F~ = q (E
(22)
Eine wichtige Eigenschaft der Lorentz-Kraft ist: Sie verrichtet keine Arbeit. Denn wenn ein Teilchen mit der Ladung q sich eine Strecke d~r = ~v dt
bewegt, so gilt für die hierbei durch die magentische Kraft verrichtete Arbeit
~ ◦ ~v dt = 0 .
dWmag = F~ ◦ d~r = q (~v × B)
(23)
Die Lorentz-Kraft kann die Bewegungsrichtung eines Teilchens ändern, sie
kann aber nicht den Betrag der Geschwindigkeit erhöhen oder verringern.
2.2
Elektrischer Strom
Ein elektrischer Strom bedeutet einen Transport elektrischer Ladung in einem elektrisch leitenden Medium oder auch im Vakuum. Die Ladungsmenge,
die pro Zeiteinheit durch einen senkrecht zur Stromrichtung stehenden Querschnitt des Strom führenden Leiters fließt, bezeichnet man als die Stromstärke
I:
dQ
(24)
I=
dt
Als die Richtung des elektrisches Stromes sei im Folgenden die Richtung von
Plus nach Minus festgelegt. Man kann sich hierbei vorstellen, dass der Strom
durch positive Ladungsträger hervorgerufen wird, die sich von Plus nach Minus bewege. Tatsächlich wird er verursacht durch negativ geladene Teilchen,
die Elektronen, welche sich entgegengesetzt zur Stromrichtung bewegen.
Wir betrachten zunächst einen dünnen Leiter mit vernachlässigbarer Querschnittsfläche, zum Beispiel einen dünnen Draht. Es sei λ die mobile, also
die am Ladungstransport mitwirkende Ladung pro Längeneinheit des Leiters (der Leiter ist nach außen hin eletrisch neutral). Ein Leitersegment v ∆t
enthält die Ladung λ · v ∆t, diese benötigt die Zeit ∆t, um einen Punkt P
des Leiters zu passieren. Für den elektrischen Strom gilt dann also:
I~ = λ · ~v
(25)
Wenn der Leiter sich in einem Magnetfeld befindet, so ergibt sich die auf in
wirkende Kraft wie folgt:
Z
Z
Z
Z
~ dq = ~v × B
~ λ dl = I~ × B
~ dl = I
~
F~ = ~v × B
d~l × B
(26)
6
Hierbei wurde im letzten Schritt verwendet, dass d~l in die gleiche Richtung
~
zeigt wie die Stromstärke I.
Für den Fall, dass der Leiter gerade ist und senkrecht zu einem homogenen
Magnetfeld steht, gilt:
F =IBl
(27)
2.3
Die Stromdichte ~j
Nun wollen wir uns einen Leiter anschauen, dessen Querschnittsfläche nicht
vernachlässigbar ist. Es sei dA⊥ ein infinitesimal kleines Stück der Querschnittsfläche des Stromleiters, welches senkrecht zur Stromrichtung steht.
Die Stromdichte ~j ist nun der Quotient aus dem durch dA⊥ fließenden Strom
dI~ und dA⊥ :
~
~j = dI
(28)
dA⊥
Die Raumladungsdichte der am elektrischen Ladungstransport mitwirkenden Ladungen sei %. Dann ist die Stromdichte definiert als
~j = % · ~v .
(29)
Die magnetische Kraft auf einen Leiter mit ausgedehntem Querschnitt ist
damit gegeben durch
Z
Z
Z
~
~
~
~ dV .
F = ~v × B dq = ~v × B % dV = ~j × B
(30)
2.4
Kontinuitätsgleichung
Nach Gleichung 28 kann der elektrische Strom, der durch eine Fläche S fließt,
geschrieben werden als
Z
Z
Z
~.
I = dI = j dA⊥ = ~j ◦ dA
(31)
S
S
S
Das Skalarprodukt hierbei dient dazu, die zur Stromrichtung senkrechte Komponente des Flächenelements zu erhalten. Der gesamte, aus einem Volumen
V herausfließende Strom ist
I
Z
~
~ ◦ ~j dV,
I = ~j ◦ dA = ∇
(32)
V
∂V
7
wobei ∂V die das Volumen einschließende Fläche ist. Es wurde hier der Satz
von Gauß angewendet. Die Gesamtladung ist erhalten, das heißt, was durch
die Oberfläche aus dem eingeschlossenen Raum an Ladung herausfließt, fehlt
im Innern. Damit kann man sagen:
Z
Z
Z
∂%
d
d
~ ◦ ~j dV = − Qinnen = −
% dV = −
dV
(33)
I= ∇
dt
dt
∂t
V
V
V
Da die Gleichung für beliebige Volumina gilt, müssen die Integranden gleich
sein und wir erhalten die Kontinuitätsgleichung:
~ ◦ ~j = − ∂%
∇
∂t
∂%
~ ◦ ~j +
⇒∇
=0
∂t
(34)
Sie besagt, dass Ladungen weder vernichtet noch erzeugt werden können.
2.5
Magnetfelder stationärer Ströme
Mit dem Begriff stationärer Strom ist hier ein kontinuierlicher Ladungsfluss
gemeint, der sich nicht ändert und bei dem es an keiner Stelle zu einer Ansammlung von Ladungsträgern kommt. Da sich die Ladungsträger an keiner
Stelle anhäufen mit der Zeit, gilt ∂%/∂t = 0, womit in der Magnetostatik die
Kontinuitätsgleichung die folgende Form annimmt:
~ ◦ ~j = 0
∇
(35)
Das durch einen im Volumen V fließenden kontinuierlichen Strom erzeugte
~ kann mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes berechnet werden:
Magnetfeld B
~ r ) = µ0
B(~
4π
Z ~ 0
j(~r ) × (~r − ~r 0 ) 3 0
dr
|~r − ~r 0 |3
(36)
V
~ erhält
Für die Divergenz und die Rotation der magnetischen Flussdichte B
man, indem man diese Operatoren auf das Biot-Savart-Gesetz anwendet:
~ ◦B
~ =0
∇
~ ×B
~ = µ0 ~j
∇
8
(37)
(38)
Dies sind die beiden Grundgleichungen der Magnetostatik, welche sich analog
zu den beiden wichtigen Gleichungen der Elektrostatik ergeben. Gleichung
38 bezeichnet man auch als das Amperèsche Gesetz. Aus Gleichung 37 folgt,
dass alle Magnetlinien geschlossen sind. Durch die geschlossene Oberfläche
eines Volumens treten immer genauso viele Magnetfeldlinien ein wie aus. Das
bedeutet, dass in der Natur keine magnetischen Monopole vorkommen.
2.6
Anwendungen des Amperèschen Gesetzes
In differentieller Form entspricht das Amperèsche Gesetz Gleichung 38, unter
Verwendung des Satzes von Stokes kann es in die Integralform überführt
werden:
Z
I
Z
~ × B)
~ ◦ dA
~= B
~ ◦ d~r = µ0 ~j ◦ dA
~
(∇
S
S
∂S
~ der gesamte Strom I durch die Oberfläche S ist, kann man also
Da S ~j ◦ dA
schreiben:
I
~ ◦ d~r = µ0 I
B
(39)
R
∂S
Diese Form des Amperèschen Gesetzes ist ein oftmals schönes und schnelles Mittel, um die von konstanten Strömen verursachten Magnetfelder zu
berechnen.
2.7
Das Vektorpotenzial
~ × E = ~0, das skalare
In der Elektrostatik erlaubte uns die Gleichung ∇
elektrische Potenzial Φ einzuführen:
~ = −∇Φ
~
E
~ = 0 dazu ein, ein
~ ◦B
In der Magnetostatik lädt uns die Maxwellgleichung ∇
~
~
Vektorpotenzial A für das Magnetfeld B einzuführen, so dass gilt:
~ =∇
~ ×A
~
B
(40)
Diese Formulierung nimmt automatisch Rücksicht darauf, dass die Divergenz
~ gleich null ist, denn die Divergenz einer Rotation ist immer gleich null.
von B
~ ist nicht eindeutig bestimmt. Man kann zu A
~ stets
Das Vektorpotenzial A
noch eine Funktion, deren Rotation gleich null ist, hinzu addieren. Eine solche Funktion mit verschwindender Rotation kann geschrieben werden als der
9
Gradient eines Skalars. Die Freiheit bei der Auswahl des Vektorpotenzials
~ verschwinden zu lassen:
können wir dazu verwenden, die Divergenz von A
~ ◦A
~=0
∇
(41)
Diese Wahl des Vektorpotenzials bezeichnet man als Coulomb-Eichung. Um
zu zeigen, dass diese Wahlmöglichkeit immer existiert, kann man annehmen,
~ 0 nicht null ist.
dass die Divergenz des ursprünglichen Vektorpotenzials A
Wenn man hierzu den Gradienten einer skalaren Funktion λ addiert, so erhält
~=A
~ 0 + ∇λ:
~
man für die Divergenz des neuen Vektorpotenzials A
~ ◦A
~=∇
~ ◦A
~ 0 + ∆λ
∇
(42)
~ verschwindet, muss eine Funktion λ gefunden
Damit die Divergenz von A
werden, für welche gilt:
~ ◦A
~0
∆λ = −∇
(43)
Diese Gleichung hat große Ähnlichkeit zur Poisson-Gleichung in der Elektro~ 0 für |~r| → ∞ gegen null geht, ist λ
~ ◦A
statik. Unter der Bedigung, dass ∇
gegeben durch
Z ~ ~
∇ ◦ A0 3 0
1
dr .
(44)
λ=
4π
|~r − ~r 0 |
Merke: Es ist immer möglich, eine solche Funktion λ zu finden, um das
~ divergenzlos zu machen.
Vektorpotenzial A
~ lautet das Amperèsche Gesetz
Mit dem Vektorpotenzial A
~ − ∆A
~ = µ0 ~j .
~ ×B
~ =∇
~ × (∇
~ × A)
~ = ∇(
~ ∇
~ ◦ A)
∇
(45)
Für den Fall der Coulomb-Eichung des Vektorpotenzials ergibt sich hieraus:
∆A = −µ0 ~j
(46)
Diese Gleichung besitzt ebenfalls wieder die gleiche Form wie die PoissonGleichung, und, unter der Bedingung, dass ~j(~r) für r → ∞ gegen null geht,
ist die Lösung gegeben durch:
Z ~ 0
j(~r ) 3 0
µ0
~
A(~r) =
dr
(47)
4π
|~r − ~r 0 |
Für das von einem dünnen, stromdurchflossenen Draht hervorgerufene Magnetfeld ergibt sich das Vektorpotenzial zu
Z
µ0 I
d~r 0
~
A(~r) =
.
(48)
4π
|~r − ~r 0 |
10
2.8
~
Das Hilfsfeld H
Ein magnetisiertes Material kann durch das Modell vieler, mikroskopisch
kleiner magnetischer Dipole, welche sich parallel zueinander anordnen, beschrieben werden kann. Dies verursacht einen scheinbaren Strom von Elektronen an der Oberfläche des Materials. Bei nicht homogener Magnetisierung
des Körpers entsteht zusätzlich zur freien Stromdichte ~jf , basierend auf dem
durch den Körper fließenden elektrischen Strom, eine Magnetisierungsstrom~ ×M
~ . Hierbei gibt M
~ das magnetische Dipolmoment pro
dichte ~jm = ∇
Volumeneinheit an. Die gesamte Stromdichte ist dann gegeben durch
~j = ~jf + ~jm .
(49)
Das Amperèsche Gesetz kann man dann wie folgt schreiben:
1 ~
~ = ~j = ~jf + ~jm = ~jf + ∇
~ ×M
~
∇×B
µ0
1
~ −M
~ = ~jf
~ ×
B
⇒ ∇
µ0
~ ein:
An dieser Stelle führt man eine neue Größe H
~ ≡ 1 B
~ −M
~
H
µ0
(50)
Damit gilt:
~ ×H
~ = ~jf
∇
(51)
~ wird manchmal als magnetische Erregung bezeichnet. Gleichung
Die Größe H
51 kann man auch als Integral schreiben, analog zu Gleichung 39:
I
~ ◦ d~r = Ifrei ,
H
(52)
C
wobei Ifrei der freie Strom ist, der durch die von der Kurve C eingeschlos~ hängt nur von der von außen einstellbaren
sene Fläche fließt. Die Größe H
~ auch vom verwendeten
freien Stromdichte ~jf ab. Im Gegensatz dazu hängt B
Material ab.
2.9
Verhalten an Grenzflächen, Stetigkeitsbedigungen
~ und H
~
für B
~
Wir wollen nun untersuchen, wie sich die beiden physikalischen Größen B
~ an Grenzflächen zwischen zwei verschiedenen Medien verhalten. Dazu
und H
11
Abbildung 1: Skizze zum Verhalten an Grenzflächen
stellen wir uns zunächst ein Volumen V in Form einer kleinen, hauchdünnen
Schachtel parallel zur Oberfläche vor, siehe Abbildung 1 links. Es gilt nun
~ ◦B
~ = 0, oder in Integralform
∇
I
~ ◦ dA
~=0.
B
(53)
∂V
Der gesamte magnetische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich
null, es treten genauso viele magnetische Feldlinien durch die Oberfläche ein
wie aus. Die magnetische Flussdichte lässt sich nun zerlegen in eine Kompo~ n , welche senkrecht zur Grenzfläche steht, und eine Komponente B
~ t,
nente B
welche parallel zur Grenzfläche ist (n wie normal, t wie tangential). Unsere
kleine Schachtel sei so infinitesimal flach, dass der magnetische Fluss durch
die Seitenwände vernachlässigbar sei. Dann gilt:
I
~ ◦ dA
~ =Bn(1) · F − Bn(2) · F
0= B
(54)
∂V
⇒ Bn(1) = Bn(2)
(55)
~ ist damit stetig an Grenzflächen. Dies gilt
Die Normalkomponente von B
~ t.
jedoch im Allgemeinen nicht für die Tangentialkomponente B
~
Zur Untersuchung der Stetigkeit von H betrachten wir analog eine kleine,
rechteckige Schleife, die parallel zur Grenzfläche verläuft und deren die Grenzfläche schneidende Seiten unendlich kurz seien (Abbildung 1 rechts). Die
~ wieder in eine NormalSchleife schließe die Fläche S ein. Auch hier soll H
~ =H
~n + H
~ t . Es soll anund eine Tangentialkomponente zerlegt werden, H
genommen werden, dass auf der Grenzfläche keine freien Oberflächenströme
12
fließen, also ~jf = ~0. Dann gilt:
Z
I
I
~
~
~
~ ◦ d~r =Ht(1) · l − Ht(2) · l
~
~
◦
◦
0 = jfrei dA = (∇ × H) dA = H
S
S
(56)
∂S
(1)
⇒ Ht
(2)
= Ht
(57)
~ ist somit an der Grenzfläche stetig.
Die Tangentialkomponente von H
2.10
Magnetische Suszeptibilität und Permeabilität
Für kleine magnetische Felder ist bei vielen Materialien die Magnetisierung
~ proportinal zu H:
~
M
~ = χm · H
~
M
(58)
Die dimensionslose Proportionalitätskonstante χm heißt magnetische Suszeptibilität. Dann gilt:
~ = µ0 (H
~ +M
~ ) = µ0 (1 + χm ) H
~
B
(59)
~ ebenfalls proportional zu H.
~ Die
Damit ist die magnetische Flussdichte B
Größe µ ≡ 1 + χm nennt man die relative Permeabilität. Wenn χm > 0
und damit µ > 1, spricht man von Paramagnetismus. Für χm < 0 und
µ < 1 liegt Diamagnetismus vor.
2.11
Das Magnetfeld eines Dipols
Wie wir bereits an anderer Stelle gesehen haben, kann der Term 1/|~r − ~r 0 |
wie folgt entwickelt werden:
1
1 ~r ◦ ~r 0 3(~r ◦ ~r 0 )2 − r2 r0 2
=
+ 3 +
+ ...
|~r − ~r 0 |
r
r
2r5
r 02
1 r0 cos ϑ0
2 0
= +
+
3
cos
ϑ
−
1
,
r
r2
2 r3
(60)
(61)
wobei ϑ 0 der Winkel zwischen ~r und ~r 0 ist. Das Vektorpotenzial des Magnetfeldes, das durch eine geschlossene Leiterschleife C erzeugt wird, ergibt sich
13
dann zu




µ
I
0
~ r) =

A(~
4π 



I
1
d~r 0
r
| C{z }
Monopolterm ∼
+
1
r
1
r2
|
I
r0 cos ϑ0 d~r 0 +
C
{z
Dipolterm ∼
1
r2
}
1
r3
|
I
C
r0
2
3
1
cos2 ϑ0 −
2
2
{z
Quadrupolterm ∼
1
r3
(62)
In der Natur kommen keine magnetischen Monopole vor, und tatsächlich
verschwindet auch der Monopolterm dieser Gleichung, denn
I
d~r 0 = ~0 .
(63)
C
Der dominierende Term in großen Entfernungen von der Leiterschleife ist
der Dipolterm
I
µ0 I
~
r0 cos ϑ0 d~r 0 .
(64)
Adip (~r) =
2
4πr
C
Diesen kann man durch eine etwas längere Rechnung (Vgl. Griffiths, 3. Auflage, S. 244 oder Jackson, 3. Auflage, S. 209) umschreiben in
~ × ~r
~ dip (~r) = µ0 µ
A
4π r3
mit dem magnetischen Moment
µ
~ = I · F~ ,
(65)
(66)
wobei hier F~ = dF~ der Flächenvektor der Leiterschleife ist. Im Falle einer ebenen Leiterschleife zeigt F~ in die Normalenrichtung der Leiterschleife,
steht also senkrecht zu ihr, und besitzt als Betrag den umschlossenen Flächeninhalt. Das magnetische Feld eines Dipols kann nun durch die Berechnung
~ dip bestimmt werden:
der Rotation von A
◦~
3
(~
µ
r
)
~
r
µ
~
µ
0
~ dip (~r) = ∇
~ ×A
~ dip (~r) =
B
− 3
(67)
4π
r5
r
R
~ auf einen magnetischen Dipol mit dem Dipolmoment µ
Das Drehmoment N
~
~ ist gegeben durch
in einem homogenen Magnetfeld B
~ =µ
~ .
N
~ ×B
14
(68)



0
d~r + ...
 .


}