Teilchenphysik f ¨ur Fortgeschrittene

Universität Hamburg, Wintersemester 2005/06
Teilchenphysik für Fortgeschrittene
Übungsblatt 3
Abgabetermin: am 18. November in der Vorlesung
9 Spuren (3 Punkte)
Beweisen Sie die folgende Aussage:
Spur(γµ (γρ pρ − m)γν (γσ pσ − m)) = 4 [p1µ p3ν + p1ν p3µ − (p1 · p3 )gµν ] + 4m2 gµν .
10 Mandelstam-Variablen (3 Punkte)
Betrachten Sie eine Reaktion zwischen zwei Teilchen mit Viererimpulsen p 1 und p2 ; die
auslaufenden Teilchen sollen Impulse p3 und p4 tragen. Einmal soll die Reaktion im
Schwerpunktssystem betrachtet werden, einmal im Ruhesystem des Teilchens 2, das mit
dem Laborsystem zusammenfallen soll. Zeigen Sie unter der Annahme kleiner Massen,
dass folgende Gleichungen erfüllt sind (der mittlere Ausdruck gilt für das Schwerpunktssystem - Variablen mit Stern beziehen sich also auf das Schwerpunktssystem - , der
rechte für das Laborsystem):
s = (2E1∗ )2 = 2m2 E1 ,
t = 2s (cos θ ∗ − 1) = 2m2 (E3 − E1 ),
u = − 2s (cos θ ∗ + 1) = −2m2 E3 .
Zeigen Sie entweder im Schwerpunktssystem oder im Laborsystem dass gilt:
s + t + u = Σ4i=1 m2i
11 Differentieller Wirkungsquerschnitt (3 Punkte)
Leiten Sie aus dem Ausdruck für den im Raumwinkel differentiellen Wirkungsquerschnitt
für Zweikörperreaktionen,
dσ
1 1 pf
=
|M |2 ,
dΩ
64π 2 s pi
den in Q2 differentiellen Wirkungsquerschnitt her.
Anmerkung: −Q2 = q 2 = (p1 − p3 )2 . Warum benutzt man lieber Q2 als q 2 ?
12 Helizität und Chiralität (3 Punkte)
Für (nahezu) masselose Teilchen vereinfachen sich die Dirac-Spinoren. So werden z.B.
u1 (p) und u2 (p) zu (der Impuls sei parallel zur z-Achse)
 


1
0
√  0 
√  1 
,

E
u1 (p) = E 
u
(p)
=
2
 1 
 0 .
0
−1
Solche masselosen Zustände sind Eigenzustände der Chiralitätsoperatoren
PL =
1
I − γ5 ,
2
PR =
1
I + γ5 ,
2
mit deren Hilfe man die Chiralitätskomponenten eines Spinors u definiereren kann:
u = P L u + P R u = uL + uR .
Die Begriffe ‘rechtshändig’ und ’linkshändig’ gelten für diese Chiralitätskomponenten nicht für die Helizitätszustände!
a) Sind uL bzw. uR Lösungen der freien Dirac-Gleichung? Warum oder warum nicht
(Rechnung)?
b) Wie ist für masselose Teilchen der Zusammenhang zwischen Helizität und Chiralität? Wie hängen die Operatoren zusammen?
c) Neutrinos treten nur linkshändig auf; ihr Strom wird also uγµ uL . Mit Einsetzen
uL = PL u sieht man, dass der Strom zwei Anteile entwickelt. Diskutieren Sie das
Verhalten der beiden Anteile unter Raumspiegelung. Was bedeutet das für die Wechselwirkung der Neutrinos? (Der Operator der Raumspiegelung ist die Matrix γ 0 ; er
wirkt auf die Dirac-Spinoren).