Blatt 3

Theoretische Physik
Thermodynamik und statistische Physik (T4)
Prof. Dr. U. Schollwöck
6. Mai 2013
Blatt 3
Sommersemester 2013
Aufgabe 7: Obere Schranken mittels Mittelwert und Varianz
(a) Sei X eine reellwertige Zufallsvariable, c > 0 und h : R → R+ eine nicht-negative monoton
wachsende Funktion. Zeigen Sie, dass
P (X ≥ c) ≤ hh(X)i/h(c).
(1)
Schlussfolgern Sie aus Gl. (1) weiter, dass
P (|X| ≥ c) ≤ h|X|i/c und
P (|X − hXi| ≥ c) ≤ h(X − hXi)2 i/c2 .
(2)
(3)
Letzteres ist gerade die in der Vorlesung besprochene Tschebyscheff-Ungleichung.
(b) Gemäß der Erfahrung der letzten Jahre, weiß der Professor, dass die in seiner Standardklausur erreichte Punktzahl eine Zufallsvariable mit Mittelwert 75 ist.
(b1) Geben Sie eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, mit der die Punktzahl eines
Studenten größer als 85 ist.
2
= 25. Geben Sie eine untere Schranke für die Wahrschein(b2) Sei die Varianz im Weiteren σX
lichkeit an, mit der ein Student zwischen 65 und 85 Punkte erhält.
(b3) Verwenden Sie die Tschebyscheff-Ungleichung um eine Anzahl von Klausurteilnehmern zu
bestimmen so, dass mit Mindestwahrscheinlichkeit 0.9 der Klausurschnitt im Bereich von 70
bis 80 Punkten liegt.
Aufgabe 8: Zentraler Grenzwertsatz am Beispiel der Poisson-Verteilung
Seien X1 , . . . , X20 unabhängige Poisson-verteilte Zufallsvariablen mit Mittelwert λi = 1.
P
(a) Zeigen Sie, dass i Xi (für beliebige λi ) ebenfalls Poisson-verteilt ist.
(b)P
Bestimmen Sie mittels der Ungleichung (2) eine obere Schranke an die Wahrscheinlichkeit
P ( 20
i=1 Xi > 15).
P
(c) Verwenden Sie den zentralen Grenzwertsatz um einen Näherungswert für P ( 20
i=1 Xi > 15)
zu erhalten. Vergleichen Sie nach Möglichkeit mit dem exakten Wert.
Aufgabe 9: Zentraler Grenzwertsatz in der Mensa
In der Mensa kosten 100g Salat 1A
C. An der Kasse wird der Salat gewogen und der Preis zwecks
einfacherer Bezahlbarkeit auf ein Vielfaches von 50 Cent auf- bzw. abgerundet. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, dass man nach 192maligem Essen durch das Runden insgesamt mehr
als 3A
C zu viel bezahlt hat? Verwenden Sie den zentralen Grenzwertsatz.
x
0.00
0.04
0.08
0.12
0.16
0.20
0.24
0.28
0.32
0.36
0.40
0.44
0.48
x
P (X < x) x
P (X < x)
0.500000
0.691462
0.841344
1.50 0.933192
2.00 0.977249
0.515953
0.705401
0.850830
1.54 0.938219
2.04 0.979324
0.531881
0.719042
0.859928
1.58 0.942946
2.08 0.981237
0.547758
0.732371
0.868643
1.62 0.947383
2.12 0.982996
0.563559
0.745373
0.876975
1.66 0.951542
2.16 0.984613
0.579259
0.758036
0.884930
1.70 0.955434
2.20 0.986096
0.594834
0.770350
0.892512
1.74 0.959070
2.24 0.987454
0.610261
0.782304
0.899727
1.78 0.962462
2.28 0.988696
0.625515
0.793891
0.906582
1.82 0.965620
2.32 0.989829
0.640576
0.805105
0.913085
1.86 0.968557
2.36 0.990862
0.655421
0.815939
0.919243
1.90 0.971283
2.40 0.991802
0.670031
0.826391
0.925066
1.94 0.973810
2.44 0.992656
0.684386
0.836456
0.930563
1.98 0.976148
2.48 0.993430
√
Rx
2
Tabelle 1: Verteilungsfunktion P (X < x) = −∞ e−x /2 / 2π der Standardnormalverteilung.
P (X < x)
x
0.50
0.54
0.58
0.62
0.66
0.70
0.74
0.78
0.82
0.86
0.90
0.94
0.98
P (X < x)
x
1.00
1.04
1.08
1.12
1.16
1.20
1.24
1.28
1.32
1.36
1.40
1.44
1.48
P (X < x)
Aufgabe 10: Kohärentes und thermisches Licht
(a) Ein Laser emittiert kohärentes Licht und damit in einem infinitesimalen Zeitintervall t/N
(N → ∞) mit Wahrscheinlichkeit w/N ein Photon und mit Wahrscheinlichkeit 1 − w/N kein
Photon. Hierbei ist w proportional zur Strahlungsintensität. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Zeitraum t genau n Photonen emittiert werden? Berechnen Sie für den Limes
N → ∞ die Varianz h(n − hni)2 i der Photonenzahl n als Funktion ihres Mittelwerts hni.
(b) Elektromagnetische Strahlung innerhalb eines Hohlraums, der im thermodynamischen Gleichgewicht mit seiner Umgebung steht, heißt Hohlraumstrahlung (auch Wärmestrahlung oder
Schwarze Strahlung). Die Photonenzahlverteilung folgt der Bose-Einstein-Statistik, d.h.
e−β~ωn
Pω (n) = P∞
.
−β~ωn0
n0 =0 e
(4)
Schreiben Sie Pω (n) als Funktion des Mittelwert hni, d.h. eliminieren Sie β~ω. Wie groß ist die
Varianz h(n − hni)2 i?
(c) Die Photonenzahlvarianz thermischen Lichts einer einzelnen Mode ω ist größer als die
kohärenten Lichts. Wir betrachten nun den typischen Fall, dass wir nicht eine einzelne Mode (monochromatisches thermisches Licht) beobachten, sondern ein Frequenzintervall, das M
Moden umfasst. Nehmen Sie an, dass die Frequenzen nah beieinander liegen so, dass hnω i
in guterPNäherung modenunabhängig ist. Wie groß ist die Varianz der Gesamtphotonenzahl
ntot := M
i=1 nωi als Funktion von hntot i und M ? Welcher Verteilung nähert sich die Verteilung
von ntot für große M an?