MATHEMATISCHE METHODEN DER QUANTENFELDTHEORIE

MATHEMATISCHE METHODEN
DER QUANTENFELDTHEORIE
G.Roepstor
Institut fur Theoretische Physik
RWTH Aachen
Inhaltsverzeichnis
1 Methoden fur Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Was sind und warum studiert man unbeschrankte Operatoren?
Abschliebare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Graph eines Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren . . . . . . . .
Hilbert-Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Theorie der Vertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . . . .
6
6
11
15
17
23
25
2 Methoden fur Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden 31
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
Die Fock-Cook-Darstellung . . . . . . . . . . .
Das neutrale Skalarfeld . . . . . . . . . . . . .
Tensoralgebra und symmetrische Algebra . . .
Die auere Algebra . . . . . . . . . . . . . . .
Weyl-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der moderne Begri des Zustandes . . . . . .
Die Bose-Einstein-Kondensation . . . . . . . .
Higgs-Teilchen und das Higgs-Kondensat . . .
Infrarotdarstellungen . . . . . . . . . . . . . .
Die Gel'fand-Neumark-Segal-Konstruktion . .
Thermo-Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . .
Wigner-Funktionale . . . . . . . . . . . . . . .
Weitere Eigenschaften des Fock-Weyl-Systems
3 Grundlagen der Eichtheorien
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . .
Dierentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pull-back von Dierentialformen . . . . . . . . .
Die Lie-Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dierentialformen mit Werten in einem
Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten . . . . . .
Der Levi-Civita-Zusammenhang . . . . . . . . .
Lie-Gruppen als Mannigfaltigkeiten . . . . . . .
Zusammenhange auf allgemeinen Vektorbundeln
Hauptfaserbundel . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenhange auf einem Hauptfaserbundel .
Das horizontale und das vertikale Bundel . . . .
Das Hauptfaserbundel lokal gesehen . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
34
36
39
41
43
45
50
51
56
59
60
64
67
67
70
72
74
76
77
80
83
85
87
92
93
95
3.14 Die U bertragung des Zusammenhanges auf assozierte Vektorbundel: Die kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 Wirkungsfunktionale fur Eichtheorien
4.1 Metrische Zusammenhange auf hermiteschen
Vektorbundeln . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Wirkungsfunktionale . . . . . . . . . . . . .
4.3 Beipiele fur Eichtheorien . . . . . . . . . . .
4.4 Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . .
3
100
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 100
. 104
. 106
. 109
Einleitung
Die mathematischen Methoden, die in der Feldtheorie { klassisch oder quantentheoretisch { Anwendungen nden, sind vielfaltig:
Eigenschaften von Operatoren auf einem Hilbertraum und Spektraltheorie.
Darstellungen der kanonischen Vertauschungsrelationen von unendlich
vielen Freiheitsgraden auf der Basis der Weyl-Relationen.
Dierentialgeometrie der Faserbundel als Grundlage der Eichtheorien.
Borchers-Algebra und Wightman-Funktionale, falschlich als \axiomatische Feldtheorie" bezeichnet.
Theorie der Distributionen oder \verallgemeinerter Funktionen".
Euklidische und konstruktive Feldtheorie auf der Basis einer Matheorie uber einem Raum von Distributionen. Existenzbeweise fur nichttriviale Feldtheorien. Osterwalder-Schrader-Axiome.
Algebren von lokalen Observablen, entweder als C -Algebren oder als
von-Neumann-Algebren. Theorie der Sektoren als Interpretation von
Superauswahlregeln.
Alles in einer Vorlesung abzuarbeiten, ist unmoglich. Der erste Versuch wurde von mir 1973 an der Universitat Hamburg in einem 2-semestrigen Kurs
mit zweifelhaftem Erfolg unternommen. Teile, die mir heute obsolet erscheinen, habe ich aus dem Skriptum entfernt. An der RWTH Aachen habe spater
ich im kleinen Kreis von Diplomanden und Doktoranden mehrfach dierentialgeometrische Themen behandelt, als klar wurde, da die Eichtheorien ein
solches Fundament benotigen. Aus der Wechselwirkung mit vielen begabten
jungen Leuten sind Notizen hervorgegangen, die ich nun zusammen mit alten
Notizen zu einem Ganzen vereinige, als Skriptum einer Vorlesung, die ich nie
gehalten habe, aber gern gehalten hatte.
Die \Vorlesung" gliedert sich in drei Teile. Der erste Teil benutzt die sehr
einfache Theorie der kanonischen Vertauschungsrelationen von endlich vielen
Freiheitsgraden, um in das sehr komplizierte Verhalten von unbeschrankten
Operatoren einzufuhren. Der zweite Teil zeigt, da es sehr viele inaquivalente Darstellungen der Weyl-Relationen gibt, sobald man unendlich viele
Freiheitsgrade behandeln mochte, wie es die Quantenfeldtheorie verlangt. Einige interessante und in Anwendungen wichtige Beispiele werden ausfuhrlich
4
diskutiert. Der dritte Teil schlielich fuhrt in die Terminologie der Dierentialgeometrie soweit ein, da die Grundlagen der Eichtheorien sichtbar werden.
Der Schwerpunkt liegt nicht im Bereich der Riemannschen Geometrie (obwohl wichtig fur die Allgemeine Relativitatstheorie), sondern in dem Studium
von Vektorbundeln, die assoziiert zu einem Hauptfaserbundel sind, und auf
dem Begri des Zusammenhanges sowie der kovarianten Ableitung. Zentrale
Bedeutung kommt dem Yang-Mills-Funktional zu. Zum tieferen Verstandnis
des dritten Teils empfehle ich die folgenden Bucher:
1. M. Schottenloher, Geometrie und Symmetrie in der Physik, Vieweg,
Wiesbaden 1995
2. A. Trautmann, Dierential Geometry For Physicists, Stony Brook Lectures, Monographs and Textbooks in Physical Science, Bibliopolis, Napoli (Italia) 1984
3. H. Holmann, H. Rummler,Alternierende Dierentialformen, B.I.-Wissenschaftsverlag
Mannheim 1972
4. J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer 1995
5. K.B. Marathe, G. Martucci, The Mathematical Foundations of Gauge
Theories, North-Holland 1992
5
1 Methoden fur Systeme mit endlich vielen
Freiheitsgraden
1.1 Was sind und warum studiert man unbeschrankte
Operatoren?
Wir wollen zunachst folgendes vereinbaren. Mit dem Wort Hilbertraum meinen wir stets einen komplexen Hilbertraum, der separabel ist, d.h. eine abzahlbare Basis besitzt. Das Skalarprodukt (f; g) ist linear in g und antilinear in
f . Unter einem Operator in dem Hilbertraum H verstehen wir eine lineare
Abbildung
A : D(A) ! H; D(A) H;
wobei D(A) der Denitionsbereich ist, fur den wir zwei Dinge voraussetzen:
1. D(A) ist eine lineare Mannigfaltigkeit,
2. D(A) liegt dicht in H.
Ein Operator A heit beschrankt, wenn eine Konstante C existiert, so da
uberall im Denitionsgebiet
kAf k C kf k
(1)
gilt. Die kleinste Konstante mit dieser Eigenschaft wird die Norm des Operators genannt und mit kAk bezeichnet. Man sieht sofort, da (1) der Aussage
kAf ? Agk C kf ? gk
(2)
aquivalent ist, und diese wiederum mit der Stetigkeitsaussage
(8 > 0)(9 > 0)(8f; g) kf ? gk < ) kAf ? Agk < (3)
Zum Beweis setze man = =C in der einen und C = 2= in der anderen
Richtung. Das Beweisverfahren lehrt:
Eine lineare Abbildung zwischen normierten Raumen ist genau
dann stetig, wenn sie beschrankt ist.
Beschrankte Operatoren mit einem dichten Denitionsbereich konnen immer
eindeutig zu einem stetigen Operator auf ganz H erweitert werden.
Die Notwendigkeit, unbeschrankte (also in jedem Punkt unstetige) Operatoren in die Betrachtung einzubeziehen, tritts bereits in der Quantenmechanik auf, und verstarkt sich in der Quantenfeldtheorie. Nehmen wir etwa
die Vertauschungsrelation
[a; a ] = 1l
(4)
6
und versuchen wir, sie als eine Identitat fur beschrankte Operatoren zu deuten. Dann nden wir durch Induktion fur jedes naturliche n
[an; a ] = nan?1
(5)
und damit
nkan?1 k 2ka k kank 2kak kak kan?1k :
(6)
Wahlen wir nun N > 2ka k kak, so folgt kaN ?1 k = 0. Ebenso folgt aus (6)
fur n = N ? 1
(N ? 1)kaN ?2k 2kak kaN ?1k ;
(7)
also kaN ?2k = 2 falls N 2, und durch Induktion schlielich kak = 0, d.h.
a = 0 im Widerspruch zu den Vertauschungsrelationen. A hnlich beweist man
a = 0. Fazit: Unsere Annahme, a und a seien beschrankte Operatoren, ist
falsch.
Wir haben hier die Wurzel eines U bels zu fassen, das den kanonischen
Vertauschungsrelationen
(8)
[a (x); b(x0 )]t=t0 = iba 3(x ? x0)
fur Bose-Felder anhaftet. Selbst nach Integration mit geeigneten Testfunktionen f sind die Operatoren
(f; t) =
(f; t) =
Z
Z
d3x fa (x)a(x; t)
d3x f a(x)a (x; t)
noch unbeschrankt.
Die zweite Schwierigkeit folgt auf dem Fue. Operatoren wie a und a
konnen nicht auf dem ganzen Hilbertraum (stetig) deniert werden:
Wenn zwei Operatoren A und B uberall auf H setig deniert sind
und (Ag; f ) = (g; Af ) fur alle f; g 2 H gilt, so sind A und B
beschrankt.
Wenn wir diesen Satz besser verstehen wollen, mussen wir ihn zu beweisen
suchen. Die Aussage kAgk C kgk, die wir herleiten wollen, konnen wir in
die Form
kAek C; g = kgke
bringen, d.h. A ist beschrankt genau dann, wenn das Bild der Einheitskugel
in H, also die Menge
M = fAe j e 2 H; kek = 1g
7
beschrankt ist. Aus
j(Ag; f )j = j(g; Bf )j kgkkBf k
(9)
folgt, da M schwach beschrankt ist. Die Denition hierfur lautet:
(8f 2 H)(9C > 0)(8h 2 M )
j(h; f )j < C :
(10)
Die Reihenfolge (8f 2 H)(9C > 0) sagt, da die Konstante C von f abhangt.
In unserem Beispiel erfullt M die Bedingung (10) mit C = kBf k. Man sagt,
M sei beschrankt, wenn die starkere Bedingung
(9C > 0)(8h 2 M )
khk < C
(11)
erfullt ist. Obwohl in unserem Beispiel die Menge M schwach beschrankt ist,
haben wir noch keinen Beweis dafur geliefert, da sie auch beschrankt ist.
Es gehort zu den bemerkenswerten Eigenschaften eines Hilbertraumes,
da die beiden Beschranktheitsbegrie in einen zusammenfallen. Der Grund
liegt in einem sehr tiefen und fundamentalen Satz der Funktionalanalysis,
dem Satz von Banach oder dem Prinzip von der gleichmaigen Beschranktheit:
Eine Menge M von stetigen Abbildungen T : F ! G zwischen
normierten Raumen sei in jedem Punkt beschrankt,
(8f 2 F )(9C > 0)(8T 2 M )
kTf k C :
Ist F vollstandig (jede Cauchy-Folge konvergent), so ist M gleichmaig beschrankt,
(9C > 0)(8T 2 M )
kT k C :
Der Satz von Banach macht deutlich, wie stark die Voraussetzung sein kann,
da ein Raum vollstandig ist. Zum Beweis des Satzes sei auf die Literatur
verwiesen. Um den Satz auf unseren Fall anzuwenden, setzen wir F = H
und G = C und denieren spezielle Abbildungen Th : H ! C , Thf = (h; f ).
Insbesondere lernen wir auf diese Weise:
Jede schwach beschrankte Teilmenge eines Hilbertraumes ist beschrankt.
Wir kehren zuruck zu der Vertauschungsrelation (4) mit dem Wissen, da
a und a nicht auf dem ganzen Hilbertraum deniert werden konnen. Zwei
Fragen drangen sich auf:
8
1. Welchen Sinn hat die Relation (4), wenn die drei Operatoren, aa , a a
und 1l verschiedene Denitionsbereiche haben?
2. Welchen Sinn hat die Aussage, a sei der adjungierte Operator zu a ?
Um die erste Frage zu beantworten, mussen wir erst Regeln aufstellen fur
die Addition und Multiplikation von Operatoren mit verschiedenen Denitionsbereichen. Seien also A und B mit Denitionsbereichen D(A) und D(B ).
Wir vereinbaren:
D(cA) = cD(A) und (cA)f = c(Af ) fur alle f 2 D(A) und c 6= 0.
cA = 0 falls c = 0.
D(A + B ) = D(A) \ D(B ) und (A + B )f = Af + Bf fur
f 2 D(A) \ D(B ).
D(1l) = H.
Gilt D(A) D(B ) und Af = Bf fur alle f 2 D(A), dann schreiben wir
A B . Man sagt, B sei eine Erweiterung von A.
Aus den genannten Regeln folgen sofort einige Aussagen:
(1) (A + B ) + C = A + (B + C ) und (AB )C = A(BC ).
(1) (A + B )C = AC + BC aber A(B + C ) AB + AC .
Warnung: Aus A + B = A + C kann nicht auf B = C geschlossen werden!
Wir haben nun noch den adjungierten Operator zu denieren. Was konnte
der Denitionsbereich von D(A ) sein? Fur welche g 2 H hat
(8f 2 D(A))
(g; Af ) = (h; f )
(12)
eine eindeutige Losung h. Die Menge dieser Vektoren g identizieren wir mit
D(A ).
Existenz: Der Satz von Riesz sagt, da ein h 2 H mit der Eigenschaft (12)
genau dann existiert, wenn das Funktional
Fg : D(A) ! C ;
beschrankt ist, d.h.
Fg (f ) = (g; Af )
jFg (f ) C kf k
(13)
gilt.
Eindeutigkeit: Der Vektor h ist eindeutig genau dann, wenn aus (h; f ) = 0
fur alle f 2 D(A) die Aussage h = 0 folgt. An dieser Stelle erkennen wir, da
die Annahme wichtig wird, D(A) sei dicht in H. Wir unterscheiden folgende
9
Falle:
1. Fall. D(A) dicht in H und A beschrankt. Hier kann die Bedingung (13)
fur alle g 2 H erfullt werden. Man hat nur C = kAk kgk zu setzen. Folglich
gilt D(A) = H.
2. Fall. D(A) dicht in H, aber A unbeschrankt. Hier kann die Bedingung (13)
nur fur geeignete g (z.B. fur g = 0) erfullt werden: D(A) ist nichtleer.
In den beiden genannten Fallen ist der adjungierte Operator A auf D(A)
durch die lineare Abbildung g 7! h deniert.
Wir wollen uns die abstrakte Konstruktion an einem Beispiel klarmachen.
Wir wahlen hierzu den Raum L2 (R ) der quadratintegrablen Funktionen f (x)
und setzen
(Af )(x) = f (0)e?x2 ;
D(A) = L2 (R ) \ C (R)
(14)
Der Operator A ist linear, unbeschrankt und dicht deniert. Um D(A) zu
nden, fragen wir: Fur welche Funktionen g 2 L2 (R ) hat
(8f 2 D(A))
(g; Af ) = f (0)
Z
dx g(x)e?x2
=
Z
dx h(x)f (x)
R
(15)
eine eindeutige Losung in h ? Zur Abkurzung setzen wir I = dx g(x)e?x2
und unterscheiden:
1. Fall I 6= 0. Dann folgt jf (0)j C kf k mit C = jI j?1khk and alle f 2 D(A),
was unmoglich ist.
2. Fall I = 0. Dann folgt h = 0 eindeutig.
Wir sehen also, D(A) besteht aus allen g 2 L2 (R ), die orthogonal zu e?x2
sind. Der Operator A bildet D(A) auf den Nullvektor ab. Da D(A) nicht
dicht in L2(R ) ist, existiert der Operator A nicht. Hier zeigt sich, da recht
harmlose Operatoren pathologische Zuge haben konnen.
Gleichfalls auf dem Raum L2(R ) betrachten wir den Operator
Z
1
(Af )(x) = p
dx eipxf (x)
(16)
2
mit D(A) = L2 (R ) \ L1 (R ). Die L1 -Eigenschaft ist erforderlich, damit das
Integral (16) { im Sinne von Lebesgue { wohldeniert ist. Aufgrund der
Parsevalschen Gleichung
Z
dp j
Z
j = dx jf (x)j2
ist A ein beschrankter Operator mit kAk = 1 und somit gilt
(Af )(p) 2
D(A) = D(A) = L2(R ) :
10
Der Operator F = A , der Abschlu von A, wird Fourier-Operator genannt.
Er ist unitar: F = F ?1.
1.2 Abschliebare Operatoren
Es gibt eine Eigenschaft von Operatoren, die einen dafur entschadigen kann,
da man auf die Stetigkeit verzichtet hat: Ein Operator mu abschliebar
sein. Beispiele zeigen, da nichtabschliebare Operatoren extrem unstetig
sind. Wir haben von Beginn an verlangt, da D(A) dicht in H ist. Nun verlangen wir noch, da auch D(A) dicht in H ist. In diesem Fall existiert
A und stellt eine Erweiterung von A dar. Nun hat A die bemerkenswerte
Eigenschaft, abgeschlossen zu sein. Hierfur kann man zwei Denitionen angeben, eine \geometrische" und eine \topologische". Zuvor stellen wir einige
leicht zu beweisende Tatsachen zusammen:
Aus A B folgt B A .
Ist A abschliebar, so gilt A A .
Ist A invertierbar und D(A?1) dicht in H, so gilt (A?1) = (A)?1.
Ist B beschrankt, so gilt (A + B ) = A + B und (BA) = A B .
Warnung: Nicht immer gilt (AB ) = B A, wenn B beschrankt ist. Wichtig:
Existiert A , so auch A und stimmt mit A uberein. Damit
stellt A 7! A eine Abschluoperation dar.
Denn A ist dicht deniert. Also existiert A . Aus A A folgt (A ) A . Andererseits gilt A (A ).
Fur den Abschlu von A (falls er existiert) schreibt man auch A? = A .
Es gilt A?? = A? und: Aus A B folgt B ? A?. Gilt A = A?, so heit der
Operator A abgeschlossen. Gilt A B fur einen abgeschlossenen Operator
B , so heit B eine abgeschlossene Erweiterung von A.
Unsere Resultate lassen sich auch so interpretieren, da A stets abgeschlossen ist. Ferner, da A?, falls existent, stets eine abgeschlossene Erweiterung von A darstellt. Die Frage, wie A? sich zu anderen denkbaren
Erweiterungen verhalt, kann beantwortet werden:
Falls A eine abgeschlossene Erweiterung besitzt, so existiert auch
der Abschlu A? und stellt die kleinste abgeschlossene Erweiterung dar.
11
Zum Beweis nehme man an, B sei eine abgeschlossene Erweiterung von A.
Aus B = B folgt, da B dicht deniert ist. Aus A B folgt D(B ) D(A ). Folglich ist auch A dicht deniert und A existiert. Ebenso folgt
A? B ? = B und somit ist A? in jeder abgeschlossenen Erweiterung von
A enthalten. q.e.d.
Warnung: Zwar gilt (cA) = cA fur c 2 C , aber die Relationen (A+B ) =
A + B , (A + B )? = A? + B ? und (AB ) = B A sind i.allg. falsch. Ein
gunstiger Fall tritt dann ein, wenn A + B und (A + B ) dicht deniert sind:
Ist D(A) \ D(B ) dicht in H, so gilt (A + B ) A + B . Ist auch
D(A) \ D(B ) dicht in H, so gilt
A + B (A + B )? (A + B )
A + B A? + B ? (A + B )
Beweis. Sei g 2 D(A ) \ D(B ). Dies bedeutet, da
j(g; Af )j C1 kf k; j(g; Bf )j C2kf k
fur alle f 2 D(A) \ D(B ) gilt. Damit folgt
j(g; (A + B )f )j (C1 + C2)kf k
und g liegt somit in D((A + B )), weil D(A) \ D(B ) dicht in H ist. Wir haben
noch zu zeigen, da die Operatoren (A B ) und A + B auf D(A) \ D(B )
ubereinstimmen. Aus
(g; Af ) = (Ag; f )
(g; Bf ) = (B g; f )
(g; Af ) + (g; Bf ) = ((A + B ) g; f )
folgt
([(A + B ) ? A ? B ]g; f ) = 0 f 2 D(A) \ D(B ); g 2 D(A ) \ D(B )
Da D(A) \ D(B ) dicht in H ist, gilt (A + B )g = A g + B g. Aus unseren
Annahmen folgt auch die Existenz der Operatoren A?, B ? und (A + B ).
Da (A + B ) A + B , ist auch (A + B ) dicht deniert und (A + B )?
existiert. Der Rest ist einfach. q.e.d.
Wir setzen nun die Diskussion des Vertauschungsrelationen [a; a] = 1l
fort, indem wir eine konkrete Darstellung des Operators a angeben:
p
(17)
(af )(n) = n + 1f (n + 1)
P1
2
2
(18)
D(a) = ff 2 ` j n=1 njf (n)j < 1g
Unter dem Raum `2 versteht man alle quadratsummierbaren Folgen f (0),
f (1), f (2); : : : von komplexen Zahlen. Wir behaupten:
12
1. Zwar ist der Operator a unbeschrankt, aber durch unseren Ansatz bereits dicht deniert. Der adjungierte Operator a ist dicht deniert und
es gilt D(a) = D(a). Konkret:
0
n=0
(a f )(n) = p
(19)
nf (n ? 1) n 1
und
kak2 = kaf k2 + kf k2 f 2 D(A):
(20)
2. Der Operator a ist abgeschlossen.
3. Die Operatoren a a und aa sind dicht deniert. Es gilt
P
2
2
D(aa) = D(aa) = ff 2 `2 j 1
n=1 n jf (n)j < 1g
und (aaf )(n) = nf (n). Eine korrekte Form der Vertauschungsrelation
(unter Berucksichtigung der Denitionsbereiche) lautet:
aa = a a + 1l :
4. Jede komplexe Zahl ist Eigenwert von a. Hingegen besitzt der Operator
a keinen Eigenwert.
Zu 1. Wir bestimmen D(a ), indem wir die Frage beantworten: Fur welche
g 2 `2 gilt
(9C 0)(8f 2 D(a)) j(g; af )j C kf k ?
Nun ist D(a) dicht in `2 und
(g; af ) =
1
X
n=0
g(n)(af )(n) =
1
X
n=0
p
g(n) n + 1f (n + 1) =
1
X
n=1
pn g(n)f (n)
so da wegen der Cauchy-Ungleichung zu fordern ist:
1
X
n=1
njg(n ? j =
1) 2
1
X
n=0
j
j =
(n + 1) g(n) 2
1
X
n=1
njg(n)j2 + kgk2 < 1 :
Zu 2. Wir bestimmen D(a ) indem wir fragen: Fur welche g 2 `2 gilt
(9C 0)(8f 2 D(a)) j(g; af )j C kf k ?
Nun gilt
1
1
1 p
X
X
X
p
n + 1 g(n + 1)f (n)
(g; a f ) = g(n)(a f )(n) = g(n) nf (n?1) =
n=0
n=1
n=0
13
und wir haben zu fordern:
1
X
n=0
(n + 1)jg(n + 1)j2 =
1
X
n=1
njg(n)j2 :
Damit gilt D(a) = D(a) und a keine echte Erweiterung von a, d.h. a =
a : a ist abgeschlossen.
Zu 3. Wegen D(a) = D(a ) gilt
D(aa) = D(aa ) = ff 2 D(a) j af 2 D(a)g
Damit f in D(aa) liegt, mussen also zwei Bedingungen erfullt sein:
1:
2:
1
X
n=1
1
X
n=1
njf (n)j2 < 1
j
j =
n (af )(n) 2
1
X
n=1
n(n + 1)jf (n + 1)j2 < 1 :
P
2
2
Sie lassen sich zu einer Bedingung zusammenfassen: 1
n=1 n jf (n)j < 1.
Fur alle f 2 D(aa) gilt denitionsgema a af = a (af ) und aa f = a(a f )
und somit
0
n=0
(a af )(n) = p
n (af )(n ? 1) = nf (n) n 1
p
(aa f )(n) = n + 1 (a f )(n + 1) = (n + 1)f (n)
p
Zu 4. Sei z 2 C . Der Vektor fz 2 `2 mit den Komponenten fz (n) = zn = n!
hat das Normquadrat
kfz k =
2
Wegen
1
X
n=1
njfz
n=0
jzj2n = ejzj :
n!
1
X
2
2n
j
z
j
j = (n ? 1)! = jzj2ejzj
n=0
(n) 2
liegt fz sogar in D(a). Wegen
1
X
2
n
n+1
p
p
= z zn! = zfz (n)
(afz )(n) = n + 1 fz (n + 1) = n + 1 p z
(n + 1)!
ist fz ein Eigenvektor des Operators a zum Eigenwert z. Schlielich zeigen
wir, da der adjungierte Operator a keine Eigenwerte besitzt. Fur jedes
14
komplexe z und jeden Vektor f 2 D(a) gilt (unter Ausnutzung der Vertauschungsrelation ka f k2 = kaf k2 + kf k2)
kaf ? zf k2 = ka f k2 + jzj2kf k2 ? z(a f; f ) ? z(f; a f )
= kaf k2 + (1 + jzj2 )kf k2 ? z(f; af ) ? z(af; f )
= kaf ? zf k2 + kf k2 kf k2 :
Da oenbar die linke Seite nur fur f = 0 verschwindet, folgt, da kein komplexes z Eigenwert sein kann.
1.3 Der Graph eines Operators
Wir nehmen unsere allgemeine Erorterung der Eigenschaften von abgeschlossenen bzw. abschliebaren Operatoren wieder auf. Ein sehr nutzliches Hilfsmittel ist der Graph ?(A) eines Operators A. Hierbei handelt es sich um
einen linearen Teilraum des Hilbertraumes H H. Er besteht aus allen Paaren der Form ff; Af g mit f 2 D(a). Obwohl ein Teilraum, ist ?(A) i.allg.
nicht abgeschlossen in H H.
In der Sprache der Graphen hat der adjungierte Operator A eine sehr
einfache Charaktesierung. Die Gleichung
(g; Af ) ? (A g; f ) = 0
lat sich namlich als eine Orthogonalitatsrelation in H H lesen:
f?A g; gg ? ff; Af g :
Umgekehrt: Gilt fur irgendein Element f?h; gg 2 H H die Aussage
f?h; gg ? ff; Af g ;
also die Relation (g; Af ) = (h; f ), so gehort g zum Denitionsbereich von
A und es gilt h = A g. Man kann daher die Denition des adjungierten
Operators (vermoge seines Graphen) auch in der folgenden Form angeben:
?(A) = (U ?(A))? = U ?(A)? :
Hier bezeichnet U den durch U ff; gg = f?g; f g denierten unitaren Operator auf H H. Dies zeigt, da ?(A) stets abgeschlossen ist.
Die Abgeschlossenheit eines Graphen hat eine bemerkenswerte Konsequenz: Die Konvergenz (fur n ! 1)
ffn; Afng ! ff; gg
15
fn 2 D(A)
hat automatisch ff; gg 2 ?(A) und g = Af zur Folge. Wir zeigen nun, da
der Begri Abgeschlossenheit eines Graphen mit dem Begri Abgeschlossenheit eines Operators ubereinstimmt und behaupten, da die folgenden drei
Aussagen gleichwertig sind:
1. A existiert und es gilt A = A .
2. Der Graph ?(A) ist abgeschlossen in H H.
3. D(A) ist ein Hilbertraum in bezug auf das Skalarprodukt
(f; g)1 = (f; g) + (Af; Ag) ;
(21)
ist also insbesondere vollstandig in der neuen Topologie.
Der Beweis benotigt drei Schritte:
1.! 2. ?(A) = ?(A ) = (U ?(A ))?
2.! 1. Wir mussen zunachst zeigen, da D(A) dicht ist. Sei f ? D(A).
Dann gilt ff; 0g ? ?(A ) oder
ff; 0g 2 ?(A)? = U ?(A)?? = U ?(A)
wobei die letzte Gleichung gilt, weil ?(A) abgeschlossen ist. Also gilt f0; ?f g 2
?(A), was nur fur f = 0 erfullbar ist. Also eistiert A und
?(A) = (U ?(A ))? = ?(A)?? = ?(A)
2.! 3. Die lineare Abbildung
D(A) ! ?(A); f 7! ff; Af g
ist 1:1. Unter dem Skalarprodukt (20) ist D(A) ist genau dann ein Hilbertraum, wenn ?(A) ein solcher ist.
Der Graph eines Operators hat eine weitere bemerkenswerte Eigenschaft:
Er enthalt keine Elemente der Form f0; gg mit g 6= 0. Es ist genau diese
Eigenschaft, die bei der Abschlieung eines Operators gewahrt werden mu:
Ein Operator A ist abschliebar genau dann, wenn ?(A)? (der
Abschlu des Graphen also) die folgende Eigenschaft hat: Aus
f0; gg 2 ?(A)? folgt g = 0. Es gilt dann ?(A?) = ?(A)?.
Hier benutzten wir die Bezeichnungen
?(A)? = ???;
16
A? = A :
Zum Beweis wollen wir annehmen, aus f0; gg 2 ?(A)? folge g = 0. Wir
schlieen, da D(A) dicht ist. Aus ?(A ) = U ?(A)? folgt ?(A)? = U ?(A )
und somit ?(A)? = (U ?(A ))?. Nehmen wir nun an, es existiere g 2 H mit
(g; f ) = 0 fur alle f 2 D(A), also
f0; gg ? f?A f; f g
oder anders geschrieben, f0; gg 2 (U ?(A ))? = ?(A)?, also g = 0 und D(A)
ist dicht in H. In der umgekehrten Richtung wollen wir annehmen, da D(A)
dicht sei. Dann existiert A? und es gilt
?(A?) = ?(A ) = (U ?(A ))? = ?(A)?? = ?(A)? :
Dies zeigt, da ?(A)? der Graph eines Operators, namlich von A? ist. Von
einem Graphen wissen wir, da f0; gg nur dazugehoren kann, wenn g = 0 ist.
1.4 Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren
Nicht alle Operatoren sund abschliebar. Von symmetrischen Operatoren
wei man aber mit Sicherheit, da sie abschliebar sind.
Denition: Ein Operator A heit symmetrisch, wenn (g; Af ) = (Ag; f ) fur
alle f; g 2 D(A) gilt, gleichbedeutend mit A A. Gilt daruberhinaus A =
A , so heit A selbstadjungiert.
Die Denition zeigt, da A dicht deniert ist, wenn A symmetrisch ist.
Also ist A abschliebar und es gilt A A. Dies zeigt, da A i.allg.
nicht mehr symmetrisch ist, und es ist genau diese Pathologie, die man in
Anwendungen verhindern mu. Allgemein lassen sich folgende Situationen
unterscheiden:
A ist symmetrisch
A A A
A ist wesentlich selbstadjungiert
AA =A
A ist abgeschlossen symmetrisch
A = A A
A ist selbstadjungiert
A = A = A
Ein Operator heit maximal symmetrisch, wenn er keine echte symmetrische
Erweiterung zulat.
Ein Hamilton-Operator H , wie er in der Feldtheorie auftritt, ist zunachst
nur als ein symmetrischer Operator erklart, sobald wir eine Wechselwirkung
H1 betrachten: H = H0 + H1. Das ist selbst dann dann der Fall, wenn wir
schon wissen, da H0 und H1 fur sich genommen selbstadjungierte Operatoren sind. Das Grundproblem lautet: Welche selbstadjungierte Erweiterungen
besitzt die Summe H0 + H1? Das Problem, solche Erweiterungen zu nden,
ist keinerwegs einfach, noch immer losbar.
17
Sei nun B irgendeine selbstadjungierte Erweiterung das symmetrischen
Operators A. Dann gilt:
A A A
\
\
[
B = B = B Wir erkennen hieran zweierlei:
1. Jede selbstadjungierte Erweiterung liegt zwischen A und A :
A B A :
2. Ist A wesentlich selbstadjungiert, so ist A die einzige selbstadjungierte
Erweiterung.
Aufgrund der 2. Aussage ist es wunschenswert, den Denitionsbereich eines
Hamilton-Operators H wenigstens so gro zu machen, da H darauf selbstadjungiert ist; denn nur in diesem Fall ist das durch H formulierte dynamische
Problem als gelost zu betrachten. Insbesondere gilt dann der Spektralsatz.
Zu seiner Vorbereitung benotigen wir neue Begrie.
Denition: Unter der Resolventenmenge r(A) eines abgeschlossenen Operators A verstehen wir die Gesamtheit der komplexen Zahlen z, fur die
(A ? z1l)?1 als ein beschrankter Operator existiert. Das Komplement s(A) =
C nr (A) wird das Spektrum von A genannt.
Es ist leicht zu sehen, da r(A) eine oene Menge in C ist, d.h. mit
jeder Zahl z gehort auch eine ganze Umgebung zu r(A). Als Komplement
einer oenen Menge ist s(A) eine abgeschlossene Menge in C . Wahrend das
Spektrum eines symmetrischen Operators nicht notwendig reell ist, gilt fur
selbstadjungierte Operatoren der folgende Spektralsatz:
Das Spektrum s(A) eines selbstadjungierten Operators A ist reell.
Es gibt genau ein projektionswertiges Ma E (B ) auf den BorelMengen B R mit Trager s(A), so da
R
R
D(A) = ff 2 H j p2 (f; E (dp)f ) < 1g ;
R
Af = pE (dp)f fur alle f 2 D(A) und 1l = E (dp) gilt.
Fur eine prazise Denition der Begrie Borel-Menge und Ma verweisen
wir auf die Literatur (z.B. Halmos: Measure Theory). Fur einen Beweis des
Spektralsatzes siehe Dunford-Schwartz, Chapter XII.
18
Man nennt E (B ) das Spektralma von A und wegen der Eigenschaft 1l =
E (dp) auch eine Zerlegung der Einheit (vergleiche hierzu die entsprechende
Eigenschaft eines Wahrscheinlichkeitsmaes). Durch
R
U (t)f =
Z
(f 2 H; t 2 R )
eiptE (dp);
ist ein uberall denierter unitarer Operator gegeben. Wir schreiben auch
U (t) = eiAt , betonen aber, da U (t) nicht durch die Entwicklung der Exponentialfunktion ist. Grund: Die Glieder der Reihe existieren nur auf den
Vektoren
1
\
1
f 2 C (A) = D(An) :
n=0
Fur t 7! U (t) gilt
die Gruppeneigenschaft U (t)U (s) = U (t + s),
die Stetigkeit im Sinne der starken Operatortopologie.
Diese Eigenschaften charakterisieren die zeitliche Evolution jedes quantenmechanischen Systems. Konkrete dynamische Theorien werden jedoch immer
\innitesimal" deniert, d.h. durch eine Dierentialgleichung der Art
i dtd f (t) = Hf (t) ;
wobei der Zusammenhang durch f (t) = e?itH f hergestellt wird. Hat jede
einparametrige unitare Gruppe ein erzeugendes Element H ? Hierauf gibt der
Satz von Stone und v. Neumann eine Antwort:
Ist U (t) eine stark stetige unitare Gruppe auf einem Hilbertraum,
so gibt es genau einen selbstadjungierten Operator H , so da
U (t) = e?itH . Der Denitionsbereich dieses Operators ist
D(H ) = ff 2 H j U (t)f dierentierbar in tg
Auch hier verweisen wir auf die Literatur. Unsere Problemstellung macht es
wunschenswert, Kriterien dafur zu kennen, wann ein vorgelegter symmetrischer Operator selbstadjungiert oder doch wenigstens wesentlich selbstadjungiert ist. Wir geben verschiedene Antworten:
1. Ist A ein abgeschlossener Operator (A = A? ), so sind AA und AA
selbstadjungiert.
19
2. Ist A abgeschlossen (abschliebar), B ein weiterer Operator mit D(A) D(B ) und gilt
kBf k2 akf k2 + bkAf k2
fur b < 1 und alle f 2 D(A), so ist A + B abgeschlossen (abschliebar).
3. Ist A selbstadjungiert und r; s 2 R , so ist auch rA + s1l selbstadjungiert.
4. Ist A selbstadjungiert und B symmetrisch beschrankt mit D(B ) = H,
so ist A + B selbstadjungiert.
5. Ist A (wesentlich) selbstadjungiert, B symmetrisch mit D(A) D(B )
und gilt
kBf k2 akf k2 + bkAf k2
fur (b 1) b < 1 und alle f 2 D(A), so ist A + B (wesentlich) selbstadjungiert (Rellich, Kato).
6. Folgt fur alle f 2 D(A) aus dem Bestehen der Relationen
(g; Af + if ) = 0;
(h; Af ? if ) = 0
sowohl g = 0 als auch h = 0 fur einen symmetrischen Operator A, so
ist A wesentlich selbstadjungiert (v. Neumann).
7. Besitzt ein symmetrischer Operator eine dichte Menge von analytischen
Vektoren in seinem Denitionsbereich, so ist er wesentlich selbstadjungiert (Nelson).
Denition: Ein Vektor f 2 H heit analytisch in Bezug auf einen Operator
A, falls f 2 C 1(A) gilt (f liegt im Denitionsbereich aller Potenzen An) und
die Reihe
1 n
X
z kAnf kn (z 2 C )
n!
n=0
einen positiven Konvergenzradius in z hat.
Diese Begrisbildung und das Kriterium von Nelson bilden den Ausgangspunkt fur die analytische Storungstheorie, auf die wir nicht naher eingehen.
Wir illustrieren die Aussagen anhand sehr einfacher Beispiele. Sei a der
Operator auf dem Hilbertraum `2 mit dem fruher angebenen Denitionsbereich und der Vertauschungsrelation aa = aa + 1l. Alle Ausdrucke der
Form
a + a (; 2 C ; jj 6= j j)
20
sind abgeschlossene Operatoren. Die Aussage wird falsch fur jj = j j. Jedoch: Der symmetrische Operator A = a + a ist wesentlich selbstadjungiert; denn alle Vektoren f 2 `2 , deren Komponenten f (n) fur fast alle n
verschwinden, sind analytisch fur A, wie man sofort nachpruft.
Wir betrachten nun H0 = aa als \freien" Hamilton-Operator. Er ist wie
wir wissen selbstadjungiert auf seinem naturlichen Denitionsbereich. Frage:
Gilt dies auch fur Storungen der Form
H = aa + a + a ;
wenn 2 C beliebig ist? Die Antwort lautet: Ja. Denn fur jedes f 2 D(aa)
und > 0 gilt die Abschatzung
kaf k2 = (f; a af ) kfk kaaf k p
kaaf k
= 2 p1 kf k
2 41 kf k2 + kaaf k2
und somit
k(a + a)f k2 2jj2(ka f k2 + kaf k2)
= 2jj2(kf k2 + kaaf k2 )
jj2(2 + ?1)kf k2 + 4jj2 kaaf k2 :
Wenn wir jetzt so wahlen, so da 4jj2 < 1 gilt, so haben wir die Vor-
aussetzungen des 5. Kriteriums erfullt. Der Operator H ist selbstadjungiert,
obwohl das Storglied a + a fur sich genommen nur wesentlich selbstadjungiert ist. Die hier angewandte Beweistechnik ist im Grunde zu umstandlich.
Ein sehr viel einfacherer Beweis der Selbstadjungiertheit grundet auf der
Darstellung
H = (a + 1l)(a + 1l) ? jj21l
und bleibt den Horern (Lesern) uberlassen.
Das betrachtete Beispiel legt die folgende Denition nahe: Wir sagen, ein
Operator A wird durch den Operator B majorisiert, und schreiben A < B ,
wenn D(A) D(B ) gilt und
(8 > 0)(9 > 0)
kAf k2 ?1 kf k2 + kBf k2
fur alle f 2 D(B ) erfullt ist. Ein Hamilton-Operator der Form
H = H0 + H1
21
( 2 R )
ist somit selbstadjungiert, wenn H0 selbstadjungiert ist und den symmetrischen Operator H1 majorisiert. Leider kann man sich nicht darauf verlassen,
da konkrete Ansatze fur die Wechselwirkung diese Eigenschaft haben. Die
Erfahrung zeigt:
Eine kleine Kopplungskonstante bedeutet nicht immer eine \kleine" Storung.
Zur Illustration betrachten wir den symmetrischen Hamilton-Operator
H = a a + (a + a )3
in Abhangigkeit von . Wahrend (f; H0f ) 0 fur alle f 2 D(H0) gilt, gibt
es keine Konstante C , so da
(f; Hf ) ?C kf k2
fur irgendein 6= 0 und alle f 2 D(H) gilt: H ist nicht nach unten beschrankt. Zum Beweis dieser Behauptung nehmen wir an, fx sei der Eigenvektor von a zum reellen Eigenwert x. Man sieht leicht, da fx 2 D(H) fur
alle 2 R erfullt ist. Es folgt
(a + a )3fx = (a3 + a3 + a2a + aa a + a a2 + aa2 + a aa + a2 a)fx
= (a3 + a3 + 3aa2 + 3a2 a + 3a + 3a)fx
weil fx in dem Denitionsbereich eines jeden Polynoms von a und a liegt.
Nachdem wir die Wick-Ordnung erreicht haben, folgt
(fx; (a + a )3fx) = (x3 + x3 + 3x3 + 3x3 + 3x + 3x) kfxk2
= 2x(4x2 + 3) kfxk2
und somit
(fx; Hfx) = x(x + 2(4x2 + 3)) kfxk2
Da wir ?x durch Wahl von x bei festem 6= 0 beliebig gro machen konnen,
erkennen wir, da H keine untere Schranke besitzt. Die Erkenntnis hat unmittelbare Relevanz fur das sog. 3 -Modell der Feldtheorie.
Wenn A ein symmetrischer Operator ist, so ist jede selbstadjungierte Erweiterung von A eine Einschrankung von A. Ist daruber hinaus der Operator
A nach unten beschrankt, d.h.
(9C 0)(8f 2 D(A))
(f; Af ) ?C kf k2 ;
22
so kann man eine naturliche Einschrankung von A angeben, die symmetrisch
ist und die gleiche untere Grenze wie A besitzt. Man vervollstandigt zu diesem
Zweck D(A) in der Norm kf k1, wobei
kf k21 = (C + 1) kf k2 + (f; A; f )
gesetzt wurde. Die Vervollstandigung sei mit D(A)1 bezeichnet. Nun deniert
man
^ = A f;
Af
f 2 D(A^) = D(A) \ D(A)1 :
Wichtig: Der so denierte Operator A^ stellt eine selbstadjungierte Erweiterung von A dar (die sog. Friedrichssche Erweiterung). Wir mussen hier auf
einen Beweis verzichten.
Der Satz von Friedrichs macht klar, da formale Hamilton-Operatoren,
sofern sie nach unten beschrankt sind, immer eine selbstadjungierte Erweiterung besitzen. Es bleibt jedoch im Dunkel, wann diese Erweiterung die
einzige selbstadjungierte Erweiterung darstellt und ob, wenn mehrere Erweiterungen moglich sind, die durch das Verfahren von Friedrichs gewonnene
Erweiterung in jedem Fall den physikalisch relevanten Operator ergibt.
1.5 Hilbert-Tensorprodukte
Den linearen Raum C n konnen wir auch als einen n-dimensionalen Hilbertraum auassen. Zwei Konstruktionen erzeugen weitere endlich-dimensionale
Hilbertraume.
1. Direkte Summe: C n C m = C n+m
2. Tensorprodukt: C n C m = C nm
Hier fassen wir C nm als den Raum aller komplexen n m-Matrizen auf mit
dem Skalarprodukt
(M; N ) = Spur(M N ) :
Der Begri des Tensorproduktes erlaubt eine Verallgemeinerung auf unendlichdimensionale lineare Raume (algebraisches Tensorprodukt) und unendlichdimensionale Hilbertraume (Hilbert-Tensorprodukt).
Sind H und H0 zwei lineare Raume, so bildet man alle Paare f f 0
mit f 2 H bzw. f 0 2 H0 , Produktvektoren genannt, und deren endliche
Linearkombinationen. Sodann vereinbart man die folgenden Regeln:
(f + g) f 0 = f f 0 + g f 0
f (f 0 + g0) = f f 0 + f g0
(f f 0) = (f ) f 0 = f (f 0) ( 2 C ):
23
Genauer: Man bildet den Quotientenraum bezuglich des durch diese Relationen gewonnenen Teilraumes aller Linearkombinationen. Der so erhaltene
Raum H H0 heit das algebraische Tensorprodukt. Sind H und H0 daruber
hinaus Hilbertraume, so konnen wir durch Einfuhrung des Skalarproduktes
(f f 0; g g0) = (f; g)(f 0; g0)
(und seine naturliche Fortsetzung auf Linearkombinationen von Produktvektoren) dem Tensorprodukt die Struktur eines Pra-Hilbertraumes geben.
Er ist nicht vollstandig (nicht alle Cauchy-Folgen darin sind konvergent),
wenn sowohl H als auch H0 unendliche-dimensional sind. Unter dem HilbertTensorprokt versteht die Vervollstandigung (H
H0 )? schreibt aber weiterhin
H H0 .
Sind A und A0 abgeschlossene Operatoren in H bzw. H0 mit Denitionsbereichen D(A) bzw. D(A0), so denieren wir A A0 als den Abschlu des
Operators T , der auf allen endlichen Linearkombinationen
n
X
i=1
durch
T
fi fi0 2 D(A) D(A0)
n
X
i=1
fi
n
X
f 0 = Af
i
i=1
i A fi
0 0
deniert ist. Da D(A) D(A0) dicht in H H0
ist, besitzt T immer einen
Abschlu.
Wir wollen dieses Verfahren anhand des speziellen Operators A 1l naher
0
erlautern. Sei (en)1
1 eine Basis in dem Hilbertraum H . Die Formel
k Pn fn enk2 = Pn kfnk2
zeigt,Pda jedes Element in H
H0 als eine Folge (fn)1
1 von Vektoren fn 2 H
mit n kfnk2 < 1 aufgefat werden kann. Der Operator A induziert die
Transformation (Tf )n = Afn auf Folgen (fn)1
ur fast alle
1 mit fn = 0 f
n. Obwohl A als abgeschlossen vorausgesetzt wurde, ist der so denierte
Operator T nicht abgeschlossen. Der Abschlu T ? = A 1l wird gewonnen,
wenn wir als Bereich D(T ?) alle Folgen (fn)1
ur
1 mit fn 2 D(A) wahlen, f
die
P
P
2
2
n kfn k < 1;
n kAfn k < 1
erfullt ist.
24
1.6 Theorie der Vertauschungsrelationen
Eine Darstellung der Bose-Vertauschungsrelationen fur N Freiheitsgrade in
dem Hilbertraum
HN = `2 `2 `2
(N Faktoren)
bekommt man aus dem fruher betrachteten Operator a auf `2 (fur einen
Freiheitsgrad) durch
ai = 1l 1l 1l a 1l 1l 1l
(N Faktoren, a an der i-ten Stelle, i = 1; : : : ; N ). Die Vektoren des Raumes HN lassen sich auassen als komplexe Funktionen f (n1; : : : ; nN ) von N
Variablen ni = 0; 1; 2; : : : mit
P
n1 P
p
nN jf (n1 ; : : : ; nN )j
2
< 1;
so da (aif )(n1; : : : ; nN ) = ni + 1f (n1; : : : ; nN ) mit dem Denitionsbereich
P
P
D(ai) = ff 2 H j n1 nN ni jf (n1; : : : ; nN )j2 < 1g :
Es ist sofort zu sehen, da die Operatoren ai abgeschlossen sind und die
Vertauschungsrelationen
aiak = ak ai + ik 1l
erfullen (ik =Kronecker-Symbol). Der nachste wichtige Satz sagt, da diese
Darstellung bereits die allgemeinste (irreduzible) Darstellung ist. Wir wollen
sie die Standarddarstellung nennen.
Eindeutigkeitssatz. Seien Ai P
(i = 1; : : : ; N ) abgeschlossene Operatoren in
einem Hilbertraum H, so da i Ai Ai wesentlich selbstadjungiert ist und
die Relationen
AiAk = Ak Ai ; Ai Ak = Ak Ai ; AiAk = Ak Ai + ik 1l
T
erfullt sind, und sei H0 die Menge aller Vektoren f 2 i D(Ai) mit Aif = 0
(i = 1; : : : ; N ). Dann ist H0 ein abgeschlossener linearer Teilraum, und es
existiert eine unitare Transformation
U : H ! HN H 0 ;
so da
UAi U ?1 = ai 1l; UAi U ?1 = ai 1l
gilt, wobei ai die Standarddarstellung auf HN beschreibt.
25
Beweis. Er verlangt einigen Aufwand und vollzieht sich in Schritten.
1. Schritt. Wir wahlen ein festes i und setzen A = Ai . Da A abgeschlossen
ist,
R ist A A selbstadjungiert und es existiert eine Spektralzerlegung A A =
pE (dp). Das Spektrum enthalt mit Sicherheit eine reelle Zahl r > 0; denn
A A ist positiv und nicht der Nulloperator. Wir zeigen nun, da auch r ? 1
zum Spektrum gehort. Dies folgt, wenn die Annahme der Existenz eines
beschrankten inversen Operators zu AA ? (r ? 1)1l zum Widerspruch fuhrt.
Dazu wahlen wir geeignete Borel-Mengen Bn R , die die Zahl r enthalten:
Bn = [r; r + n?1)
(n = 1; 2; : : :)
Da r zum Spektrum gehort, gilt E (Bn) 6= 0 fur alle n und es gibt Vektoren
fn mit fn = E (Bn)fn und kfnk = 1. Wir denieren
gn
= (A A ? r1l)f
n
=
Z
Bn
(p ? r)E (dp)fn
und schlieen
R
kgnk2 = Bn (Rp ? r)2(fn; E (dp)fn)
n?2 Bn (fn; E (dp)fn)
= n?2 (fn; E (Bn)fn)
= n?2 kfnk2 = n?2
also limn gn = 0. Aus fn 2 D(A A) D(A) folgt
kAfnk2 = (fn; AAfn) = r + (fn; gn)
r ? j(fn; gn)j r ? kfnk kgnk r ? n?1 :
Aus gn = E (Bn)gn 2 D(AA) D(A) folgt
R
kAgnk2 = (gn; AAgn) = Bn p(gn; E (dp)gn)
(r + n?1 )kgnk2 ((r + n?1 )n?2 :
Die Vertauschungsrelation AA = AA +1l ausnutzend konnen wir schreiben:
Agn = A(A A ? r1l)fn = (AA ? r1l)Afn = (A A ? (r ? 1)1l)Afn :
Die Annahme, R = (A A ? (r ? 1)1l)?1 existiere und sei beschrankt, fuhrt
auf Ungleichungen
r ? n?1 kAfnk2 kRk2kAgnk2 kRk2(r + n?1)n?2
26
gultig fur alle n, die im Widerspruch zu r > 0 stehen. Folglich gehort r ? 1
zum Spektrum von AA. Durch Induktion nden wir, da r ? n im Spektrum
liegt, falls dies fur r ? n + 1 gilt und r ? n + 1 > 0 ist. Da keine negative
Zahl zum Spektrum gehoren kann, mu das Spektrum ein Punktspektrum
sein (enthalt nur Eigenwerte) und aus den Zahlen 0; 1; 2; : : : bestehen. Dies
vereinfacht die Spektralzerlegung (das Integral wird zu einer Summe):
1
X
A A = nE
n=0
En = E (fng) :
n;
2. Schritt. Seien Hn die den Projektoren En zugeordneten Teilraume von H,
den wir als eine direkte Summe darstellen konnen:
H = H0 H1 H2 Die Transformationen
Un : Hn?1 ! Hn; f 7! n?1=2 A f
7 n?1=2 Af
Vn : Hn ! Hn?1; f !
sind isometrisch, d.h.
kUnf k2 = n?1 (f; AA) = n?1(f; (A A + 1l)f ) = kf k2
kVngk2 = n?1 (g; AAg) = kgk2 ;
(f 2 Hn?1, g 2 Hn) und invers zueinander:
VnUnf = n?1AA f = n?1(A A + 1l)f = f
Un Vng = n?1A Ag = g :
Dies zeigt uns, da alle Raume Hn die gleiche Dimension haben (endlich
oder abzahlbar unendlich). Ferner: Ist (ek ) eine Basis in H0, so deniert
enk = (n!)?1=2 An ek eine Basis (fur festes n) in Hn . Die Vektoren enk (alle n)
bilden eine Basis in H.
2. Schritt. Nun betrachten wir nicht nur ein i, sondern alle Freiheitsgrade
zugleich und haben demgema viele Spektralprojektoren:
Ai Ai =
X
n
n Ein
(i = 1; : : : ; N )
Frage: Konnen wir aus der Tatsache, da die Operatoren Ai Ai miteinander
kommutieren, schlieen, da dies auch fur deren Spektralprojektoren gilt? Die
27
Antwort ist: Nein, im allgemeinen nicht. Die pathologischen Falle entstehen
dadurch, da der Durchschnitt
D(Ai Ai) \ D(Ak Ak ) (i 6= k)
eventuell nicht \genugend gro" ist. Diese Pathologie haben wir ausgeschlossen, indem wir voraussetzten, der Durchschnitt
N
\
D(Ai Ai)
i=1
PN
i=1 Ai Ai
darauf wesentlich selbstadjungiert
sei so gro, da der Operator
ist. Der Beweis, da in diesem Fall die Projektoren Ein miteinander kommutieren, stammt von Nelson (Annals of Mathematics, Vol.70, 572 (1959)
Theorem 5). Ohne Beweis benutzten wir das Ergebnis. Damit ist
E1n1 E2n2 ENnN (ni = 0; 1; 2; : : :)
ein Projektor. Den zugehorigen Teilraum von H bezeichnen wir mit Hn1 nN .
Die Vereinigung dieser Raume ergibt H. Ist (ei)i1 eine Basis in H0 = H00
(dem Raum der Grundzustande), so ist mit n = (i; n1 ; : : : ; nN ) und
en = (n1 ! nN !)?1=2 A1n1 ANnN ei
eine Basis in H erklart. Wir denieren die Transformation
X
U : H ! HN H0; f 7! fi ei
i
durch fi(n1 ; : : : ; nN ) = (en ; f ). Wir nden sofort, da U isometrisch ist:
kUf k2 =
X
i
kfik2 =
X
n
j(en; f )j2 = kf k2 :
Hier benutzten wir die Vollstandigkeitsrelation der en . Nun besitzt U aber
einen isometrischen inversen Operator:
U ?1 : HN H0 ! H;
P
X
i
fi ei 7! f ;
der durch f = n fi (n1; : : : ; nN ) deniert ist. Hier benutzten wir die Orthogonalitatsrelation der en . Fazit: U beschreibt eine unitare Transformation
zwischen Hilbertraumen. Die Relationen
UAi U ?1 = ai 1l;
UAi U ?1 = ai 1l
28
bestatigt man leicht durch direkte Rechnung. Es bleibt schlielich nur noch
anzumerken, da der Raum der Grundzustande auf verschiedene Weise charakterisiert werden kann:
H0 = ff j Pi Ai Aif = 0g = ff j Aif = 0; i = 1; : : : ; N g
wie die die Identitat
kA1 f k2 + + kAN f k2 = (f; Pi Ai Aif )
zeigt. Damit ist der Beweis abgeschlossen.
Anmerkung: Die Darstellung der Vertauschungsrelationen ist genau dann
irreduzibel, wenn der Raum H0 eindimensional ist. In diesem Fall besteht er
aus den Vielfachen eines Einheitsvektors e, den man das Vakuum nennt. Die
Darstellung ist dann aquivalent zur Standarddarstellung. Ist H0 mehrdimensional, so haben wir die Wahl, entweder von einer Entartung des Vakuums
zu sprechen, oder weitere,
bisher unentdeckte Freiheitsgrade anzunehmen. In
P
Anwendungen heit i Ai Ai der Teilchenzahloperator.
Antivertauschungsrelationen als Folge des Pauli-Prinzips gultig fur Fermionen wurden zuerst von Jordan und Wigner untersucht. Es zeigte sich, da
mit beschrankten Operatoren, ja sogar mit Matrizen auf endlich-dimensionalen
Hilbertraumen zu ihrer Darstellung auskommt, solange die Zahl der Freiheitsgrade endlich ist. Konkret: Mit Hilfe der Matrizen
0
1
0
0
1
0
b = 0 0 ; b = 1 0 ; = 0 ?1
und der Denition
bi = b 1l 1l
(N Faktoren, b an der i-ten Stelle, i = 1; : : : ; N ) bekommt man auf dem
Hilbertraum
C 2N = C 2 C 2
eine Darstellung der Antivertauschungsrelationen:
bibk + bk bi = 0
bibk + bk bi = ik
bi bk + bk bi = 0
Wir wollen sie die Standarddarstellung nennen.
Auch hier ndet man eine Entsprechung fur den vorigen Eindeutigkeitssatz, der im vorliegenden Fall jedoch sehr viel einfacher zu beweisen ist.
29
Eindeutigkeitssatz. Seien Bi (i = 1; : : : ; N ) beschrankte Operatoren auf
einem Hilbertraum H mit den obigen (fur bi ) geltenden Relationen und sei
H0 der Raum aller Vektoren f 2 H mit Bi f = 0 (i = 1; : : : ; N ). Dann ist H0
ein abgeschlossener Teilraum, und es existiert eine unitare Transformation
U : H ! C 2N H0, so da UBi U ?1 = bi 1l gilt.
Der Satz erlaubt somit die Ruckfuhrung einer beliebigen Darstellung auf
die Standarddarstellung. Eine Darstellung ist genau dann irreduzibel, wenn
H0 eindimensional ist. In diesem Fall ist sie aquivalent zur Standarddarstellung. Man erkennt ferner, da das Spektrum jedes Operator Bi Bi nur aus
den Zahlen 0 und 1 besteht. Diese werden als Besetzungszahlen fur den Freiheitsgrad (Zustand) i interpretiert
Pund sind der mathematische Ausdruck des
Pauli-Prinzips. Auch hier wird i BiBi der Teilchenzahloperator genannt.
Sein Spektrum besteht aus den Zahlen 0; : : : ; N , wobei im irreduziblen Fall
der Wert 0 das Vakuum (alle Zustande unbesetzt) und der Wert N das Antivakuum (alle Zustande sind besetzt) charakterisiert.
30
2 Methoden fur Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden
2.1 Die Fock-Cook-Darstellung
Die Darstellungen der kanonischen (Anti)vertauschungsrelationen fur endlich
viele Freiheitsgrade besitzen, wie sir sahen, drei wesentliche Eigenschaften:
1. Existenz eines selbstadjungierten Teilchenzahloperators mit ganzzahligem diskreten Spektrum.
2. Existenz mindestens eines Vakuumzustandes.
3. Eindeutigkeit (bis auf unitare A quivalenz) fur die irreduzible Darstellung.
Alle diese Aussagen werden falsch, wollte man sie auf Systeme mit unendlich
(d.h. abzahlbar) vielen Freiheitsgraden ubertragen. Dennoch gibt es auch hier
so etwas wie eine Standarddarstellung, die einen Teilchenzahloperator und
ein Vakuum besitzt und irreduzibel ist. Die Konstruktion, die wir zunachst
im Bose-Fall beschreiben wollen, fuhrt auf die sog. Fock-Cook-Darstellung.
Da die Darstellung einen Teilchenzahloperator N besitzen soll, dessen
Spektrum aus den Zahlen 0; 1; : : : besteht, konnen wir von einer Spektralzerlegung
1
X
N = n En
n=0
ausgehen, wobei E0 auf die Vakuumzustande projiziert. Die mit En verknupften Teilraume Hn beschreiben { physikalisch gesprochen { Zustande mit n
Teilchen. Da das Vakuum bis auf einen Phasenfaktor als eindeutig angenommen wird, setzen wir H0 = C . Mit Blick auf die relativistische Feldtheorie wahlen wir als Hn den Raum L2s (R 3n ) aller komplexen Funktionen
n(p1 ; : : : ; pn), die symmetrisch in den n Vektorvariablen pi 2 R 3 sind und
eine endliche Norm besitzen, deren Quadrat durch
Z 3
3p
d
1
knk = 2! d2!pn jn(p1; : : : ; pn)j2
1
n
gegeben wird, wobei !i = (m2 + p2i )1=2 zu setzen ist. Ein Vektor in dem
Fock-Raum
2
Z
H = C L2 (R3 ) L2s (R 3 R3 ) L2s (R 3 R3 R 3 ) 31
ist denitionsgema eine Folge = (0; 1; 2; : : :) von n-Teilchenfunktionen
n, deren Normquadrat
1
X
2
kk = knk2
n=0
einen endlichen Wert annimmt. Naturlich ist 0 2 C und k0k = j0j. Wie
immer stimmt die Zahl der Freiheitsgrade mit der Dimension des Einteilchenraumes H1 uberein: Diese ist hier abzahlbar unendlich.
Auf dem von uns konstruierten Raum H denieren wir nun die Projektoren En durch (En)n0 = nn0 n und nden so den Denitionsbereich des
Operators N :
P
D(N ) = f 2 H j n n2 knk2 < 1g
Eine im folgenden benutzte Verallgemeinerung stellt
P
D(N ) = f 2 H j n n2 knk2 < 1g ( > 0)
dar.
Wenn wir auf dem Raum H Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
konstruieren wollen, so erweist es sich als zweckmaig, einen gemeinsamen
dichten Denitionsbereich zu wahlen. Als solcher bietet sich D(N 1=2 ) an. Fur
jedes ' 2 L2 (R3 ) und jedes 2 D(N 1=2 ) denieren wir:
Z 3
d p '(p) (p; p ; : : : ; p )
1
=
2
(a('))n(p1 ; : : : ; pn) = (n + 1)
n+1
1
n
2!
n (p1 ; : : : ; pn )
(ay('))
=
n
X
n?1=2 '(p) i=1
n?1 (p1 ; : : : ; pi?1 ; pi+1 ; : : : ; pn )
Wir erkennen sofort folgende Tatsachen:
Die Operatoren a(') und ay(') sind nicht abgeschlossen, wohl aber
abschliebar; denn es gilt
ay(') a(') ; a(') ay(')
also Folge von
(; a(') ) = (ay('); )
gultig fur ; 2 D(N 1=2 ). Die adjungierten Operatoren sind dicht deniert und abgeschlossen.
Die leicht zu beweisenden Abschatzungen
ka(')k k'k kN 1=2 k
kay(')k k'k k(N + 1l)1=2 k
32
zeigen, da die Abbildungen ' 7! a(') und ' 7! ay(') ein gewisses
Ma an Stetigkeit haben.
Es gelten die Vertauschungsrelationen
a(')a('0 ) = a('0)a(')
a(')ay('0) = ay('0 )a(') + ('; '0)1l
ay(')ay('0) = ay('0 )ay(')
mit dem Skalarprodukt
('; '0) =
Z
d3p '(p)'0(p) :
2!
Die Abbildung ' 7! ay(') ist linear, die Abbildung ' 7! a(') hingegen
antilinear. Man schreibt deshalb oft { in Anlehnung an die Theorie der
Distributionen (Laurent Schwartz, Gelfand/Schilov) {
Z 3
3p
d
y
a(') = 2! '(p)a(p) a (') = d2!p '(p)ay(p);
d.h. man interpretiert a(p) und ay(p) als operatorwertige Distributionen. A hnliches gilt fur die Darstellungen
Z 3
Z 3
d
p
y
N = 2! a (p)a(p) ; H = d2!p ! ay(p)a(p)
Z 3
P = d2!p p ay(p)a(p)
der Operatoren der Teilchenzahl, der Energie und des Impulses: Sie sind
formaler Natur und konnen nicht als gewohnliche Integrale interpretiert
werden.
Der durch = (1; 0; 0; ) 2 H heit das Vakuum. Auer der Eigenschaft a(')
= 0 besitzt dieser Vektor eine weitere wichtige Eigenschaft. Die von den Operatoren ay(') (alle ') gebildete abelsche
Algebra A aus unbeschrankten Operatoren mit dem gemeinsamen Denitionsbereich C 1(N ) reicht aus, um ganz H aus dem Vakuum zu
erzeugen:
H = (A )?
gleichdedeutend mit (A )? = f0g. Man sagt, sei zyklisch fur die
Algebra A, und beweist diese Tatsache auf folgende Weise. Sei ein
Z
33
Vektor mit (; A
) = 0 fur alle A 2 A. Dann gibt es sicher ein n mit
6= 0. Ist n = 0, so erhalt man einen Widerspruch fur A = 1l. Ist n 0,
so wahlt man
A = ay('1) ay('n)
und erhalt aus (; A
) = 0 die Aussage
d3p1 Z d3pn (p ; : : : ; p ) ' (p ) ' (p ) = 0
n 1 1
n n
2!1
2!n n 1
fur alle 'i 2 L2 (R 3 ), eine Relation, die sich nur fur n = 0 befriedigen
lat, was ein Widerspruch zur Annahme darstellt.
Z
2.2 Das neutrale Skalarfeld
Die zweite Quantisierung stellt das freie neutrale Skalarfeld in der folgenden
Weise dar:
Z 3 d p a(p) e?ipx + ay(p) eipx
?
3
=
2
A(x) = (2)
2!
mit px = !t ? px. Naturlich ist auch dieses Integral formaler Natur, d.h.
auch A(x) ist eine operator-wertige Distribution. Wohldenierte Operatoren
{ obwohl unbeschrankt { erhalt man erst durch \Integration" mit reellen
Testfunktionen f (x):
A(f ) =
'(p) =
Z
d4x f (x) A(x) = a(') + ay(')
(2)?3=2
Z
d4x f (x) eipx
(22)
(23)
Als klassisches Feld ist A(x) reell, als quantisiertes Feld ist A(f ) ein symmetrischer Operator mit dem Denitionsbereich D(N 1=2 ), wenn ' quadratintegrabel ist. Angenommen, A(f ) besae mehrere selbstadjungierte Erweiterungen. Dann ware das Skalarfeld nicht eindeutig deniert und wir hatten
ein groes Problem. Wir konnen jedoch zeigen, da A(f ) wesentlich selbstajungiert ist,
A(f ) A(f ) = A(f ) ;
und benotigen hierzu zwei vorbereitende Ergebnisse:
Lemma 1. Fur jedes naturliche n und 2 C 1(N ) gilt die Abschatzung
p
kA(f )nk 2n n! k'kn k(N + 1l)n=2 k
34
(24)
mit dem durch (23) denierten Zusammenhang zwischen f und '.
Beweis. Wir zeigen die starkere Aussage
kA(f )nk 2nk'knk Qnk=1(N ? k1l)1=2 k
(25)
durch Induktion. Die Aussage (24) ist dann eine Folge der Ungleichung
Q
Q
('; nk=1(N ? k1l)') ('; nk=1(kN ? k1l)') = n!(; (N ? 1l)n)
Die Abschatzung (25) ist richtig fur n = 1; denn
kA(f )k ka(')k + kay(')k
1
=
2
1
=
2
k'k kN k + k(N + 1l) k
2k'k k(N + 1l)1=2 k
Angenommen, (25) sei schon beliebiges n bewiesen. Indem wir Gebrauch
machen von der Gleichung
F (N )(a(') + ay(')) = a(')F (N ) + ay(')F (N + 1l)
{ gultig fur jede auf den ganzen Zahlen denierte Funktion F { erhalten wir
unter Berucksichtigung von A(f )C 1(N ) C 1(N ):
kA(f )n+1k 2nk'knk Qnk=1Q(N ? k1l)1=2 A(f )k
?1 (N ? k1l)1=2 + ay (') Qn+1 (N ? k1l)1=2 k
= 2nk'knka(') kn=0
k=2
Qn?1
1
=
2
n
n
+1
2 k'k kN k=0 (N ? k1l)1=2 k
Q
+1 (N ? k1l)1=2 k
+ k(N + 1l)1=2 nk=2
+1 (N ? k1l)1=2 k
2n+1k'kn+1k Qnk=1
was zu beweisen war.
Lemma 2. Jeder analytische Vektor fur N + 1l mit dem Konvergenzradius r
ist auch ein analytischer Vektor fur A(f ) mit einem Konvergenzradius
pr
0
r 2k'k :
Auch hier gilt der durch (23) denierte Zusammenhang zwischen f und '.
Beweis. Sei 2 C 1(N ) und die Reihe
1 n
X
z k(N + 1l)nk
n=0 n!
35
absolut konvergent fur jzj < r. Sei 2 C mit 0 < jj < 1. Fur die beiden
Folgen
an = n n
2
z
k
'
k
1
k(N + 1l)n=2k
bn = p
n!
gilt:
1
X
janj2 = 1 ?1jj2 < 1
n=0
1
1
2 k'k2 n
X
X
1
4
j
z
j
2
jbnj = kk n! jj2
k(N + 1l)nk < 1
n=0
n=0
falls 4jzj2k'k2 < jj2r. Unter dieser Bedingung konvergiert die Reihe
1 n
X
z
kA(f )nk
n
!
n=0
absolut; denn
1
1 n
X
1 (2zk'k)n k(N + 1l)n=2 k
z kA(f )nk X
p
n=0 n!
n=0 n!
=
1
X
n=0
janj jbnj 1
X
n=0
janj 2
1
X
n=0
jbnj
2
!1=2
:
Da beliebig nahe bei 1 gewahlt werden kann, folgt die Behauptung.
Insbesondere folgt aus diesem Lemma, da D(N 1=2 ) eine dichte Menge von
Vektoren enthalt, die analytisch fur A(f ) sind; denn der Operator N + 1l ist
selbstadjungiert und besitzt sicher eine dichte Menge von analytischen Vektoren (z.B. alle 2 H mit n = 0 fur fast alle n). Aufgrund des Kriteriums von
Nelson ist A(f ) wesentlich selbstadjungiert und damit seine selbstadjungierte
Erweiterung eindeutig.
2.3 Tensoralgebra und symmetrische Algebra
Die Konstruktion des Fock-Raumes hat einige algebraische Aspekte, die wir
nun beleuchten. Ausgehend von dem Einteilchenraum L2 (R3 ) und Vektoren
'i darin formen wir das n-fache Tensorprodukt auf folgende Weise,
('1 'n)(p1 ; : : : ; pn) = '1 (p1) 'n(pn) ;
36
und fassen es als einen Vektor in L2 (R 3n ) auf. Das Hilbert-Tensorprodukt
von n Kopien des Einteilchenraumes enthalt beliebige Summen solcher Produktvektoren und alle daraus gebildeten Cauchy-Folgen. Da man auf diese
Weise alle n-Teilchen-Wellenfunktionen erhalt, gilt
L2 (R 3n ) = L2 (R 3 )
n = L2(R 3 ) L2 (R 3 )
(n Faktoren).
Bose-Statistik wahlt hiervon einen Unterraum:
L2s (R 3n ) = L2 (R 3 )_n = L2 (R3 ) _ _ L2 (R 3 )
(n Faktoren),
wobei das symmetrische Produkt auf die folgende Weise deniert wird:
X
' '(n) :
'1 _ _ 'n = p1
n! (1)
Die Summe erstreckt sich uber alle Permutationen der Zahlen 1 bis n. Man
errechnet leicht
('1 _ _ 'n ; '01 _ _ '0n) = Perm ('i; '0k ) ;
wobei die sogenannte Permanente einer n n-Matrix analog zur Determinante gebildet wird:
Perm ('i; '0k ) =
X
('1; '0(1) ) ('n; '0(n) ) :
Die Konstruktionen machen nicht Gebrauch von der Struktur des Einteilchenraumes H als L2 (R 3 ). Unter der Hilbert-Tensoralgebra (kurz: Tensoralgebra) eines beliebigen Hilbertraumes H verstehen wir die Vervollstandigung
der algebraischen direkten Summe aller Tensorprodukte:
T (H) =
1
X
n=0
H
n
mit der Vereinbarung H
0 = C . In analoger Weise deniert man die symmetrische Algebra (auch hier H_0 = C ):
S (H) =
1
X
n=0
H_n :
Ignoriert man die algebraische Struktur, so sind T (H) und S (H) immer noch
Hilbertraume, und S (H) ist gerade identisch mit dem Fock-Raum uber dem
37
Einteilchenraum H mit Bose-Statistik. Das Vakuum ist wie immer durch
die Zahl 1 2 H_0 reprasentiert.
Der Zusammenhang mit Erzeugungsoperatoren in S (H) wird durch
ay('1) ay('n) = '1 _ _ 'n
hergestellt. Dies bedeutet eine Neudenition von ay(') als Multiplikationsoperator:
ay(') = ' _ ; 2 S (H) :
An dieser Stelle wird von der algebraischen Struktur von S (H) Gebrauch
gemacht. Doch ist hier Vorsicht geboten: Wie wir bereits wissen, ist ay(')
nur dicht deniert, etwa so:
ay(') n = ' _ n ;
n 2 H_n :
Der Vernichtungsoperator a(') kann direkt durch
a(')('1 ^ ^ 'n) =
n
X
i=1
('; 'i)'1 ^ '^i ^ ^ 'n
(^ bedeutet Elimininierung) oder auch induktiv deniert werden:
a(')
= 0
0
0
n ) = ('; ' )n + ' _ a(')n
a(')('0 _ Die Konstruktion des Hilbertraumes S (H) hat die charakteristische Eigenschaft
S (H1 H2) = S (H1) S (H2) ;
d.h. S verwandelt eine direkte Summe stets in ein Tensorprodukt. Diese Relation wird relevant, wenn mehrere Teilchensorten beschrieben werden sollen
(z.B. Teilchen + Antiteilchen). Grundlegend fur diese Eigenschaft sind zwei
Identizierungen:
ay('
= 1 2
y
y
1 ; '2 ) = a ('1 ) 1l + 1l a ('2 )
('i 2 Hi) :
Hier beschreiben i die Vakua in S (Hi) und das gemeinsame Vakuum in
S (H1 H2 ).
38
2.4 Die auere Algebra
Zur Beschreibung von Fermionen benotigen wir einen anderen Teilraum der
Tensoralgebra T (H), namlich den Raum
^
H=
1
X
n=0
H^n
der antisymmetrischen Tensoren, auch auere Algebra genannt. Auch hier
vereinbaren wir H^0 = C . Das antisymmetrische Produkt auf wird durch
X
sgn()'(1) '(n)
'1 ^ ^ 'n = p1
n! deniert und erzeugt Produktvektoren in H^n. Auch hier erstreckt sich die
Summe uber alle Permutationen der Zahlen 1 bis n. Das Signum sgn()
der Permutation sorgt fur die Antisymmetrie der linken Seite. Man errechnet
leicht
('1 ^ ^ 'n ; '01 ^ ^ '0n) = Det ('i; '0k ) ;
wobei die Determinante wie ublich gebildet wird:
Det ('i; '0k ) =
X
sgn()('1 ; '0(1)) ('n; '0(n)) :
V
Der so konstruierte Raum H ist identisch mit dem Fock-Raum uber dem
Einteilchenraum H mit Fermi-Statistik. Das Vakuum ist auch hier durch
die Zahl 1 2 H^0 reprasentiert.
V
Der Zusammenhang mit Erzeugungsoperatoren in H wird durch
by('1) by('n) = '1 ^ ^ 'n
hergestellt. Dies bedeutet eine Charakterisierung von by(') als Multiplikationsoperator:
^
by(') = ' ^ ; 2 H :
V
An dieser Stelle wird von der algebraischen Struktur von H Gebrauch
gemacht. Im Gegensatz zur Bose-Situation handelt es sich hier um einen
beschrankten Operator. Man sieht dies auf folgende Weise ein. Sei (ei)i2N
eine Basis in H, so bilden die Vektoren
eI = ei1 ^ ei2 ^ ^ ein ;
39
n = 0; 1; 2; : : :
V
eine Basis in H (fur gegebenes n eine Basis in H^n). Hier bezeichnet I eine
beliebige endliche Teilmenge der naturlichen Zahlen, die wir nach Ordnung
so darstellen konnen:
I = (i1 ; i2; : : : ; in); i1 < i2 < : : : < in :
Fur die leere Menge I = ; setzt man e; = . Jedes ' 2 H kann nach I und
dessen Komplement I 0 (in N ) zerlegt werden:
X
X
' = ciei + '0; '0 = ciei :
i2I 0
i2I
Es gilt oenbar ay(')eI = ay('0)eI und somit
kay(')eI k2 = ('0 ^ eI ; '0 ^ eI ) = Det diag(k'0k2; 1; : : : ; 1) = k'0k2 :
Da ay(') auf den Basisvektoren gleichmaig durch k'k2 beschrankt ist, handelt es sich um einen uberall denierten beschrankten Operator.
Gleiches gilt fur den Vernichtungsoperator a('), den wir als den adjungierten Operator zu ay(') einfuhren konnen. Der Vernichtungsoperator b(')
kann aber auch direkt durch
b(')('1 ^ ^ 'n) =
n
X
i=1
(?1)i?1('; 'i)'1 ^ '^i ^ ^ 'n
(^ bedeutet Elimininierung) oder auch induktiv deniert werden:
b(')
= 0
0
b(')(' ^ n) = ('; '0)n ? '0 ^ b(')n
V
Die Konstruktion des Hilbertraumes H fur Fermionen hat ebenfalls die
charakteristische Eigenschaft
^
^
^
(26)
(H1 H2 ) = H1 ^ H2 ;
V
d.h. verwandelt eine direkte Summe stets in ein Tensorprodukt. Mit ^
wird das schiefe Tensorprodukt zweier graduierter Algebren bezeichnet, das
durch die geanderte Produktvorschrift
(1 2 )(01 02 ) = (?1)nn0 101 202 ;
2 2 H2^n; 01 2 H1^n0
charakterisiert ist. Die Isomorphie (26) wird relevant, wenn mehrere Teilchensorten beschrieben werden sollen (z.B. Teilchen + Antiteilchen). Grundlegend
fur diese Eigenschaft sind zwei Identizierungen:
= 1 2
y
b ('1; '2) = by('1) 1l + 1l by('2) ('i 2 Hi) :
40
V
Hier
V beschreiben i die Vakua in Hi und das gemeinsame Vakuum in
(H1 H2).
Sobald der Raum H eine endliche Dimension { sagen wir n { hat, ist auch
die daruber konstruierte auere Algebra endlich-dimensional. Es gilt
Dim
Denn DimH^k =
^
H = 2n :
?n
k
. Insbesondere H^k = f0g fur k > n.
2.5 Weyl-Systeme
Erfahrungen mit wechselwirkenden Systemen, die unendlich viele Freiheitsgrade haben, zeigen, da man die Betrachtung nicht auf die Fock-CookDarstellung beschranken kann. Die Zeitevolution bringt i.allg. eine Vielzahl
von nichtaquivalenten Darstellungen der kanonischen (Anti-)Vertauschungsrelationen ins Spiel. Das gilt sowohl fur die statistische Mechanik als auch
fur die Quantenfeldtheorie. Viele physikalische Phanomene, unter ihnen die
Bosekondensation, die Supraleitung, die Infrarotstrahlung beschleunigter Ladungen und der Higgs-Mechanismus, verdanken ihre befriedigende mathematische Beschreibung der Kenntnis spezieller Darstellungen der (Anti-)Vertauschungsrelationen.
Wir konzentrieren uns auf den Bose-Fall. Der Nutzen und die Anwendung
von inaquivalenten Darstellungen lat sich erst dann sinnvoll diskutieren,
wenn wir
1. nicht die Existenz eines Teilchenzahloperators fordern,
2. keine a-priori-Voraussetzungen uber den Denitionsbereich der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren machen und
3. nicht verlangen, da die Darstellung irreduzibel ist.
Es genugt sicher, den Operator
A(') = a(') + ay(')
zu studieren, da wir a und ay daraus zuruckgewinnen konnen:
ay(') = 12 (A(') ? iA(i')):
a(') = 21 (A(') + iA(i'));
Wir nehmen an, da der Operator A(') wesentlich selbstadjungiert ist. Beachte: Die Abbildung ' 7! A(') ist lediglich reell-linear. Der Abschlu
A(')? = A(') ist dann selbstadjungiert und erzeugendes Element einer
41
einparametrigen stark stetigen unitaren Gruppe (siehe den Satz von von Stone und v. Neumann):
W (t') = exp(itA(')?) (t 2 R ):
Ohne Verlust an Information konnen wir den Parameter t in dem Vektor '
absorbieren. Man nennt die Gesamtheit aller W (') mit ' 2 H die WeylOperatoren 1 . Aus der Vertauschungsrelation
[A('); A('0)] = 2i Im ('; '0);
gultig auf einer dichten Menge von Vektoren , gewinnt man die entsprechende Relation fur die Weyl-Operatoren:
W (')W ('0) = e?i Im (';'0)W (' + '0)
(27)
(eine Folge der Cambell-Hausdor-Formel).
Denition. Sei L ein fest gewahlter dichter Teilraum von Einteilchen-Wellenfunktionen. Ein Weyl-System (H; W ) besteht aus unitaren Operatoren
W (') (' 2 L) auf einem Hilbertraum H, so da t 7! W (t') stark stetig und die Weyl-Relation (27) erfullt sind. Zwei Weyl-Systeme (H; W ) und
(H0 ; W 0) heien aquivalent, wenn UW (') = W 0(')U fur eine unitare Abbildung U : H ! H0 gilt.
Aus der Denition folgt W (0)W (0) = W (0), also W (0) = 1l, sodann
W (')W (?') = W (0) = 1l also W (') = W (?')
Die Frage entsteht, wie man auf einfache Weise die Fock-Cook-Darstellung
charakterisieren kann. Wir erinnern daran, da das Vakuum ein zyklischer
Vektor fur die durch ay(') erzeugte Algebra ist. Das gilt erst recht fur die
groere Algebra der Operatoren A(') und somit auch fur die Weyl-Algebra
(die von den Weyl-Operatoren W (') erzeugte Algebra). Die Weyl-Relationen
(27) sagen uns, P
da das allgemeinste Element der Weyl-Algebra aus Linearkombinationen k ck W ('k ) (ck 2 C ) besteht. Also sind die Vektoren der
Form
n
X
= cj W ('j )
j =1
dicht im Fock-Raum H. Behauptung:
Das Funktional (
; W (')
) = exp(? 21 k'k2 ) gibt bereits eine vollstandige Charakterisierung der Fock-Cook-Darstellung.
1
Nach Hermann Weyl, der sie zuerst betrachtete
42
Neben den obigen Vektor betrachten wir einen weiteren Vektor der gleichen
Art:
n0
X
0
= c0k W ('0k )
:
k=1
Fur das Skalarprodukt gilt unter Ausnutzung der Weyl-Relationen:
(; 0) =
X
j;k
cj c0k (
; W (?'j )W ('k )
) =
X
j;k
cj c0k ei Im ('j ;'0k ) E ('0k ? 'j )
Da alle Skalarprodukte bestimmt sind und die Wirkung der Operatoren W (')
ebenfalls, ist die Behauptung bewiesen, wenn wir die explizite Form des Funktionals E (') kennen. Durch Induktion beweist man zuerst
(
; A(')n
) =
0
n!
n
2m m! k'k
n ungerade
n = 2m gerade
und ndet so den zweiten Teil der Behauptung bestatigt:
E (') =
1
X
n=0
(
; A(')n
) = exp(? 21 k'k2) :
2.6 Der moderne Begri des Zustandes
Wir sind gewohnt, den Zustand eines quantenmechanischen Systems als einen
Vektor in einem Hilbertraum aufzufassen, nehmen dabei aber zwei Nachteile
in Kauf: (1) Alle Vielfache eines Vektors bestimmen den gleichen Zustand,
(2) bei einer unitaren Abbildung des Raumes H auf einen Raum H0 , bei der
der Vektor in den Vektor 0 ubergeht, kann 0 ebensogut zur Beschreibung des gemeinten Zustandes herangezogen werden, d.h. wir treen auf die
physikalisch bedeutungslose Vielfalt von moglichen Realisierungen ein und
desselben Zustandes.
Der moderne Begri des Zustandes vermeidet die unnotige Komplikation
und betrachtet den Zustand als ein Funktional. Dieses ist eindeutig und in
allen Realisierungen gleichlautend. Die neue Auassung ndet man nicht nur
in der Quantenfeldtheorie. Sie hat inzwischen alle Bereiche der Physik erfasst,
beginnend mit der klassischen Mechanik.
Sei (H; W ) ein Weyl-System und ein normierter Vektor in H. Dann hat
das Funktional E (') = (; W (')) stets folgende Eigenschaften:
E (0) = 1l (Normierung)
Pnj;k cj ck ei Im ('j ;'k) E ('k ? 'j ) 0 (Positivitat)
43
E (' + t'0 ) ! E (') wenn t ! 0 (Stetigkeit)
Denition. Ein Funktional E heit Zustand, wenn die obigen drei Eigenschaften erfullt sind. Der Zustand heit koharent, wenn er die Form
E (') = exp ? 21 k'k2 + iF (')
hat, wobei F (') ein reell-lineares und reell-wertiges Funktional ist.
Beispiele fur koharente Zustande liefert schon das Fock-System:
(; W (')) = exp ? k'k
mit
= W ( )
=
1
2
2 + 2iIm (
1
1 k k2 X
?
2
p1
e
; ')
ay( )n
n!
Der Begri koharenter Zustand ist der Quantentheorie der elektromagnetischen Strahlung entlehnt, in der diese Zustande eine bedeutende Rolle spielen.
Die Teilchenzahl N der Fock-Darstellung ist der erzeugende Operator
einer U(1)-Gruppe mit den charakterisierenden Eigenschaften:
eiN W (') = W (ei')eiN
eiN = :
Auf den koharenten Zustanden des Fock-Raumes bestatigt man die erwartete
Wirkung:
1 in
1 k k2 X
?
iN
2
pe ay( )n
:
e W ( )
= e
n=0 n!
In diesen Zustanden uktuiert die Teilchenzahl gema einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P (n), deren charakteristische Funktion wir auf die folgende
Weise berechnen:
1
X
n=0
n=0
P (n)ein = (W (')
; W (ei')
)
?
= exp ?? 21 k(ei ? 1)'k2 + 2 Im('; ei ')
= exp k'k2(ei ? 1) :
Man erhalt so die Poisson-Verteilung
n
P (n) = e?a an! ;
44
a = k'k2
P
wobei a = nP (n) die mittlere Teilchenzahl beschreibt. Wir sehen, da die
Existenz einer mittleren Teilchenzahl an die Bedingung k'k < 1 gebunden
ist. Es gibt koharente Zustande (auerhalb des Fock-Raumes), die dieser
Bedingung nicht genugen.
Aus gegebenen Zustanden lassen sich leicht neue Zustande konstruieren.
Denn mit E1 und E2 ist auch E = pE1 + (1 ? p)E2 fur jedes p 2 [0; 1]
ein Zustand, namlich ein statistisches Gemisch oder gemischter Zustand. Die
Gewichte p und 1 ? p erhalten die Bedeutung von Wahrscheinlichkeiten.
Aufgrund dieser Moglichkeit, Zustande zu mischen, bildet die Gesamtheit
der Zustande eine konvexe Menge E . Die Extremalpunkte von E heien reine
Zustande. Es sind genau diejenigen Zustande E 2 E , die keine Zerlegung der
Form E = pE1 + (1 ? p)E2 mit 0 < p < 1 gestatten. Man stelle sich E als
einen Simplex in groen Dimensionen vor. Die Anschauung lehrt, da die
Zerlegung eines nicht-reinen Zustandes E in reine Zustande obwohl losbar,
jedoch nicht immer eindeutig losbar ist2.
Der Vorteil des modernen Zustandsbegries liegt u.a. darin, da eine Folge
von Funktionalen
En(') = (n; W (')n)
eventuell gegen ein Grenzfunktional E konvergiert und E einen Zustand beschreibt, obwohl die Vektoren n im Fockraum nicht konvergieren. Fur diese
Phanomen gibt es viele physikalische Beispiele. Ein solches Beispiel wollen
wir im nachsten Kapitel betrachten.
2.7 Die Bose-Einstein-Kondensation
Wenn wir die Teilchenzahl in einem unendlich ausgedehnten System vorschreiben, so hat die Energie ein rein kontinuierliches Spektrum. Wir nden
dann zwar Zustande beliebig kleiner Energie, aber keinen Grundzustand. Die
Sache wird anders, wenn wir die Dichte der Teilchen vorschreiben.
Wir studieren das relativistische Bose-Gas und gehen aus von den Wellenfunktionen ' einzelner Teilchen, betrachten die zugehorigen Ortraumfunktionen
Z
3
?
3
=
2
pd p '(p) eipx
'^(x) = (2)
2!
(x 2 R 3 ), so da
('; '0) =
Z
d3p '(p) '0 (p) = Z d3x '^(x) '^0(x) :
2!
2 Man mache sich diese Tatsache am Beispiel des Spinzustandes klar, wenn dieser ein
unpolarisiertes Elektron beschreibt.
45
Fur ein Teilchen, das in einem beschrankten Gebiet B des Ortraumes lokalisiert ist, existiert ein Zustand minimaler Energie:
?1=2 x 2 B
'^B (x) = jB j
0
sonst
(jB j=Volumen von B ). Sind n Bose-Teilchen in dem Bereich B lokalisiert, so
kann der Grundzustand durch den normierten Vektor
B = p1 ay('B )n
n!
im Fock-Raum beschrieben werden.
Unsere Aufgabe besteht nun darin, B gegen R 3 und gleichzeitig n gegen
1 streben zu lassen, so da die Dichte = n=jB j konstant gehalten wird.
Zu diesem Zweck xieren wir > 0, denieren n = b jB j c als die grote
ganze Zahl kleiner als jB j und berucksichtigen dies bei der Denition von
B . Vom mathematischen Standpunkt bilden die Borel-Mengen B 2 R 3 eine
gerichtete Menge von Mengen und die B ein Netz von normierten Vektoren
im Fock-Raum, dessen Konvergenz man studieren kann.
Sind B und B 0 zwei Borel-Mengen mit b jB j c 6= b jB 0j c, so gilt
(B ; B0 ) = 0 und daher kB ? B0 k2 = 2 ;
so da die Vektoren B nicht konvergieren. Auch der Begri der schwachen
Konvergenz hilft hier nicht: Die Vektoren B konvergieren schwach gegen
Null. Man sieht dies so ein: Fur einen beliebigen Vektor im Fockraum mit
Komponenten n (n=Teilchenzahl) gilt k n k ! 0 fur n ! 1 und deshalb
j( ; B )j k nk ! 0 :
In einer anderen Formulierung:
Im thermodynamischen Limes B ! R 3 wird der Vektor B des
Grundzustandes orthogonal zu jedem Vektor des Fock-Raumes.
Dessen ungeachtet werden wir nun zeigen, da das Netz der Funktionale
EB = (B ; W (')B )
einem Grenzfunktional zustrebt. Dabei machen wir Gebrauch von den Laguerreschen Polynomen
n
X
n
!
Ln (x) = k! nk (?x)k
k=0
46
und der Bessel-Funktion 0-ter Ordnung J0(x).
Theorem. Es gilt die Darstellung
EB (') = n1! Ln(j('; 'B )j2) exp(? 21 k'k2)
und es existiert der thermodynamische Limes
R 3
1
=
2
1
(
'
)
=
J
d
x
'
^
(
x
)
exp(
E (') = Blim
0 2
2
3
!R
j
j
? k'k2)
fur alle ', so da '^ 2 L2 \ L1 .
Beweis. Die Campbell-Hausdor-Formel fuhrt zu
1
W (') = e? 2 k'k2 eiay(') eia(') (28)
fur 2 C 1(N ). Aus
a(')nay( ) = ay( )a(')n + ('; )na(')n?1
folgt
eia(') ay( ) = (ay( ) + i('; ))eia(')
und somit durch Induktion
eia(') ay( )n = (ay( ) + i('; ))neia(') :
Wegen 'B 2 C 1(N ) konnen wir bedenkenlos die Zerlegung (28) in der folgenden Rechnung verwenden:
1 k'k2 1 ?ia(') y
?
n
ia
(
'
)
y
n
2
EB (') = e
a ('B ) ; e a ('B ) n! e
1 k'k2 1
?
y
n
y
n
2
= e
n! (a ( B) ? i('; 'B )) ; (a ('B ) + i('; 'B )) n
2
k 1 k'k2 1 X
n
?
y
n
?
k
y
n
?
k
2
2
= e
n! k=0 k ? j('; 'B )j a ('B ) ; a ('B ) n
1 k'k2 X
n ? j('; ' )j2k
1
?
= e 2
B
k=0 k! k
Damit folgt der erste Teil der Behauptung. Um die Konvergenz zu zeigen,
beachten wir zunachst, da das Netz der Zahlen
2
Z
b
j
B
j
c
cB = nj('; 'B )j2 = jB j d3x '^(x)
B
47
fur '^ 2 L1 konvergiert und den Grenzwert
c=
Z
2
d3x '^(x)
besitzt. Daruberhinaus sind die positiven Zahlen cB nach oben durch
Q=
Z
d3x
j'^(x)j
2
beschrankt. Wir erhalten so die Abschatzung
jckB ? ck j = (cb ? c) Pki=1 ciB?1 ck?i kQk?1jcB ? cj (k 1):
Sodann gilt fur n 1
n
?1 (?x)k kY
i
1 L x = 1 + X
1?
n
n!
n
k !2
1
k
X
= 1 + (?x2)
k=1 k!
k=1
i=0
kY
?1 i=0
n
i
1?
n
Wir benotigen die Bessel-Funktionen
J0
(2x1=2 ) =
1
X
(
n=0
?x)k ;
k !2
In
(2x1=2 ) =
1
X
xk?n
n=0 k!(k + n)!
(x 0)
und die Abschatzung
1?
kY
?1 i=0
1 ? i (k ? 1)k
n
2n
(k 1; n 1):
Dann folgt fur n 1
1
Ln cB ? J0 (2c1=2 ) 1 Ln cB ? Ln c + 1 Ln c ? J0 (2c1=2 )
n!
n!
n
n
n n!
n
1
1 k
k?1 X
X
kQ
c (k ? 1)k
jcB ? cj
+
2
2
2n
k=1 k!
k=2 k!
jcB ? cj Q?1I1 (2Q1=2 ) + (2n)?1I2 (2c1=2) :
Setzen wir n = b jB j c, so folgt unmittelbar der zweite Teil der Behauptung,
und das Theorem ist bewiesen.
48
Man stellt sofort fest, da der Grundzustand, das Funktional E (') also,
eine Reihe bemerkenswerter Symmetrien mit dem Vakuum-Funktional teilt:
E (ei') = E (') 0 < 2
E ((x)') = E (') ([
x)'(x0) = '^(x0 ? x)
c (x) = '
E (R') = E (') R'
^(R?1x); R 2 SO(3)
c (x) = '
E (P') = E (') P'
^(?x)
Physikalisch gesehen beschreibt E den Zustand des Bose-Einstein-Kondensats:
alle Teilchen haben sich im Impuls-Null-Zustand versammelt. Einzelne Teilchen daraus lassen sich sicher anregen und im Fock-Raum beschreiben. Wir
konstruieren nun das Weyl-System (H; E ) des Bose-Gases und zeigen die Beziehung zum Fock-System (HFock ; WFock ) und seinem Vakuum Fock 2 HFock
mit
(
Fock ; WFock ('); Fock ) = exp(? 21 k'k2) :
Dazu denieren wir L2(G) als den Hilbertraum uber der Eichgruppe G, d.h.
als den Raum aller Funktionen f : G ! C mit
Z 2
1
2
kf k = 2 d jf ()j2 < 1 :
0
Auf L2 (G) fuhren wir sodann den unitaren Operator U (') durch
Eichinvarianz:
Translationsinvarianz:
Rotationsinvarianz:
Spiegungssymmetrie:
?
(U (')f ) () = f () exp 2i1=2 Im
?R 3
d x '^(
x)
ein. Setzen wir nun
H = HFock L2 (G)
W (') = WFock (') U (')
= Fock 1
(mit 1 bezeichnen wir die konstante Funktion 1 in L2 (G)), so ist (H; W ) ein
Weyl-System mit der gewunschten Eigenschaft
(
; W (')
) = (
Fock ; WFock (')
Fock ) (1; U (')1) = E (') :
Das Bose-System spaltet also auf in einen Fock-Anteil und ein Kondensat,
wobei die Zustande des Kondensats durch den Raum L2 (G) beschrieben werden. Fur den Fock-Anteil allein existiert ein Teilchenzahloperator. Er zahlt
die Teilchen, die sich nicht in der kondensierten Phase benden.
Man hat die kondensierte Phase eines Bose-Gases oft auch den funften
Aggregatzustand genannt und die Bose-Kondensation fur das Phanomen der
49
Superuiditat in He4 verantwortlich gemacht. Daruberhinaus ist es in letzter
Zeit gelungen, verdunnte Gase aus Alkali-Atomen so weit abzukuhlen, da
ein Bose-Kondensat entstand. Hierfur wurde 2001 der Nobelpreis fur Physik
vergeben.
Schlielich geben wir noch den Ausdruck fur den Feldoperator A(') an,
der der oben beschriebenen Darstellung der Weyl-Operatoren entspricht:
A(') = AFock (') 1l + 1l V (') :
Hierin bezeichnet V (') den Operator
V (') = ?i dtd U (it')t=0
auf L2(G). Also
?
R
V (')f () = 21=2 Im ei d3x '^(x) f ()
(f 2 L2 (G)):
Hieraus folgt eine Darstellung fur das relativistische neutrale Skalarfeld:
A(x) = AFock (x) 1l + 1l S;
Sf () = (2=m)1=2 sin f () :
2.8 Higgs-Teilchen und das Higgs-Kondensat
Bevor wir den thermodynamischen Limes B ! R 3 ausfuhrten, waren alle
Grundzustande EB extremal (oder \rein"). Dies gilt nicht mehr fur deren
Limes E . Eine Ruckfuhrung auf extremale Zustande gelingt durch ein Integral
uber die Eichgruppe,
Z 2
1
d E ;
E = 2
0
mit den koharenten (und deshalb extremalen), aber nicht mehr eichinvarianten Zustanden
?
E (') = exp ? 12 k'k2 + iF (ei') ;
F (') = 21=2 Im
?R 3
d x '^(
x) :
Dies ist eine Folge der Integraldarstellung der Besselfunktion:
Z 2
?
1
J0(jzj) = 2
d exp i Im(eiz)
(z 2 C ):
0
Der Versuch einer Beschreibung des reell-linearen Funktionals F als F (') =
2Im( ; ) fuhrt auf ^(x) = 1=2 . Da die Funktion ^ konstant und somit nicht
50
quadrat-integrabel ist, liegt keiner der koharenten Zustande E im FockRaum. Einen Teilchenzahloperator einzufuhren verbietet sich von selbst: Bereits der Grundzustand hat unendlich viele Teilchen.
Fur jeden Wert von existiert ein neutrales Skalarfeld A(x) auf dem
Fockraum HFock , das sich von dem \freien Feld" zur Masse m nur um eine
additive Konstante unterscheidet:
A(x) = AFock (x) + (2=m)1=2 sin :
Der koharente Zustand E entspricht dem Fock-Vakuum .
Die geschilderte Situation nden wir im Salam-Weinberg-Modell der Elementarteilchenphysik: Das Higgsfeld entwickelt hier einen konstanten Vakuumerwartungswert
v = (
; A(x)
) = (2=m)1=2 sin 246GeV;
dem die fundamentalen Fermionen ihre Masse verdanken. Mit AFock (x) beschreiben wir das neutrale Higgs-Teilchen, dessen Masse m noch unbekannt
ist und moglicherweise in der Nahe von 160 GeV liegt. Es ist ublich, v
das Higgs-Kondensat zu nennen. Man macht sich leicht klar, da (=m)1=2
tatsachlich die Dimension einer Energie hat. Zu diesem Zweck fuhren wir die
Compton-Wellenlange = ~=(mc) ein, messen das Volumen in Einheiten von
3 und erhalten nach Wiedereinfuhrung von ~ und c:
(~3 c=m)1=2 = mc2 (3 )1=2 :
Der dimensionslose Ausdruck 3 ist von der Groenordnung 1. Er beschreibt
die Zahl der kondensierten Higgs-Teilchen, enthalten in jedem Wurfel mit
einer Seitenlange, die der Compton-Wellenlange entspricht. Beachte, da =m
das quadratische Mittel < v2 > ist, wenn uber den Winkel gemittelt wird.
2.9 Infrarotdarstellungen
Es gehort zu unseren wichtigen Einsichten, da die Emission von weichen
Photonen nicht durch die Fock-Darstellung des auslaufenden freien MaxwellFeldes
F (x) = @ A (x) ? @ A (x) ; @ F (x) = 0
beschrieben werden kann, weil die Zahl der Photonen formal unendlich, also
sinnlos ist. Moglich wird dies, weil die Photonen masselos sind. Die Einfuhrung
sogenannter Infrarot-Darstellungen wird erzwungen durch das singulare Verhalten des elektromagnetischen Stromes, der von den beschleunigten Ladungen hervorgerufen wird. Die Singularitat nden wir nach Fourier-Transformation
51
im Ursprung p = 0 des Impulsraumes. In ahnlicher Weise hat die Storungstheorie der QED mit Infrarot-Singularitaten der Feynman-Graphen zu kampfen, da sie von der Existenz einzelnen Photonen ausgeht.
Es zeigte sich, da koharente Zustande auerhalb des Fock-Raumes zu den
Infrarot-Darstellungen Anlass geben und in naturlicher Weise in Modellen
(klassische auere Strome, Bloch-Nordsieck-Modell, Pauli-Fierz-Modell usw.)
auftreten. Moglicherweise gibt es tiefere Grunde statistischer Art fur das
Auftreten koharenter Zustande, wenn, wie angenommen wird, die Emission
weicher Photonen durch den Poisson-Prozess beschrieben wird.
Um die Algebra der Weyl-Operatoren
? R
? R
exp i d4x 21 f (x)F (x) = exp i d4 x j (x)A (x) = W (') ;
fur das Photonfeld einzufuhren, gehen wir aus von reellen Testfunktionen
f (x) = ?f (x)
j (x) = @ f (x) ;
mit kompakten Trager und gelangen so zu einem Raum L von komplexen
Funktionen
'
(p) = (2)?3=2
Z
d4 x eipxj (x) ;
p0 = ! = jpj ;
die bei p = 0 hinreichend rasch verschwinden und die Bedingung p' = 0
erfullen, aus der
3 2
X
?' ' = 'i ? p!i '0 0
i=1
folgt. Funktionen ' p, fur die die rechte Seite verschwindet, fuhren zu
@ A = 0 in der Fock-Darstellung. Wir sind deshalb gehalten, A quivalenzklassen von Funktionen '(p) zu betrachten. In jeder Klasse wahlen wir
einen Reprasentanten mit '0 (p) = 0, dessen Normquadrat wir durch
k'k =
2
Z
d3p
2!
3
X
i=1
j'i(p)j2
P
denieren. Auerdem gilt 3i=1 pi 'i(p) = 0. Den so denierten Raum wollen wir mit L bezeichnen. Durch Vervollstandigung in der Norm erhalten
wir so einen Hilbertraum L0 von Ein-Photon-Wellenfunktionen in der sog.
Coulomb-Eichung. Das Skalarprodukt ('; '0) folgt in der gewohnten Weise.
Es ist Bestandteil der Weyl-Relation
W (')W ('0) = exp (?i Im('; '0)) W (' + '0) :
52
Die Coulomb-Eichung benutzend wollen wir weitere Normen einfuhren,
k'k1 =
2
Z
d3p
!
2! 1 + !
1 X
3
i=1
j'i(p)j2 ;
um spater die Singularitaten bei p = 0 besser in den Gri zu bekommen.
Durch Vervollstandigung erhalten wir neue Raume L1 . Wegen
! < 1 < 1 + ! d.h. k'k < k'k < k'k :
1
?1
1+!
!
bilden sie mit L zusammen ein Gel'fand-Tripel :
L?1 L0 L1 :
Dies bedeutet, da { bezuglich des Skalarproduktes ('; '0) { die Raume L1
und L?1 dual zueinander sind, wahrend L0 selbstdual ist.
Es sei (H; W0) die Fock-Darstellung des Weyl-Systems uber L mit dem
Vakuum und
WF (') = W0(')eiF (') (' 2 L)
fur ein reell-lineares Funktional F : L ! R . Dann deniert auch (H; WF ) ein
Weyl-System, so da darin einen koharenten Zustand beschreibt:
?
(
; WF (')
) = exp ? 21 k'k2 + iF (')
Man beweist nun leicht das folgende
Lemma 1. Seien F1 und F2 zwei reell-lineare Funktionale. Dann sind die
Weyl-Systeme (H; WF1 ) und (H; WF2 ) unitar aquivalent genau dann, wenn
jF1(') ? F2(')j C k'k
fur eine Konstante C gilt. In diesem Fall gibt es einen Vektor 2 L0 mit
F1(') ? F2 (') = 2 Im(; ') :
Mit dem unitaren Operator U = W0 ( ) folgt
UWF1 (')U ?1 = WF2 (') :
Auf dem Raum L operiert die Gruppe der Raumzeit-Translationen:
(x)'(p) = e?ipx'(p) ; p = (p ) = (jpj; p):
53
Sie konnen auf den Raumen Ln zu unitaren Operatoren V (x) erweitert werden. Ebenso existiert eine unitare Darstellung U0 der Translationen auf dem
Fock-Raum, so da U0 (x)W0 (') = W0((x)')U0 (x) gilt. Dies garantiert noch
nicht, da der Automorphismus
WF (') 7! WF ((x)')
(29)
unitar implementiert werden kann, was unverzichtbar fur die Existenz eines
Energie-Impuls-Operators ist. Das entscheidende Kriterium wollen wir nun
formulieren. Es folgt im wesentlichen aus dem Lemma 1.
Lemma 2. Die folgenden Aussagen sind aquivalent:
1. Der Automorphismus (29) ist fur jedes x unitar implementiert.
2. jF (') ? F ((x)')j C (x)k'k.
3. F ((x)') = 2 Im( (x); ') mit (x) 2 L0 .
Gilt U (x)WF (') = WF ((x)')U (x) fur ein unitares U (x), so hat die Gestalt
U (x) = (x)U0 (x)W0 ( (x));
j(x)j = 1 :
(30)
Die Funktion (x) erfullt
(x + y) = V (y) (x) + (y) :
(31)
Die Relation (31) charakterisiert (x) als einen 1-Kozyklus bezuglich der
Darstellung V der Translationsgruppe auf L0 . 1-Kozyklen (engl. cocycles)
bilden einen komplex-linearen Raum Z 1(V; L0 ). Spezielle 1-Kozyklen haben
die Gestalt
(x) = (1l ? V (x) ) ; 2 L0 :
Sie heien 1-Korander (engl. coboundaries) und bilden einen Teilraum B 1(V; L0 ).
Ist (x) ein Korand und
(x) = exp (i Im(; V (x))) ;
(32)
so folgt U (x) = W0()U0 (x)W0 () fur den Operator U (x) in (30). Korander
dieser Art sind typisch fur eine Situation, wo der koharente Zustand durch
F (') = 2 Im(; ') charakterisiert ist. Solche Zustande gehoren zum FockSektor und bieten nichts neues.
Wenn wir anstelle von Photonen massive Bosonen studieren, so ware jeder 1-Kozyklus ein 1-Korand: Wir konnten hier keine neuen Darstellungen
54
gewinnen3 . Im Fall masseloser Teilchen gewinnen wir jedoch sog. Infrarotdarstellungen. Wegen Im(; ) = 0 kann die Formel (32) umgeschrieben werden:
(x) = exp (i Im(; (V (x) ? 1l))) = exp (i Im(; (x))) :
Sie gibt nun einen Hinweis darauf, da ein groerer Raum von Korandern,
namlich B 1 (V; L1) zulassig ist:
(x) = (1l ? V (x)) 2 L?1 ; 2 L1 :
Die Beobachtung wird erhartet durch das folgende
Theorem. Drei Aussagen sind aquivalent:
1. Es existiert eine stetige unitare Darstellung der Translationsgruppe, die
die Automorphismen (29) implementiert mit physikalischem Spektrum
fur Energie und Impuls.
2. jF (' ? (x)')j M (x)k'k1 und limx!0 M (x) = 0.
3. F (') = F0 (') + 2 Im(; ') mit 2 L1 und einem translationsinvarianten Funktional F0.
Die Darstellung der Translationen hat die Form
U (x) = ei (x) U0 (x)W0( (x))
mit (x) = (1l ? V (x) ) und (x) = Im(; (x)). Wir erfahren so, da die
Infrarotsektoren durch Elemente des Quotienten L1 =L0 charakterisiert sind
(fur massive Teilchen ware L1 = L0 und der Quotient trivial). Durch eine
leichte Rechnung bestatigt man die nutzliche Formel
(
; U (x)
) = exp(; (V (x) ? 1l)) :
(33)
In Rechnungen der QED { insbesondere bei Streuquerschnitten { tritt ein
\Korrekturfaktor" auf, der die unbeobachtete Strahlung bei kleinen Frequenzen berucksichtigt. Er stellt eine Wahrscheinlichkeit dar und ist bezogen auf
die Spektralzerlegung eines geeigneten koharenten Zustandes:
Z
(
; U (x)
) = (
; dE (k)
) eikx :
Angenommen, n einlaufende und m auslaufende Teilchen nehmen teil an einem Streuprozess mit den Impulsen ?p1 ; : : : ; ?pn ; pn+1; : : : ; pn+m und den
3
Abgesehen von einem moglichen Kondensat.
55
P
elektrischen
Ladungen ?e1 ; : : : ; ?en; en+1; : : : ; en+m, so da p = 0 und
P
e = 0 gilt. Die Abstrahlung weicher Photonen kann in guter Naherung durch einen koharenten Zustand EF beschrieben werden mit F (') =
2 Im(; '), wobei aus dem klassischen Strom
j (x) =
X
e p
Z 1
0
4(x ? p)
hervorgeht (siehe den Zusammenhang von j und ' zu Beginn des Kapitels).
Sei B ein Bereich des Energie-Impuls-Raumes, der der unbeobachteten Strahlung entspricht. Sei s ein cuto fur die Frequenzen einzelner Photonen, verknupft mit der Auosung der Zahler. Dann ist der genannte Korrekturfaktor
identisch mit
Z
Z
1
4
(
; E (B )
) = (2)4 d k d4x
B
R4
8
<
exp : (21 )3
Z
d3p
!<s
2!
"
(eipx ? 1)
X
ee (p?(pp)(pp p) )
#
!=p0 =jpj
9
=
? ikx;
Das Auftreten eines Kondensates ist wenig wahrscheinlich, weil es keine Photonenzahlerhaltung gibt. Nehmen wir etwa die Hohlraumstrahlung bei der
Temperatur T und kuhlen ein solches Gas ab, so verschwinden nacheinander
alle Photonen, bis bei T = 0 ein leerer Hohlraum ubrig bleibt. Dennoch ist
aus rein theoretischen Grunden die Existenz eines Kondensates unter geeigneten Bedingungen nicht auszuschlieen.
Die Beweise fur alle in diesem Kapitel gemachten Behauptungen ndet man in: G.R.: Coherent Photon States and Spectral Condition, Commun.math.Phys. 19, 301-314 (1970).
2.10 Die Gel'fand-Neumark-Segal-Konstruktion
Wenn ein Zustand E uber L gegeben ist, so sind wir aufgrund unserer bisher
durchgefuhrten Analyse keineswegs sicher,
ob ein Weyl-System (H; W ) und ein Vektor 2 H existiert, so da
(; W (')) = E (') fur alle ' 2 L darin gilt,
wie sich verschiedene Weyl-Systeme zueinander verhalten, fur die Vektoren mit dieser Eigenschaft existieren.
56
Dies sind Fragen nach der Existenz und der Eindeutigkeit. Beide Fragen nden Antworten, wenn wir die folgende Begrisbildung heranziehen.
Denition. Ein Weyl-System (H; W; ) mit dem Vektor 2 H heit zyklisch, wenn die Menge fW (') j ' 2 Lg total4 ist. Ferner, (H; W; ) und
(H0 ; W 0; 0) heien aquivalent, wenn es eine unitare Abbildung U : H ! H0
gibt, so da UW (') = W 0(')U und U = 0 gilt.

Satz. Zu jedem Zustand E gibt es ein bis auf Aquivalenz
eindeutiges zyklisches Weyl-System (H; W; ) mit E (') = (; W (')).
P
Beweis. Wir betrachten alle formalen endlichen Summen ci['i ] mit komplexen Koezienten ci , d.h. wir konstruieren den linearen Raum uber einer
Menge. Die Menge erhalten wir aus L, indem wir die lineare Struktur von
L vergessen (oder ignorieren). Wir wollen den so erhaltenen linearen Raum
mit L bezeichnen. Auf L konnen wir durch
k Pj cj ['j ] k2 = Pjk cj ck E ('k ? 'j ) exp(i Im('j ; 'k ))
eine Halbnorm k k einfuhren. Alle Vektoren von L, deren Halbnorm verschwindet, bilden einen linearen Teilraum N . Vektoren, die sich um Elemente
von N unterscheiden sollen identiziert werden. Der Quotentienraum L=N
wird somit zu einem normierten komplex-linearen Raum. Da aus der Norm
sich das Skalarprodukt ableitet, ist L=N sogar ein Pra-Hilbertraum5. Durch
Vervollstandigung erhalten wir daraus einen Hilbertraum:
H = (L=N )?
Dies beendet den ersten Teil der GNS-Konstruktion. Durch
W (')['0] = ei Im(';'0 ) [' + '0]
(und einer linearen Fortsetzung) ist ein Operator W (') auf L gegeben. Wegen
k Pj cj ei Im('j ;') ['j + '] k2 = k Pj cj ['j ] k2
lat sich W (') zu einem isometrischen Operator auf H erweitern. Die WeylRelation
W (')W ('0) = e?i Im(';'0) W (' + '0)
Eine Menge von Vektoren heit total, wenn die daraus gebildeten endlichen Linearkombinationen dicht im Hilbertraum sind.
5 Ein Raum mit allen Eigenschaften eines Hilbertraumes mit Aunahme der Vollst
andigkeit.
4
57
kann unmittelbar veriziert werden. Desgleichen W (0) = 1l und W (') =
W (?'), sowie die Tatsache, da W (') unitar ist. Schlielich setzen wir =
[0] und sehen so, da die Vektoren W (') = ['] eine totale Menge in H
bilden und da
(; W (')) = ([0]; [']) = E (')
gilt.
Wir haben noch zu zeigen, da die so gewonnene Darstellung bis auf
unitare A quivalenz eindeutig ist. Sei also (H0 ; W 0; 0) ein weiteres zyklisches
Weyl-System mit der Eigenschaft E (') = (0; W 0(')0). Durch T ['] = W 0(')0
ist eine lineare Abbildung T : L ! H0 deniert. Oenbar gilt
k Pj cj W 0('j )0k2 = Pjk cj ck (0; W 0('k ? 'j )0)ei Im('j ;'k)
P
P
= jk cj ck E ('k ? 'j )ei Im('j ;'k ) = k j cj ['j ]k2
so da der Kern der Abbildung T mit N ubereinstimmt, d.h. T faktorisiert:
U 0
T : L ! L=N !
H
wobei U eine Isometrie ist und sich auf ganz H in eindeutiger Weise fortsetzen
lat. Da die Vektoren fW 0(')0 j ' 2 Lg als eine totale Menge vorausgesetzt
war, existiert eine durch W 0(')0 7! ['] denierte inverse isometrische Abbildung U ?1 , und U ist unitar. Oenbar gilt
UW (')['0] = ei Im('0 ;') U [' + '0] = ei Im('0 ;') W 0(' + '0)0
= W 0(')W 0('0)0 = W 0(')U ['0 ]
fur alle '0 2 L und somit
UW (') = W 0(')U ; U = U [0] = W 0(0)0 = 0 :
Damit sind die Systeme (H; W; ) und (H0; W 0; 0) aquivalent.
Es fehlt noch der Nachweis, da fur den durch die GNS-Konstruktion
gewonnene Weyl-Operator die Abbildung t 7! W (t') stetig (bei t = 0) im
Sinne der starken Operatortopologie ist. Wegen
k(W (t') ? 1l)k2 2j(; (W (t') ? 1l))j
genugt es aber, die Stetigkeit im Sinne der schwachen Operatortopologie zu
zeigen, wobei wir uns noch auf eine dichte Menge von Vektoren beschranken
konnen, da die Norm der Operatoren W (t') ? 1l t-unabhangig abgeschatzt
werden kann: kW (t')P
? 1lk 2. Wahlen wir als dichte Menge die endlichen
Linearkombinationen i ci['i], so bleibt nur noch die Stetigkeit von
(['1]; W (t')['2]) = E ('2 ? '1 + t') exp (i Im [('1; '2) + t('1 + '2; ')])
d.h. von E ('0 + t') zu prufen. Diese Stetigkeit ist aber Teil der Voraussetzungen an den Zustand E .
58
2.11 Thermo-Feldtheorie
Das Ziel ist nun die Einfuhrung der Temperatur T , aquivalent = (kT )?1,
und des chemischen Potentials als neue Variablen in die Feldtheorie. Wir
beginnen mit einem (Bose-)Freiheitsgrad, der kanonischen Vertauschungsrelation [a; ay] = 1l und den Observablen
H = !aya ;
N = ay a
Fur dieses sehr einfache System wird das grokanonische Ensemble durch
den Erwartungswert
?
Spur Ae?(H ?N )
hAi; = Spur (e?(H ?N ) )
beschrieben, wobei A irgendeine Observable darstellt. Eine elementare Rechnung liefert die Formeln:
hayai; = e(!?1) ? 1 ; haayi; = 1 ? e?1(!?)
Um dieses Ergebnis auf das freie neutrale Skalarfeld A(x) ubertragen zu
konnen, mussen wir dieses zunachst in einem Kasten mit dem Volumen V
quantisieren, damit das Spektrum der Energie diskret wird, und am Ende
den thermodynamischen Limes V ! 1 ausfuhren. Das Ergebnis fur die
2-Punktfunktion lautet:
Z 3
?ip(x?y) + e?(!?) eip(x?y)
1
:
hA(x)A(y)i; = (2)3 d2!p e
1 ? e?(!?)
p
Im Gegensatz zu ist ! = m2 + p2 kein Parameter, sondern eine Funktion
des Impulses p.
R
Sei f (x) eine reelle Testfunktion, A(f ) = d4x f (x)A(x) und
Z
1
'(p) = (2)3=2 d4x f (x)eipx ;
Dann ist der Grundzustand durch
?
p0 = ! :
E (') = hexp(iA(f ))i; = exp ? 21 hA(f )2i; = exp(? 21 k'k2;)
gegeben mit
Z
3
k'k = d2!p j'(p)j2 coth( 12 (! ? )) :
2
;
59
Der Zusammenhang zwischen der Dichte (Anzahl der Teilchen pro Volumen) und dem chemischen Potential ist durch
Z
1
= (2)3 d3p e(!?1) ? 1 ; < m
gegeben. Bei festem ist somit
Z
1
< krit = (2)3 d3p e(!?m1 ) ? 1 :
Erreicht die kritische Dichte, setzt die Bose-Einstein-Kondensation ein und
es gilt bei nunmehr festem = m
Z
1
= 0 + (2)3 d3 p e(!?m1 ) ? 1
sobald > krit, wobei 0 die Dichte des Kondensates darstellt. Es gibt eine
Reihe von Zustanden, die das 2-Phasenmodell beschreiben:
?
E (') = exp ? 21 k'k2;m + iF (ei') ;
F (') = 210=2 Im
?R 3
d x '^(
x) :
Wie im Kapitel 2.8 haben wir auch hier
'^(x) = (2)?3=2
gesetzt, so da
Z
Z
pd p '(p) eipx
2!
3
3 1=2
= (2)
'(0) :
2m
Der Gauische Charakter der hier beschriebenen Zustande ist charakteristisch fur das ideale Bose-Gas. Nach Einschaltung von Wechselwirkungen
erwarten wir deutliche Abweichungen von der Gau-Funktion.
d3x '^(x)
2.12 Wigner-Funktionale
In der klassischen Mechanik werden Observable durch Funktionen auf dem
Phasenraum beschrieben. Wigner hatte die Idee, auch in der Quantenmechanik die Observablen, oder allgemeiner, Operatoren auf dem Hilbertraum
durch Funktionen von p und q zu reprasentieren. Wir beschreiben das Wesentliche dieser Zuordnung anhand von Systemen mit einem Freiheitsgrad:
[a; ay] = 1l ;
60
a
= 0 :
Die Beziehung zu der Heisenberg-Relation [Q; P ] = i1l wird durch
a = p1 (P ? iQ) ; ay = p1 (P + iQ)
2
2
hergestellt. In Analogie zu den Weyl-Operatoren und den koharenten Zustanden
der Feldtheorie bildet man
jp; qi = W (p; q)
:
W (p; q) = ei(pQ?qP ) ;
Hierbei werden p und q als reelle Variable eines ktiven klassischen Phasenraumes aufgefasst. Dem Raum L des Weyl-Systems entspricht
p der Phasenraum, der Funktion '(p) die komplexe Variable (?q ? ip)= 2.
Jedem Operator A wird nun die Wigner-Funktion
A^(p; q) = hp; qjAjp; qi
zugeordnet6 . Man zeigt leicht, da diese Funktion den Operator A in eindeutiger Weise charakterisiert. Ist eine normierte Wellenfunktion, so existiert
eine komplexwertige Funktion w(p; q) derart, da
( ;A ) =
Z
dpdq w(p; q)A^(p; q)
fur alle Operatoren A gilt. Man nennt w(p; q) die Wigner-Distribution des
durch beschriebenen Zustandes. Sie spielt eine wichtige Rolle in semiklassischen Naherungen und in der Theorie des Quantenchaos7 .
Diese U berlegungen lassen sich muhelos auf endlich viele Freiheitsgrade
ubertragen. Bei unendlich vielen Freiheitsgraden ist Vorsicht geboten. Wir
nden aber eine Entsprechung der Idee von Wigner in der Fock-Darstellung
(H; W; ) des freien neutralen Skalarfeldes. Indem wir namlich die koharenten
Zustande
j'i = W (')
einfuhren, kann jeder Operator A auf dem Fock-Raum durch das WignerFunktional
A^(') = h'jAj'i
charakterisiert werden. Die Behauptung, da hierdurch der Operator eindeutig bestimmt ist, erfordert jedoch einen gewissen Aufwand. Die folgende
Begrisbildung ist hierbei nutzlich:
Der Einfachheit halber betrachten wir nur beschrankte Operatoren.
Siehe hierzu M.C. Gutzwiller: Chaos in Classical and Quantum Mechanics, Springer
1990.
6
7
61
Denition. Sei L ein komplex-linearer Raum und H ein Hilbertraum. Eine
Funktion F : L ! H heit ganze Funktion, falls fur jede endliche Menge
('i)n1 von Vektoren in L die Funktion
f (z1 ; : : : ; zn) = F (z1'1 + + zn'n)
(zi 2 C )
analytisch in ganz C n ist.
Aufgund eines Theorems von Hartog8 ist F bereits ganz im obigen Sinne,
wenn g(z) = F (z' + '0) fur alle '; '0 2 L eine ganze Funktion ist9.
Satz. Fur das Fock-System (H; W; ) ist
1
F (') = e 2 k'k2 W (')
eine ganze Funktion.
1
Beweis. Wegen F (z' + '0) = e 2 k'0 k2 +z('0;')P
W ('0)F (z') genugt es, die Analytizitat von F (z') nachzuweisen. Sei N = nEn die Spektralzerlegung des
Teilchenzahloperators. Dann gilt
Z 2
1
EnF (') = 2
dt e?intF (eit') ;
0
(F ('); F ('0)) = e(';'0 )
und
Z 2
1
kEnF (')k = (F ('); EnF (')) = 2 dt exp ??int + eit k'k2 = n1! k'k2n ;
0
P
so da die Reihe f (z) = znEn F (') uberall absolut konvergiert und folglich
eine ganze analytische Funktion darstellt. Es folgt:
2
(F ('0); f (z))
1
X
Z 2
1
dt e?int(F ('0); F (eit'))
=
2
0
n=0
Z
1
2
X
?
=
zn 21
dt exp ?int + eit ('0; ')
0
n=0
1
n
Xz
=
('0 ; ')n = e('0 ;z') = (F ('0); F (z')) :
n=0 n!
zn
siehe Bochner,Martin: Several Complex Variables, Chapter VII.
Den Begri einer ganzen analytischen Funktion mit Werten in einem komplexen
Banach-Raum ndet man bei Dieudonne: Foundations of Modern Analysis, Chapter IX.
8
9
62
Da die Vektoren F ('0) total in H sind, folgt f (z) = F (z'), die Behauptung
des Satzes.
Insbesondere folgt aus dem Satz, da fur jeden Vektor 2 H die Funktionen
f (z) = (; F (z' + '0 )) ; f (z) = (F (z' + '0; )
ganz analytisch sind. Wir formulieren nun die entscheidende Behauptung:
Satz. Sei (H; W; ) das Fock-System,
1
j'i = W (')
= e? 2 k'k F (')
und A ein beschrankter Operator in H. Aus h'jAj'i = 0 fur alle ' 2 L folgt
2
A = 0.
Beweis. Die Funktion
?
?
?
f (z1 ; z2) = ?F z1?i 21 (' ? '0) + 21 (' + '0) ;AF ?z2 2i (' ? '0) + 21 (' + '0) = AF z1 2i (' ? '0) + 21 (' + '0 ) ; F z2 i 21 (' ? '0) + 21 (' + '0)
ist ganz analytisch in z1 (fur festes z2 ), ebenso in z2 (fur festes z1 , dann
aber auch in (z1 ; z2) 2 C 2 aufgrund des Theorems von Hartog. Schlielich ist
g(z) = f (z; z) ganz analytisch in z. Nach Voraussetzung verschwindet g(z)
entlang der reellen Aachse. Folglich gilt g(z) = 0 uberall in C . Insbesondere
g(i) = (F ('); AF ('0) = 0 fur beliebige Vektoren '; '0 2 L und somit A = 0,
was den Beweis beendet.
Der Satz sagt uns, da der Operator A durch sein Wigner-Funktional
h'jAj'i eindeutig bestimmt ist. Denn sei
h'jAj'i = h'jB j'i ;
so gilt h'jA ? B j'i = 0 und folglich A = B .
Der Satz hat auch eine weitere interessante Folgerung.
Satz. Sei (H; W; ) das Fock-System und A ein beschrankter Operator in H
mit AW (') = W (')A fur alle ' 2 L. Dann gilt A = c1l mit c = (
; A
).
Beweis. Mit B = A ? (
; A
)1l und der Relation W (')BW (') = B (aufgrund der Voraussetzung) erhalten wir
h'jB j'i = ek'k (
; W (')BW (')
) = ek'k (
; (A ? (
; A
)1l)
) = 0
2
2
also B = 0 durch Anwendung des vorigen Satzes.
63
2.13 Weitere Eigenschaften des Fock-Weyl-Systems
Wie wir sahen, geht die Weyl-Formulierung der Feldtheorie von einem reelllinearen Teilraum L des Einteilchenraumes H1 und einer symplektischen
Form
('; '0) = Im('; '0)
aus. Besser gesagt, H1 erscheint als Abschlu von L bezuglich der durch
k'k2 = ('; ') gegebenen Normtopologie. Nur im Fock-System darf man wegen der besonderen Stetigkeit der Weyl-Operatoren W (') den Raum L mit
H1 identizieren. Es ist nicht uberraschend, da im Fock-System viele Aussagen in H1 eine Entsprechung im Fock-Raum H haben. Wir betrachten hier
einige Beispiele und benutzen dabei die Bezeichnungen des vorigen Kapitels.
Satz. Sei M H1 ein reell-linearer Teilraum. Dann sind folgende Aussagen
aquivalent:
1. M ist total in H1 .
2. fW (')
j ' 2 M g ist total in H.
Beweis. 1: ! 2: Sei 2 H und (; F (')) = 0 fur alle ' 2 M . Die Funktion
f (z) = (; F (z' + '0)) mit '; '0 2 M ist ganz analytisch und verschwindet
fur reelle z. Also verschwindet f (z) identisch, und (; F (')) = 0 fur alle
' 2 M [ iM . Da M reell-linear und total ist M [ iM komplex-linear und
dicht in H1. Da (; F (')) stetig in ' ist, folgt (; F (')) = 0 fur alle ' 2 H1.
Also gilt = 0. Denn fF (') j ' 2 H1g ist total in H.
2: ! 1: Sei '0 2 H1 und ('0; ') = 0 fur alle ' 2 M . Fur = ? F ('0) 2 H
gilt
1
(; W (')) = e? 2 k'k2 1 ? e('0 ;') ;
kk2 = ek'0 k2 ? 1 :
Wir nden daher (; W (')
) = 0 fur alle ' 2 M und somit = 0, da
fW (')
j ' 2 M g dicht in H ist. Die Aussage kk = 0 impliziert k'0k = 0.
Folglich ist M total in H1 , was den Beweis beendet.
Sei M ein reell-linearer Teilraum von H1 und
M 0 = f' 2 H1 j ('; '0) = 0; '0 2 M g ;
das Komplement von M bezuglich der symplektischen Form . Wegen j('; '0)j k'k k'0k ist M 0 ein abgeschlossener reell-linearer Teilraum von H1. Das doppelte Komplement, M 00 , stellt den Abschluss von M bezuglich der Normtopologie dar. M heit regular, falls M \ M 0 = f0g. Wir denieren die von64
Neumann-Algebra R(M ) als den schwachen Abschlu der durch die Operatoren W (') erzeugten Algebra10:
R(M ) = fW (') j ' 2 M g00 :
Es gelten die leicht zu beweisenden Aussagen:
(A) R(M ) = R(M 00 ).
(B) R(M 0 ) R(M )0 .
(C) M1 M2 impliziert R(M1 ) R(M2 ).
Die erste Aussage ist eine Folge der Stetigkeit von W ('), die zweite eine Folge
der Weyl-Relationen und die dritte eine unmittelbare Folge der Denition von
R(M ).
Satz. Die folgenden Aussagen sind fur reell-lineare Teilraume M1; M2 H1
aquivalent:
(a) R(M1 ) R(M2 ).
(b) M100 M200 .
Beweis. (a)!(b) ist eine Folge von (A) und (B). Zum Beweis von (b)!(a)
nehmen wir M100 6 M200 an. Daraus folgt M20 6 M10 . Also existiert ' 2 M20 , so
da 62 M10 . Zu diesem ' nden wir ein '0 2 M1 , so da Im('0; ') = =2
und
[W ('); W ('0)] = 2iW (' + '0) sin (Im('0; ')) = 2iW (' + '0) 6= 0;
also W (') 62 R(M1 )0. Andererseits, W (') 2 R(M20 ) R(M1 )0, also auch
R(M2 )0 6 R(M2 )0 und somit R(M1 ) 6 R(M2). q.e.d.
Sei 1l der Einheitsoperator in H, C H = fc1l j c 2 C g und M H1 ein linearer
Teilraum.
Corollar. Die folgenden Aussagen sind aquivalent fur einen reell-linearen
Teilraum M H1:
(a) R(M )0 = C H
(b) M 0 = f0g
10 Mit A0 = fB j [A; B ] = 0; A 2 Ag bezeichnet man den Kommutator einer Menge A
von Operatoren. Der Doppelkommutator A00 heit der schwache Abschlu von A.
65
Beweis. Aufgrund des vorangegangenen Satzes ist R(M ) = R(H1) gleichbedeutend mit M 00 = H1.
Ein Vergleich von Eigenschaften der Vektoren W (')
mit Eigenschaften
der Operatoren W (') fuhrt zu der folgenden interessanten U bersicht:
fW (')
j ' 2 M g? = f0g
fW (') j ' 2 M g0 = C H
,
,
M ? = M 0 \ iM 0 = f0g
M 0 = f0g
Identizieren wir L mit M , so erkennen wir hier, welche Bedingungen an L
notig sind, damit das Fock-Weyl-System (H; W; ) uber dem symplektischen
Raum (L; ) die gewunschten Resultate hervorbringt, d.h. ohne Einbue an
Information alle Zustande, Operatoren usw. zu konstruieren erlaubt.
66
3 Grundlagen der Eichtheorien
3.1 Mannigfaltigkeiten
Dierentialgeometrie ist das Studium von Mannigfaltigkeiten und den Abbildungen zwischen ihnen. Grob gesprochen handelt es bei einer Mannigfaltigkeit um einen topologischen Raum M , der lokal wie der R n aussieht
und eine dierenzierbare Struktur besitzt. Man nennt dann n die Dimension
von M . Wird der R n durch C n ersetzt, so spricht man von einer komplexen
Mannigfaltigkeit der Dimension n. Wir werden uns jedoch auf reelle Mannigfaltigkeiten konzentrieren und beginnen mit einer Reihe von Denitionen.
Denition. Ein topologischer Raum M heit topologische Mannigfaltigkeit
der Dimension n, wenn jeder Punkt eine Umgebung U besitzt, die homeomorph zu einer oenen Teilmenge des R n ist:
: U ! (U ) R n :
Man nennt dann (U; ) eine Koordinatenkarte, oder kurz Karte, von M .
Unter einem Atlas versteht man eine Familie von Karten, die M uberdecken:
A = f(Ui; i); i 2 I j Si2I Ui = M g :
Zwei Atlanten A und A0 heien vergleichbar, falls ihre Vereinigung A [ A0
wieder ein Atlas ist. Ein Atlas heit maximal, wenn jeder vergleichbare Atlas
darin enthalten ist, dierenzierbar, wenn fur je zwei seiner Karten (Ui ; i)
und (Uj ; j ) mit Uij = Ui [ Uj 6= ; die U bergangsfunktion
ij = i ?j 1 : j (Uij ) ! i(Uij )
vom Typ C 1, d.h. unendliche oft dierenzierbar ist. Ein maximaler dierenzierbarer Atlas wird eine dierenzierbare Struktur genannt. Eine topologische
Mannigfaltigkeit mit einer dierenzierbaren Struktur heit dierenzierbare
Mannigfaltigkeit.
In der Folge wird Dierenzierbarkeit stillschweigend vorausgesetzt. Kompakte Mannigfaltigkeiten haben die Eigenschaft, da man stets einen endlichen Atlas fur sie nden kann. Die bekannteste kompakte Mannigfaltigkeit,
die n-dimensionale Sphare S n, kann bereits durch zwei Karten uberdeckt
werden. Man beachte, da jede Lie-Gruppe G u.a. eine Mannigfaltigkeit mit
dierenzierbarer Struktur ist. So ist die SU(2) als Mannigfaltigkeit mit der
Sphare S 3 identisch.
67
Denition. Eine Abbildung f : M ! M 0 zwischen zwei Mannifaltigkei-
ten heit dierenzierbar, wenn fur beliebige Karten (U; ) und (U 0 ; 0) in M
bzw. M 0 die Abbildung 0 f ?1 vom Typ C 1 ist. Die Menge solcher
Abbildungen wird mit F (M; M 0 ) bezeichnet. Eine besondere Rolle spielt die
kommutative Algebra
? = F (M; R)
aller C 1-Funktionen auf M . Man darf mit Recht behaupten, da die Kenntnis von ? identisch sei mit der dierenzierbaren Struktur auf einer topologischen Mannigfaltigkeit11. Alle weiteren Konstruktionen von Objekten uber
M gehen von der Algebra ? aus. Anmerkung: Die nicht-kommutative Geometrie (A. Connes) verzichtet auf das Objekt M und geht von einer nichtkommutativen Algebra ? aus.
Eine Abbildung f 2 F (M; M 0 ) heit ein Dieomorphismus, wenn f ?1
existiert und dierenzierbar ist. Mit Di(M ) bezeichnet man die Gruppe der
Dieomorphismen von M .
Jede Derivation X der Algebra ? wird Vektorfeld auf M genannt. Die Menge
der Vektorfelder wollen wir mit V bezeichnen. Zur Erinnerung, eine Derivation hat zwei Eigenschaften:
1. Linearitat: X (f + g) = Xf + Xg
2. Leibniz Regel: X (fg) = fXg + gXf .
In lokalen Koordinaten xi hat X dann immer die Gestalt X i@i , wobei die
X i Funktionen der xi sind und die Komponenten des Vektorfeldes genannt
werden. In jedem Punkt x 2 M induziert X eine lineare Abbildung
X (x) : ? ! R ; f ! (Xf )(x) ;
Tangentenvektor im Punkt x genannt. In lokalen Koordinaten kann X (x) mit
einem Vektor in R n identiziert werden. Die Menge der Tangentenvektoren
im Punkt x wird mit TxM bezeichnet und heit der Tangentialraum in x. Die
(disjunkte) Vereinigung aller Tangentialraume wird mit TM bezeichnet und
stellt das einfachste Beispiel eines Vektorbundels dar mit dem Basisraum M ,
der naturlichen Projektion : TM ! M und der typischen Faser R n (jeder
Raum TxM ist homeomorph zu R n ). In dieser Sprache ist ein Vektorfeld nicht
anderes als ein dierenzierbarer Schnitt des Tangentialbundels TM , d.h. eine
Abbildung
X : M ! TM ; so da X = id ;
11 Ist die Dimension n 4, so kann es mehrere solcher Strukturen auf M geben.
68
wobei id: M ! M die identische Abbildung darstellt. In Worten: X ordnet
jedem Punkt x 2 M ein Vektor in TxM zu. Wenn wir allgemein die Schnitte
eines Bundels E mit ?(E) bezeichnen, so gilt
V = ?(TM ) :
Wichtig ist die Einsicht, da man jedes f 2 F (M; M 0 ) dierenzieren kann.
Man wahlt hierzu Karten (U; ) und (U 0 ; 0) in M bzw. M 0 und fuhrt die
Ableitung an 0 f ?1 aus. Das Ergebnis ist eine lineare Abbildung
Txf : TxM ! Tf (x) M 0
in jedem Punkt x 2 M . In lokalen Koordinaten wird Txf durch eine Matrix
von partiellen Ableitungen (in dem gegebenen Punkt) reprasentiert. Variiert
x uber M , so ergibt dies eine Abbildung
Tf : TM ! TM 0
zwischen den Tangentialbundeln.
Eine weitere wichtige Einsicht ist, da die Gesamtheit der Vektorfelder
eine Lie-Algebra bildet unter dem Kommutator [X; Y ] = X Y ? Y X .
Denn in lokalen Koordinaten ndet man
?
[X; Y ] = X j (@j Y k ) ? Y j (@j X k ) @k :
Mehr noch: Mit X ist auch fX ein Vektorfeld fur jedes f 2 ?(M ). Beachte,
da ein Produkt der Form X Y fur sich genommen kein Vektorfeld darstellt,
weil es Ableitungen 2. Ordnung beinhaltet.
Vektorfelder spielen eine prominente Rolle in der Theorie der dynamischen Systeme, speziell auch in der klassischen Mechanik und der Ergodentheorie. Sie dienen zur Beschreibung von kontinuierlichen Symmetrien, von
Erhaltungsgroen und der zeitlichen Evolution, die durch eine Dierentialgleichung der Form
d f = Xf ; f 2 ?
(34)
t
t
dt t
charakterisiert wird. Statt also Bahnen x(t) im Phasenraum zu studieren,
betrachtet man Funktionen f (x(t)) = ft(x) mit x(0) = x 2 M . Bewegungsgleichungen, die x(t) denieren, sind typischerweise nichtlinear, wahrend (34)
eine lineare Dierentialgleichung darstellt, was ein entscheidender Vorteil ist.
69
3.2 Dierentialformen
Zu jedem Tangentialraum TxM betrachtet man den Dualraum Tx M der Linearformen auf TxM und die hierdurch denierte Abbildung
h; i : TxM TxM ! R :
Die Gesamtheit der Raume Tx M deniert das Kotangentialbundel T M . Ein
Schnitt
A : M ! T M (A = id)
ist dann gewissermaen das duale Objekt zu einem Vektorfeld und heit eine
1-Form. In lokalen Koordinaten schreibt man
A = Ai(x) dxi
unter der Vereinbarung h@j ; dxii = ji . Die Ai sind C 1-Funktionen der lokalen
Koordinaten und heien die Komponenten von A.
Die Menge aller 1-Formen soll mit V bezeichnet werden. Die Konstruktion liefert gleichzeitig eine Abbildung
h; i : V V ! ?
(35)
so da hX; Ai in lokalen Koordinaten durch die Funktion X iAi beschrieben
wird. Gleichzeitig konnen wir 1-Formen als Schnitte des Kotangentialbundels
T M auassen. Somit gilt
V = ?(T M ) :
Schlielich konnen wir in jedem Punkt x 2 M die auere Algebra
V TM
x
=
n V
X
k
k=0
Tx M
(n = DimM )
V
konstruieren,
V0 um so das Kotangentialb
V0 undel T M zu erhalten. Man vereinbart Tx M = R . Damit wird T M zu dem trivialen Bundel M R .
Jeder Schnitt
V
B : M ! k TxM
heit k-Form. Eine 0-Form ist ganz einfach eine Funktion f 2 ?(M ). In
lokalen Koordinaten hat eine 2-Form F die Gestalt:
F = 21 Fik (x) dxi ^ dxk
70
mit Komponenten Fik = ?Fki . Klassische Feldtheorie, insbesondere die Maxwellsche Theorie, benutzt
ome usw.), die man
V Objekte (Felder, Potentiale, Str
als Elemente von ?( T M ) aufzufassen hat.
Die Abbildung (35) kann in kanonischer Weise erweitert werden zu einer
Abbildung
h; i : ?(Vk TM ) ?(Vk T M ) ! ?
so da
hX1 ^ ^ Xk ; u1 ^ ^ uk i = Det(f ) ;
f = hX; u i 2 ? :
Wir fuhren vereinfachende Bezeichnungen ein,
V
= ?( T M )
=
n
X
k=0
k ;
V
k = ?( k T M ) ;
und merken an, da eine Algebra und 0 = ? ist. Aus der Vektoranalysis
kennt man die auere Ableitung :
d : ! ;
d : k ! k+1
(man setzt k = f0g fur k > n) mit der charakteristischen Eigenschaft
d2 = 0. Sie fuhrt eine k-Form in eine (k + 1)-Form uber und kann durch drei
denierende Eigenschaften charakterisiert werden:
(1) Falls f 2 0 , so ist df 2 1 durch
hX; df i = Xf
gegeben.
(2) Falls u 2 1 , so ist du 2 2 durch
hX ^ Y; dui = X hY; ui ? Y hX; ui ? h[X; Y ]; ui
gegeben.
(3) Es gilt eine Leibniz-Regel (Produktregel der Dierentiation) der folgende Art:
d(u ^ v) = (du) ^ v ? u ^ dv ;
71
u 2 1 ; v 2 :
Die Denition nutzend kann man folgendes zeigen: Ist in lokalen Koordinaten
u=
so gilt (wiederum lokal)
du =
X
i1 <<ik
X
i1 <<ik
ui1ik dxi1 ^ ^ dxik ;
@j ui1 ik dxj ^ dxi1 ^ ^ dxik :
In abgekurzter Form: d = @j dxj . Man zeigt auch leicht die Gultigkeit der
allgemeinen Leibniz-Regel:
d(u ^ v) = (du) ^ v + (?1)k u ^ dv ; u 2 k ; v 2 :
Eine k-Form u heit geschlossen, wenn du = 0 gilt, exakt, wenn u = dv
fur eine (k ? 1)-Form erfullt ist. Wegen d2 = 0 ist jede exakte Form auch
geschlossen. Es hangt von der Mannigfaltigkeit ab, ob die Umkehrung gilt. In
der physikalischen Literatur spielt lokale Umkehrbarkeit eine wichtige Rolle,
die wir hier ohne Beweis zitieren:
Lemma von Poincare. Ist u eine geschlossene k-Form, so existiert zu jedem
x 2 M eine Umgebung, so da die Einschrankung von u auf diese Umgebung
dort exakt ist. Kurz, lokal ist jede geschlossene Form exakt.
3.3 Pull-back von Dierentialformen
Es sei : M ! N ein Morphismus12 zwischen zwei Mannigfaltigkeiten. Er
induziert eine lineare Abbildung
Tx TxM ?!
T(x)N (x 2 M )
zwischen Tangentialraumen, so da fur alle X (x) 2 TxM gilt:
(TxX (x))f = X (x)(f ) ;
f 2 ?N := C 1(N )
Zur Erinnerung:
X (x) : ?M ! R ;
TxX (x) : ?N ! R :
Alle Abbildungen Tx (x 2 M ) zusammengenommen ergeben einen Morphismus
T
TM ?!
TN
zwischen Tangentialbundeln. Zusammenfassend stellen wir fest:
12
Eine dierenzierbare Abbildung
72
Der Tangential-Funktor T fuhrt von der Kategorie der Mannigfaltigkeiten zu der Kategorie der Vektorbundel.
Unser Ziel ist, zu zeigen, da man jede Dierentialform auf der Mannigfaltigkeit N in eine Dierentialform auf M mit Hilfe von umwandeln (\zuruckziehen") kann. Wir beginnen bei den 0-Formen, den gewohnlichen Funktionen
auf N :
f 2 0N = ?N :
Jeder Funktion auf N entspricht eine Funktion auf M vermoge der Vorschrift
(f ) = f ;
die auf einfache Weise bereits den pull-back
0N ?!
0M
fur 0-Formen deniert. Beachte, da die algebraische Struktur respektiert.
Wir wenden uns nun den 1-Formen u 2 1N zu und erwarten einen pullback (u) 2 1M . Zur Konstruktion nutzen wir die Vektoren
(u)(x) 2 TxM ; u((x)) 2 T(x) N :
Zu jedem Vektorfeld X auf M gibt es Vektoren in den zugehorigen Dualraumen:
X (x) 2 TxM ; Tx X (x) 2 T(x) N :
Dies gibt uns die Moglichkeit, den pull-back von 1-Formen durch die Bedingung
hX (x); (u)(x)i = hTxX (x); u((x))i
eindeutig festzulegen, indem X uber alle Vektorfelder auf M und x uber alle
Punkte von M variiert.
Die Konstruktion des pull-backs lat sich nun leicht auf alle k-Formen
ausdehnen, indem man fordert, da linear ist und auere Produkte erhalt:
(u1 ^ ^ uk ) = (u1) ^ ^ (uk ) (ui 2 1N )
Die so konstruierte Abbildung
V
V
N := ?( T N ) ?!
M := ?( T M )
nennt man den pull-back von Dierentialformen. Sie kommutiert nicht nur
mit dem aueren Produkt sondern auch mit der aueren Ableitung:
(u ^ v) = (u) ^ (v) ; (dv) = d(v) ; u; v 2 N :
73
Schlielich respektiert die ?-Modulstruktur:
(fv) = (f )(v) (f 2 ?N ; v 2 N ):
Anmerkung: Ein Morphismus : M ! N fuhrt i.allg. nicht zu Abbildung
zwischen Vektorfeldern; denn dazu ware notig, da zu jedem Vektorfeld X
auf M ein Vektorfeld Y auf N existiert mit der Eigenschaft
Y ((x)) = TxX (x) (x 2 M ):
Dies ist jedoch nur garantiert, falls invertierbar ist:
Y (q) = TxX (x) (q 2 N; x = ?1(q)):
In vielen Situationen, die wir spater betrachten wollen, ist dies gewahrleistet,
so in dem folgenden Fall:
M = N ; 2 Di(M ):
Nehmen wir etwa an, eine Lie-Gruppe G operiere auf M , also G Di(M ).
Die Wirkung der Gruppe druckt man oft durch eine \Rechtsmultiplikation"
aus:
M G ! M; (x; g) 7! xg ;
so da
x(gg0) = (xg)g0
gilt. Jedes g 2 G induziert vermoge der pull-back-Konstruktion eine lineare
Abbildung g : ! . Man rechnet sofort nach, da
(gg0) = g g0 ;
g; g0 2 G
gilt, d.h. die Abbildung g 7! g ist eine lineare Darstellung von G. Die innitesimale Form dieser Darstellung ist durch die Lie-Ableitung gegeben, mit
der wir uns im nachsten Kapitel beschaftigen.
3.4 Die Lie-Ableitung
Wir haben Vektorfelder als Derivationen der Funktionanalgebra ? eingefuhrt.
Indem wir ? = 0 auch als Teil der groeren Algebra auassen konnen,
entsteht die Frage, ob sich ein Vektorfeld X zu einer Derivation
LX : ! erweitern lat. Die Antwort ist positiv und LX wird die Lie-Ableitung genannt. Sie kann durch drei Eigenschaften deniert werden:
74
(1) Falls f 2 0 , so gilt LX f = Xf .
(2) Falls u 2 1 , so ist LX u 2 1 durch
hY; LX ui = X hY; ui ? h[X; Y ]; ui
gegeben.
(3) Es gilt eine Leibniz-Regel (Produktregel der Dierentiation) der folgende Art:
LX (u ^ v) = (LX u) ^ v + u ^ LX v ;
u 2 1 ; v 2 :
Selbstverstandlich folgt hieraus die allgemeine Leibniz-Regel
LX (u ^ v) = (LX u) ^ v + u ^ LX v ;
u; v 2 :
Vom Standpunkt der Physik ist es nutzlich, sich die Lie-Ableitung als eine
\innitesimale Transformation" von vorzustellen, d.h. als erzeugendes Element einer einparametrigen Gruppe von Automorphismen. Da LX die Wirkung von X auf ganz fortsetzt, ist X 7! LX eine Lie-Homomorphismus:
LX +Y = LX + LY ;
[LX ; LY ] = L[X;Y ]
(; 2 R):
Man uberzeugt sich leicht, da die auere Ableitung und Lie-Ableitung kommutieren,
d(LX v) = LX (dv) (v 2 ) ;
was wir auch in der Form [d; LX ] = 0 schreiben konnen.
Die formale A hnlichkeit von mit dem Fock-Raum der Teilchenphysik
fuhrt dazu, da viele dem Physiker bekannte Konstruktionen (Erzeugungsund Vernichtungsoperatoren fur Fermionen, Operator der Teilchenzahl usw.)
in der Dierentialgeometrie ihre Entsprechung { jedoch mit anderen Namen
{ haben.
Denition. Jeder 1-Form u ordnen wir den Operator der aueren Multiplikation (u) auf zu:
(u)v = u ^ v
(v 2 ):
Dual dazu ordnen wir jedem Vektorfeld X den Operator der Kontraktion
(X ) auf zu mit den denierenden Eigenschaften:
(1) Falls f 2 0 , so gilt (X )f = 0.
75
(2) Falls u 2 1 , so ist (X )u 2 0 durch (X )u = hX; ui gegeben.
(3) Es gilt eine Produktregel der folgende Art:
(X )(u ^ v) = hX; uiv ? u ^ (X )v ; u 2 1 ; v 2 :
Die Entsprechung
(u) : k ! k+1 , Erzeugungsoperator
(X ) : k ! k?1 , Vernichtungssoperator
1 2 0
, Vakuum
ist oensichtlich, und es verwundert uns nicht, wenn man aus den Denitionen die Gultigkeit der Antivertauschungsrelation
f(X ); (u)g = hX; ui 2 ?
folgert. Interesant sind zwei weitere (Anti-)Kommutatoren:
f(X ); dg = LX ; [LX ; (Y )] = ([X; Y ]) :
Erstere kann zur alternative Denition der Lie-Ableitung benutzt werden.
Sie ist in der Literatur als Cartan-Relation bekannt.
3.5 Dierentialformen mit Werten in einem
Vektorraum
Bislang waren Dierentialformen reell-wertig. Wir benotigen fur unsere Zwecke
eine Verallgemeinerung, bei der R durch einen Vektorraum E (uber R oder
C ) ersetzt wird. Dies kann auf mehrfache Weise beschrieben werden. Eine
Methode besteht darin, da man dem Vektorraum
E das triviale Bundel
V E = M E zuordnet und das Produktbundel T M E konstruiert, dessen
Schnitte
V
! 2 (M; E ) := ?( T M E)
gerade die gewunschten E -wertigen Dierentialformen sind. Der Raum der
E -wertigen k-Formen wird entsprechend mit k (M; E ) bezeichnet.
Sei ! eine solche k-Form und Xi (i = 1; : : : ; k) gewohnliche Vektorfelder
auf M . Fur jedes x 2 M gilt aufgrund unserer Konstruktion:
hX1(x) ^ ^ Xk (x); !(x)i 2 E :
Anders ausgedruckt:
hX1 ^ ^ Xk ; !i 2 ?(E) ;
76
wobei ?(E) (der Raum der Schnitte des Bundels E) nicht anderes ist als der
Vektorraum C 1(M; E ) aller Funktionen f : M ! E .
In den Eichtheorien ist der Fall bedeutsam, bei dem E eine Lie-Algebra
ist. Man sieht an dem von uns gewahlten Zugang, da E auch ein beliebiges
(nicht-triviales) Vektorbundel sein kann. Die Konstruktion ergibt dann Ewertige Dierentialformen. In diesem Fall gilt
hX1(x) ^ ^ Xk (x); !(x)i 2 Ex
mit Ex der Faser uber x 2 M . Wir werden Beispiele hierfur sehen.
3.6 Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten
Eine nichtentartete symmetrische Bilinearform in jedem Tangentialraum TxM ,
die dierenzierbar von x 2 M abhangt, deniert eine semi-Riemannsche
Geometry. Falls daruber hinaus die Bilinearform positiv ist (also ein Skalarprodukt darstellt), haben wir es mit einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
im klassischen Sinn zu tun. Anders ausgedruckt: Eine (semi-)Riemannsche
Mannigfaltigkeit induziert eine (pseudo-)euklidische Struktur in jedem ihrer
Tangentialraume. Jede Metrik besitzt eine Signatur (r; s) mit r + s = n. Der
Einfachheit halber werden wir s allein als die Signatur bezeichnen, so da
s = 0 fur Riemannsche Mannigfaltigkeiten gilt. Die Allgemeine Relativitatstheorie wird auf Mannigfaltigkeiten der Signatur s = 1 formuliert.
Entscheidend fur das folgende ist, da die Riemannsche Geometrie zu
einer Bilinearform (X; Y ) 2 ? in dem Raum der Vektorfelder, V, fuhrt.
Lokal (in einer Karte) gibt es eine Basis (@i )ni=1, so da [@i ; @j ] = 0 gilt.
Dort hat ein Vektorfeld die Form X = X i@i und der metrische Tensor ist
durch
gij = (@i; @j ) ; i; j = 1; : : : ; n:
Da die Bilinearform (; ) nach Voraussetzung nichtentartet ist, wird durch
sie ein Isomorphismus
V ! V ; Y 7! Y #
mit der Eigenschaft hX; Y #i = (X; Y ) deniert. Die bedeutet auch, da eine
symmetrische Bilinearform auf dem Raum der 1-Formen, V, induziert wird:
(X #; Y #) = (X; Y ). Lokal konnen wir die duale Basis dxi in V einfuhren
mit der denierenden Eigenschaft h@i; dxj i = ij . Es gilt dann @i# = gij dxj ,
und der inverse metrische Tensor ist gij = (dxi; dxj ).
Die Metrik auf V = 1 kann in kanonischer Weise zu einer Metrik auf
k und somit auf ganz erweitert werden, und zwar durch die Formel
(u1 ^ ^ uk ; v1 ^ ^ vk ) = Det(f );
77
f = (u; u ) 2 ?
gultig fur alle u; v 2 1 .
Eine orientierte Mannigfaltigkeit der Dimension n besitzt immer eine kanonische Volumenform !0 2 n. Sie ist lokal durch
!0 = jDet(gij )j1=2 dx1 ^ ^ dxn
deniert13 . Sie gibt Anla zu einer der wichtigsten Konstruktionen in der
Riemannschen Geometrie, des Hodge-Operators : Die Abbildung
: ! ;
: k ! n?k
ist durch die Eigenschaft
u ^ v = (u; v)!0
(u; v 2 k )
festgelegt. Es gilt dann 1 = !0 und ! = (?1)s, wobei s die Signatur der
Metrik ist. Sodann auch
= (?1)k(n?k)+s : k ! k :
Man sieht, bis auf ein Vorzeichen ist der Hodge-Operator eine Involution.
Verbunden mit dem Hodge-Operator ist die Koableitung : Die Abbildung d :
k ! k?1 (falls k 1 und d = 0 falls k = 0) ist durch
d = d ;
= 1
deniert, wobei das Vorzeichen durch
d(u ^ v) = ((v; du) ? (dv; u)) !0 ;
u 2 k ; v 2 k+1
(36)
festgelegt ist14.
Man ndet = (?1)kn+k+s+1 und die folgenden Eigenschaften:
(1) d2 = 0 ;
dd = dd ; dd = dd ; d d = d d
(2) (uf ) = (u)f ; (du) = (?1)k d(u) ; d(u) = (?1)k?1 (du)
mit f 2 ? und u 2 k . Als Laplace-Beltrami-Operator bezeichnet man15
= (d + d) = dd + dd :
Dieser Ausdruck ist invariant gegenuber einem Wechsel des Koordinatensystems, sofern dieser Wechsel die Orientierung der Mannigfaltigkeiterhalt.
14 Manchmal bezeichnet man auch = ?d als die Koableitung.
15 Auch hier ist es so, da oft ? diesen Namen tr
agt.
13
78
Wir denieren das L2-Produkt von u; v 2 k mit kompakten Trager durch
eine Integration uber die Mannigfaltigkeit:
(u; v)L2 =
Z
M
(u; v)!0 =
Z
M
u ^ v :
Nur fur Riemannsche Mannigfaltigkeiten ist dieses Produkt positiv denit,
sonst indenit.
Die Maxwell-Gleichungen im Vakuum lauten
dF = 0; dF = 0
fur das Maxwell-Feld F = 21 F (x)dx ^ dx , wenn M mit dem MinkowskiRaum identiziert wird. Sie resultieren aus dem Variationsprinzip
1
2 (F; F )L2 = stationar
wobei man die rechte Seite als die Wirkung bezeichnet. Oft nennt man F
den dualen Feldstarkentensor und schreibt die zweite Maxwell-Gleichung in
der Form d(F ) = 0. Mit dem Poincare-Lemma erhalten wir die Darstellung
F = dA, wobei A = A (x)dx das Potential ist. Eichtransformationen werden
durch
A ! A + df (f 2 0 )
und die Lorentz-Bedingung durch dA = 0 beschrieben, so da die Wellengleichung A = ddA = 0 gilt. Physiker schreiben jedoch 2 anstelle von und
sprechen von dem d'Alembert-Operator. In Materie werden diese Gleichungen durch die Anwesenheit eines Stromes j modiziert. Es ist sinnvoll, den
Strom nicht als 1-Form, sondern vermoge des Hodge-Operators als 3-Form
einzufuhren:
d(F ) = j ;
so da die Kontinuitatsgleichung die Form dj = 0 annimmt und aufgrund des
Satzes von Gau der Flu durch eine 3-dimensionale Oberache verschwindet:
Z
Z
j = dj = 0 (G M ):
@G
G
Zum Abschlu berechnen wir einen expliziten Ausdruck fur dF in der allgemeinen Situation, wo der metrische Tensor g = (dx ; dx ) ortsabhangig
ist, jedoch jDet(g )j = 1 erfullt. Dazu setzen wir
F = 21 dx ^ dx F ; dF = dx (dF ) ; F = 21 dx ^ dx (F )
sowie
F = g g F ; (dF ) = g (dF )
79
und erhalten fur beliebiges u = dx u 2 1 :
u ^ F = 21 dx ^ dx ^ dx u (F )
d(u ^ F ) = 21 dx ^ dx ^ dx ^ dx @ (u (F ) )
= !0 21 @ (u (F ) )
= !0 ((F; du) ? (dF; u)) (siehe (36)
= !0 (F @ u ? (dF ) u ) :
Hieraus folgen zwei Gleichungen:
F = 21 (F )
(dF ) = ? 21 @ (F ) :
Insbesondere folgt so die einfache Beziehung
(dF ) = ?@ F :
Durch eine analoge Rechnung nden wir
A = dx A ; A = g A
)
dA = ?@ A :
Die Gleichung dA = 0 ist als Lorentz-Bedingung bekannt. Sie schrankt die
Eichfreiheit ein.
3.7 Der Levi-Civita-Zusammenhang
Tangentialraume in verschiedenen Punkten der Mannigfaltigkeit obwohl isomorph konnen i.allg. nicht miteinander identiziert werden: Es gibt keinen
Zusammenhang, der einen Vektor a 2 Tx(M ) in einen Vektor b 2 Tx0 M
uberfuhrt. Hat man jedoch einen solchen Zusammenhang deniert, so spricht
man von einem Paralleltransport. Dem Physiker begegnet ein solcher Transport zum erstenmal in Form des Levi-Civita-Zusammenhanges einer semiRiemannschen Mannigfaltigkeit16. Er wird innitesimal dadurch charakterisiert, da man jedem Vektorfeld X einen Dierentialoperator rX mit gewissen Eigenschaften zuordnet. Es ist dieser mehr algebraische Aspekt, den wir
hervorheben wollen, weil er verallgemeinerungsfahig ist, namlich auf beliebige
Vektorbundel E ubertragen werden kann.
Zunachst wollen wir den Begri \Dierentialoperator" naher beleuchten, d.h. abheben von der Klasse der lokalen Operatoren. Wahrend Dierentialoperatoren zwischen innitesimal benachbarten Fasern von E vermitteln,
16
Siehe hierzu die mathematische Ausformung der Allgemeinen Relativitatstheorie.
80
operieren lokale Operatoren nur innerhalb der Fasern. Wie lat sich dies
streng formulieren?
V
Dazu betrachten wir als Beispiel den Raum = ?( T M ) der Dierentialformen und beschreiben ihn als ein ?-Module. Dies entspricht der Beobachtung, da Elemente v 2 mit Funktionen f; g 2 ? multipliziert werden
konnen, so da gilt:
(f + g)v = fv + gv;
(fg)v = f (gv) :
Folglich lat sich jedes f 2 ? auch als Multiplikationsoperator in auassen.
Ein Operator A : ! heit lokal, wenn [A; f ] = 0 gilt, d.h. wenn A die
Struktur von als ein ?-Module respektiert. Die Operatoren (X ) und (u)
sind solche Beispiele:
[(X ); f ] = 0 ;
[(v); f ] = 0 :
Operatoren, die die Bedingung der Lokalitat nicht erfullen, weil sie f dierenzieren, werden Dierentialoperatoren genannt. Die auere Ableitung und
die Lie-Ableitung sind Beispiele hierfur:
[d; f ] = (df ) ;
[LX ; f ] = Xf :
Wir kommen nun zu der entscheidenden
Denition. Sei M eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Der Levi-CivitaZusammenhang r, auch kovariante Ableitung auf dem Tangentialbundel genannt, ist durch zwei Eigenschaften charakterisiert:
1. Er ist torsionsfrei
rX Y ? rY X ? [X; Y ] = 0 ;
rX := (X ) r :
2. Er erhalt die Metrik:
d(X; Y ) = (rX; Y ) + (X; rY ) :
Bemerkung: Man charakterisiert den Levi-Civita-Zusammenhang entweder
durch einen Operator
r : V ! ?(T M TM ) ;
oder durch die Richtungsableitungen
rX : V ! V
81
(X 2 V):
Somit ist (rX; Y ) 2 V, also eine 1-Form, ebenso wie (X; rY ) und d(X; Y ),
da (X; Y ) 2 ? = 0 . In lokalen Koordinaten haben wir die Darstellung durch
Christoel-Symbole:
r@j = ?kij dxi @k :
wobei
?kij = 21 gkl(@igjl + @j gil ? @l gij ) :
Dualitat erlaubt die U bertragung des Levi-Civita-Zusammenhanges vom Tangentialauf das Kotangentialbundel, d.h. wir denieren
rv 2 ?(T M T M ) fur v 2 V
durch
dhX; vi = hrX; vi + hX; rvi 2 V :
Es folgt damit die Gultigkeit von
d(u; v) = (ru; v) + (u; rv) 2 V (u; v 2 V);
was auf andere Weise die Erhaltung der Metrik ausdruckt. Lokal erhalten wir
so die Beschreibung
rdxj = ??jik dxi dxk :
(Man beachte das Minuszeichen.)
Unser nachstes Ziel ist die U bertragung des Levi-Civita-Zusammenhanges
V
von dem Kotangentialbundel T M auf das groere Bundel T M , dessen
Schnitte Dierentialformen sind, an denen wir vornehmlich interessiert sind.
Die U bertragung geschieht auf bewahrte Weise durch drei Forderungen:
(1) Falls f 2 0 , so gilt rX f = Xf .
(2) Falls u 2 1 , so ist rX u 2 1 durch X hY; ui = hrX ; ui + hY; rX ui
gegeben.
(3) Es gilt die Leibniz-Regel rX (u ^ v) = rX u ^ v + u ^ rX v mit u 2 1
und v 2 .
Die Leibniz-Regel ist aquivalent der Kommutator-Relation
[rX ; (u)] = (rX u) :
Nach Konstruktion ist rX ein Dierentialoperator auf , der den Grad k
einer Dierentialform erhalt und [rX ; f ] = Xf erfullt, wenn wir f 2 ? als
Multiplikationsoperator auassen. In lokalen Koordinaten gilt
r@i dxj = ??jik dxk ;
also
X = X i@i; u = uidxi
) rX u = X i(@iuk ? ?jik uj ) dxk :
82
3.8 Lie-Gruppen als Mannigfaltigkeiten
Unter einer Lie-Gruppe G der Dimension m versteht man eine dierenzierbare Mannigfaltigkeit (der Dimension m), die zugleich eine Gruppenstruktur
hat. Das neutrale Element (oder Einheit) in G bezeichnen wir mit e. Jedes
g 2 G deniert eine Linkstranslation
lg : G ! G
h 7! gh
und eine Rechtsstranslation
rg : G ! G
h 7! hg :
Beide Abbildungen sind Dieomorphismen von G. Mit ?G bezeichnen wir
die Algebra der Funktionen f : G ! R , erinnern an die induzierten linearen
Abbildungen
Thlg : ThG ! TghG ;
Thrg : ThG ! Thg G ;
(Thlg X (h))f = X (h)(f lg )
(Thrg X (h))f = X (h)(f rg )
(f 2 ?G)
und die hierdurch beschriebenen Automorphismen des Tangentialbundels:
Tlg ; TG ! TG ;
Trg ; TG ! TG :
Ein Vektorfeld X 2 ?(TG) wird rechts-invariant genannt, wenn
Thrg X = X rg ;
das heit
Thrg X (h) = X (hg)
Ein rechts-invariantes Vektorfeld X ist bereits eindeutig durch den den Vektor X (e) 2 TeG gegeben: X (g) = Terg X (e). Den Tangentialraum TeG bezeichnen wir mit g = Lie G. Wir erhalten somit eine 1:1-Korrespondenz zwischen Vektoren in g und rechts-invarianten Vektorfeldern:
r : g ! ?(TM ) ;
(r a)(g) = Terg a
(a 2 g):
Der Lie-Kommutator [X; Y ] zweier rechts-invarianter Vektorfelder ist wieder
rechts-invariant. Dies erlaubt uns, den Lie-Kommutator g zu ubertragen:
r [a; b] = [r a; rb]
(a; b 2 g):
Folglich ist g eine Lie-Algebra.
Auf g wirkt eine Darstellung von g, die man die adjungierte Darstellung
nennt:
ad(a) : g ! g ;
b 7! [a; b] :
83
Sie fuhrt auf eine ausgezeichnete quadratische Form
(a; b) = Spur (ad(a)ad(b)) ;
die man die Killing-Form von g nennt. Da wir jedem a 2 g := Te G in kanonischer Weise einen Vektor Terg a 2 Tg G zuordnen, konnen wir die Killing-Form
auf alle Tangentialraume Tg G durch
(Terg a; Terg b) = (a; b)
ubertragen. In Situationen, wo die Killing-Form nicht entartet ist, besitzen
wir somit eine semi-Riemannsche Struktur auf G. Fur kompakte halbeinfache
Gruppen ist ?(a; b) positiv denit.
Schlielich wenden wir uns den Dierentialformen u 2 G zu, auf denen
die Gruppe G operiert:
rg : G ! G :
Sei speziell u eine 1-Form. Fur jedes Vektorfeld X 2 ?(TG) gilt somit
hThrg X (h); u(hg)i = hX (h); rg(u)(h)i ;
Noch spezieller: Sei X ein rechts-invariantes Vektorfeld, so erhalten wir die
Aussage
hX (hg); u(hg)i = hX (h); rg(u)(h)i ;
gultig fur alle g; h 2 G, und damit fur h = e:
hX (g); u(g)i = hX (e); rg(u)(e)i ;
Eine Dierentialform u heit rechts-invariant, wenn rgu = u fur alle g 2 G
gilt.In diesem Fall gilt sogar
hX (g); u(g)i = hX (e); u(e)i
fur alle g 2 G und jedes rechts-invariante Vektorfeld X . Wir haben somit
eine 1:1-Korrespondenz zwischen rechts-invarianten 1-Formen u 2 1G und
Vektoren u(e) 2 g, wobei g den Dualraum von g bezeichnet.
Oft betrachtet man auch g-wertige Dierentialformen, d.h. Elemente des
Raumes u 2 (G; g) = G g, so da hX (g); u(g)i 2 g.
Denition. Als kanonische 1-Form oder Zusammenhang auf G bezeichnet
man 2 1 (G; g) mit
(h) = Thrh?1 : ThG ! TeG = g
84
(h 2 G):
Aufgrund der Denition besitzt die Eigenschaft
hX (h); (h)i = Thrh? X (h) 2 g ;
1
h 2 G; X 2 ?(TG):
Da (h) die Vektoren von ThG mit denen von TeG in Beziehung setzt, kann
man die Wirkung als eine Parallelverschiebung interpretieren. Deshalb deniert einen Zusammenhang auf der Lie-Gruppe. Man zeigt leicht die
Gultigkeit der folgenden Relation
d + 21 [; ] = 0
(Maurer-Cartan);
wobei d : 1G ! 2G die auere Ableitung bezeichnet und man das Klammersymbol geeignet deniert: Seien u a und v b Elemente in 1G g, so setzt
man
[u a; v b] = (u ^ v) [a; b] :
Die Klammer ist damit auf das Lie-Produkt [a; b] zuruckgefuhrt. Es wird
spater klar, da die Maurer-Cartan-Relation das Verschwinden der Krummung
ausdruckt.
3.9 Zusammenhange auf allgemeinen Vektorbundeln
Sei E ein Vektorbundel uber der Mannigfaltigkeit M . Selbst wenn M in
Anwendungen der Minkowski-Raum oder irgendein anderer acher Raum ist,
gibt es nicht-triviale Zusammenhange { auch kovariante Ableitungen genannt
{ auf E. In der Feldtheorie interessiert man sich sogar fur den Raum aller
Zusammenhange dieser Art. Der Levi-Civita-Zusammenhang erweist sich nur
als ein Beispiel, bei dem E mit dem Tangentialbundel TM ubereinstimmt. Ja
selbst in der Situation E = TM gibt es viele weitere Beispiele von kovarianten
Ableitungen auf E.
\Felder" im Sinne der Feldtheorie sind stets Schnitte eines geeigneten
Vektorbundels E und damit Elemente von ?(E). Wir betonen auch an dieser
Stelle, da ?(E) ein ?-Modul ist, d.h. Felder 2 ?(E) konnen mit Funktionen
f; g 2 ? (reell-wertige Funktionen auf M ) multipliziert werden, so da gilt:
(f + g) = f + g;
(fg) = f (g) :
Sind E1 und E2 zwei Vektorbundel uber der gleichen Mannigfaltigkeit M , so
konstruiert man deren Tensorprodukt E1 E2 auf naheliegende Weise, um
ein neues Vektorbundel zu erhalten. Will man die Produktstruktur auf die
Felder ubertragen, so ist Vorsicht geboten. Man ndet einen Isomorphismus
der Form
?(E1) ? ?(E2) = ?(E1 E2 )
85
gleichbedeutend damit, da man links die folgende Identikation vornimmt:
(f1) 2 = 1 (f2);
f 2 ?; i 2 ?(Ei):
Sind etwa Ai Operatoren auf ?(Ei), so lat sich deren Tensorprodukt A1 A2
auf ?(E1) ? ?(E2) nur konstruieren, falls [Ai; f ] = 0 fur alle f 2 ? erfullt
ist, d.h. wenn die Operatoren Ai die ?-Modulstruktur von ?(Ei) respektieren.
Erinnerung: Operatoren mit dieser Eigenschaft haben wir lokale Operatoren
genannt. Zu ihnen gehoren der Kontraktionsoperator
(X ) und der MultipliV kationsoperator
V (u) (beide auf ?( T M ) deniert). Wenn wir im folgenden
das Bundel T M E betrachten, so wollen wir (X ) anstelle von (X ) 1l
schreiben. A hnlich verfahren wir mit anderen lokalen Operatoren.
Unser Hauptinteresse gilt Dierentialoperatoren. Sie respektieren nicht
die ?-Modulstruktur. Vielmehr ist deren Kommutator mit f eine charakterisierende Groe. Dies gilt es zu beachten.
Denition. Eine kovariante Ableitung auf E ist ein Dierentialoperator erster Ordnung
r : ?(E) ! ?(T M E); [r; f ] = df (f 2 ?)
aquivalent den Richtungsableitungen
rX = (X ) r : ?(E) ! ?(E) :
Hier ist X ein beliebiges Vektorfeld, d.h. ein Element von ?(TM ).
Sind r1 und r2 zwei kovariante Ableitungen auf E, so ist deren Dierenz
r1 ? r2 ein lokaler Operator und
r1 ? r2 2 ?(T M EndE):
In Worten: Die Dierenz ist eine EndE-wertige 1-Form, wobei EndE das
Endomorphismenbundel bezeichnet. Dies bedeutet: Die kovarianten Ableitungen bilden einen anen Raum modelliert uber dem Raum EndE.
Wir wollen sehen, was die obige Denition in lokalen Koordinaten bedeutet:
r = dxi (@i + Ai) = d + dxi Ai :
In einer anderen Schreibweise
r = dxi r@i r@i = @i + Ai :
Die Felder Ai (x) { auch \Potential" genannt { sind lokale Schnitte des
Bundels EndE. Im allgemeinen kann das Potential nicht global deniert werden.
86
3.10 Hauptfaserbundel
Wir haben spezielle Vektorbundel kennengelernt und einen Zusammenhang
darauf konstruiert. Wenn wir nun allgemeine Vektorbundel ins Auge fassen,
wie sie fur die Zwecke der Eichtheorien wichtig werden, so stellen wir fest, da
sie sich oft auf ein Bundel zuruckfuhren lassen, das man aus diesem Grunde
das Hauptfaserbundel nennt. Die vielen Vektorbundel, die sich daraus ableiten lassen, heien assoziierte Bundel. Ist ein Zusammenhang einmal auf dem
Hauptfaserbundel deniert, so ubertragt sich diese Struktur auf alle assoziierten Vektorbundel. Wir wollen die notigen Begrie stufenweise einfuhren.
Denition. Ein dierenzierbares Faserbundel (E; M; ; G) (kurz Bundel E
uber M genannt) besteht aus drei Mannigfaltigkeiten E , M und G und einer
surjektiven dierenzierbaren Abbildung : E ! M , so da lokal E = M G
gilt und die naturliche Projektion (x; g) = x darstellt. Falls E = M G
global gilt, so heit E ein triviales Bundel. E heit totaler Raum, M heit
Basis, die Projektion und G die typische Faser. Ex = ?1(x) heit Faser
uber x 2 M .
Die in der Denition zitierte lokale Trivialitat bedarf einer naheren Erlauterung:

Es existiert eine oene Uberdeckung
(Ui )i2I der Basis M und dazu
eine Familie von Dieomorphismen
i : Ui G ! ?1(Ui) (i 2 I )
so da ( i)(x; g) = x fur alle (x; g) 2 Ui G gilt.
Man zeigt leicht, da fur jedes i 2 I und jedes x 2 Ui die Abbildung
f : G ! Ex; g 7! i(x; g) ein Dieomorphismus ist: Jede Faser sieht wie
die typische Faser aus. Wenn G eine Lie-Gruppe ist, so gelangen wir zu dem
Konzept des Hauptfaserbundels, mussen hier aber zusatzliche Bedingungen
stellen:
Denition. Sei G eine Lie-Gruppe. Ein Bundel (P; M; ; G) heit Hauptfaserbundel (engl. principal G bundle), wenn gilt:
1. G operiert frei auf P (von rechts nach Vereinbarung), d.h. (p; g) 2 P G
wird auf pg 2 P abgebildet, so da pg 6= p fur g 6= e (e = Einheit) und
(pg)g0 = p(gg0) gilt.
2. Bezeichnen wir den Raum der Bahnen unter der Gruppe G mit P=G,
so gilt M = P=G, so da jede Faser ?1(x) (x 2 M ) mit G identiziert
werden kann.
87
3. Das Bundel ist lokal trivial in dem folgenden erweiterten Sinne. Zu
jedem x 2 M existiert eine Umgebung U von x und ein Dieomorphismus
: ?1 (U ) ! U G ; x 7! ((x); '(x));
der aquivariant ist:
(xg) = ((g); '(x)g) (g 2 G):
Ein typisches Beispiel ist das sog. Rahmenbundel (engl. frame bundle) einer
Mannigfaltigkeit M der Dimension n, das man so konstruiert. Unter einem
Rahmen 17 im Punkt x 2 M versteht man eine Basis b = (ei )ni=1 des Tangentenraumes TxM . Die Menge aller solchen Basen soll mit Bx bezeichnet
werden. Ihre disjunkte Vereinigung (x variiert uber M ) ergibt das Bundel B
mit der Projektion : B ! M; b 7! x wenn b 2 Bx. Sei G = GL(n; R ) die
volle reell-lineare Gruppe in n Dimensionen. Sie operiert frei auf B vermoge
der aus der linearen Algebra vertrauten Basis-Transformation:
(b; g) 7! bg = b0 ;
b = (ei ); b0 = (e0i); e0i = ek gki
mit g = (gk i) 2 G. Dies gibt (B; M; ; G) die Struktur eines Hauptfaserbundels.
Ist in dem vorangegangenen Beispiel M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, so bekommt \Basis" eine neue Bedeutung: Sie ist stets orthonormiert,
so da G = O(n) gesetzt merden mu. Ist M daruberhinaus orientiert, so
hat man G = SO(n) zu setzen. Ist M eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit und hat ihre Metrik die Signatur (r; s) (r + s = n), so setzt man
G = O(r; s). Die Allgemeine Relativitatstheorie benutzt G = O(3; 1), auch
Lorentz-Gruppe genannt.
Weitere Beispiele von Hauptfaserbundeln { manche davon interessant fur
die Feldtheorie { wollen wir nun kurz diskutieren:
1. Die Matrizen
1 0
0 ei
bilden die Elemente einer Untergruppe U (1) von U (2). Den Raum der
Rechtsnebenklassen U (2)=U (1) konnen wir mit der Sphare S 3 identizieren, weil die Nebenklassen durch zwei komplexe Zahlen a und b
beschrieben werden:
a
u = b ; jaj2 + jbj2 = 1 :
17
Physiker sprechen auch von einem \Vielbein" oder einem n-Bein.
88
Die kanonische (Maurer-Cartan) 1-Form auf U (2) hat die Gestalt
b da a
?
1
= u du = u du = db = ada + bdb Hieraus resultiert die kanonische 1-Form auf S 3:
! = ada + bdb :
Als lokale Koordinaten wahlen wir die Euler-Winkel:
a = ei(+)=2 cos(=2) ;
Darin wird
b = ei(?)=2 sin(=2) :
! = i(d + d cos )=2 :
Wir konnen nun eine Wirkung der Gruppe U (1) auf die 3-Sphare denieren:
a 7! ei a ; b 7! ei b :
Dies entspricht der Ersetzung 7! +2. Der Quotient S 2 = S 3=U (1)
wird zur Basis eines U (1)-Hauptfaserbundel S 3 (ein Spezialfall der
Hopf-Faserung, s.u.), auf dem ! einen Zusammenhang deniert. Die
Winkel und werden zu Kugelkoordinaten der 2-Sphare. Mit der
Krummung
= d! + 21 [!; !] = d! = id ^ d 21 sin verbinden wir Physik: Die 2-Form B = d ^ d 21 sin beschreibt { bis
auf einen konstanten Vorfaktor { das Magnetfeld eines magnetischen
Monopols der Starke ge = 12 mit Sitz im Zentrum der 2-Sphare. Die
1-Form ! ist mit seinem Vektorpotential zu identizieren. Da hier
[!; !] = 0 gilt, liegt an der abelschen Natur der Eichgruppe U (1). Die
Nichttrivialitat des U (1)-Bundels S 3 ! S 2 auert sich in der Anwesenheit des \Dirac string" im R 3 .
2. Die Gruppe SU (2) operiert auf
SL(2; C ) = fA 2 GL(2; C ) j DetA = 1g :
Der Quotient SL(2; C )=SU (2) kann mit dem Hyperboloid
V+m = fp 2 M4 j (p; p) = m2 ; p0 mg
89
zur Masse m identiziert werden, indem man AA = p=m setzt mit
0
p + p3
1
2
p := p1 + ip2 pp0 ?? ipp3 :
Den Wurzeln (p=m)1=2 2 SL(2; C ) entsprechen spezielle Lorentz-Transformationen (engl. \boosts") unter der U berlagerungsabbbildung
SL(2; C ) ! L"+
in die eigentliche orthochrone Lorentzgruppe. Durch : SL(2; C ) !
V+m ist ein Hauptfaserbundel mit der Strukturgruppe SU (2) gegeben.
3. Die beiden vorigen Beispiele sind Spezialfalle einer allgemeinen Konstruktion. Sei G eine abgeschlossene18 Untergruppe in der Lie-Gruppe
H und H=G der homogene Raum aller Linksnebenklassen hG (h 2 H ).
Die kanonische Projektion
: H ! H=G; h 7! hG
deniert ein Hauptfaserbundel mit Strukturgruppe G. Selbst wenn G
ein Normalteiler (auch invariante Untergruppe genannt) in H und somit H=G eine Gruppe darstellt, ist es nur selten moglich, H mit dem
direkten Produkt H=G G zu identizieren. Wir erwahnen weitere
Sonderfalle19:
(a) Das Bundel SO(n + 1) ! SO(n + 1)=SO(n) = Sn ,
(b) Das Bundel SU (n + 1) ! SU (n + 1)=SU (n) = S 2n+1 ,
(c) Das Bundel Sp(n + 1) ! Sp(n + 1)=Sp(n) = S 4n+3 .
(d) Das Bundel U (3) ! U (3)=U (2) = S 5 spielt in der Theorie der
Instantonen eine wichtige Rolle, wobei U (2) die Eichgruppe einer
Yang-Mills-Theorie ist.
4. Durch jz0j2 + jznj2 = 1 wird die Sphare S 2n+1 in den C n+1 eingebettet
mit einer naturlichen Wirkung zi 7! ei zi der Gruppe G = U (1) und
der Interpretation
CP n = S 2n+1=U (1)
als komplex-projektiver Raum der Dimension n. Das Bundel S 2n+1 !
CP n mit der Strukturgruppe U (1) wird als Hopf-Faserung bezeichnet.
Die Abgeschlossenheit in H ist notwendig, um pathologische Falle auszuschlieen. Ein
solcher Fall liegt etwa vor, wenn man die Gruppe G = R dicht in den 2-Torus H =
U (1) U (1) einbettet.
19 S n bezeichnet die n-Sph
are und Sp(n) die symplektische Gruppe in 2n Dimensionen.
18
90
5. Die Eichgruppe des Standardmodells der Elementarteilchen ist
G = S (U (3) U (2)) SU (5)
mit der Lie-Algebra g = su(3) su(2) u(1). Der homogene Raum
M = SU (5)=S (U (3) U (2))
ist kompakt, 12-dimensional und ein Kandidat fur die Raumzeit erweitert um 8 Extradimensionen. Das Bundel SU (5) ! M mit Strukturgruppe G konnte zur Interpretation des Standarmodells dienen.
In der Quantentheorie, der Elementarteilchenphysik und in der Feldtheorie treten verschiedene Lie-Gruppen auf, und zwar immer in geeignet gewahlten linearen Darstellungen auf Vektorraumen. Wir sagen in einem solchen
Fall, die Gruppe G operiert auf dem Vektorraum V (von links nach Vereinbarung):
(g; v) 7! gv (g 2 G; v 2 V ):
Verlangt wird, da diese Abbildung strukturerhaltend ist:
g(g0v) = (gg0)v.
g(v + v0) = gv + gv0
Ein Vektorraum V mit diesen Eigenschaften heit auch ein G-Modul. Die
folgende Konstruktion ist grundlegend fur die Feldtheorie:
Denition. Sei P ein Hauptfaserbundel uber M mit der Strukturgruppe G
und V ein G-Modul. Unter dem assoziierten Bundel R = P G V verstehen
wir ein Vektorbundel mit Basis M und der typischen Faser V . Der totale
Raum R entsteht aus dem direkten Produkt P V durch Identizierung:
(pg; v) = (p; gv) (alle g 2 G):
In einer anderen Formulierung sagt man, G operiere von rechts auf P V
vermoge der Vorschrift (p; v)g = (pg; g?1v) und R ist der Raum der Bahnen
unter der Wirkung von G:
R = (P V )=G :
Wir erkennen Sinn und Nutzen dieser Konstruktion sofort an dem folgenden
Beispiel. Sei Bx die Menge aller Basen b = (ei)ni=1 in dem Tangentialraum
TxM eines Punktes x 2 M und x = (xi ))ni=1 2 R n beliebig. Die Abbildung
Bx R n ! Bx G R n (b; x) 7! eixi
91
hat die oben geforderte Eigenschaft, da (bg; x) und (b; gx) das gleiche Bild
liefern, wenn g ein Element der Strukturgruppe ist. Gleichzeitig erkennen wir
die Identitat
Bx G R n = TxM :
Da dies fur alle x 2 M gilt, folgt, da das Tangentialbundel einer Mannigfaltigkeit ein zum Rahmenbundel B assoziiertes Vektorbundel ist:
B G R n = TM :
Die gleiche Aussage ist richtig fur viele weitere Vektorbundel, z.B.
B G
Vk n
R
=
Vk
B G
TM;
V n
R
V
= TM :
Sei g = Lie G die Lie-Algebra von G. Dann operiert G darauf vermoge der
adjungierten Darstellung:
ad(g)a = gag?1 ;
g 2 G; a 2 g
Wir konnen auch sagen, G operiere von links auf dem linearen Raum g, und
so das adjungierte Vektorbundel zu einem Hauptfaserbundel P (mit Strukturgruppe G) konstruieren:
ad(P ) = P G g :
Dies Bundel hat also Fasern, die alle der typischen Faser g gleichen. Bundel
deren Fasern Lie-Algebren sind, werden im folgenden eine besondere Rolle
spielen.
3.11 Zusammenhange auf einem Hauptfaserbundel
Ein Hauptfaserbundel P ist in erster Linie ein Mannigfaltigkeit. Vergessen
wir alle weitere Struktur, so ist P ein Objekt in der Kategorie der Mannigfaltigkeiten, und wir sind in der Lage nacheinander die Objekte
TP ;
V TP
T P ;
in der Kategorie der Vektorbundel zu konstruieren. Vektorfelder
X 2 ?(TP )
sind wie fruher Schnitte des Tangentialbundels TP , Dierentialformen
V
v 2 P := ?( T P )
92
V
Schnitte des Vektorbundels T P .
Jetzt geben wir noch ein weiteres Strukturelement hinzu: Die Lie-Gruppe
G operiert auf P (von rechts). Durch die pull-back-Konstruktion operiert sie
dann auch auf P (von links):
g : P ! P ;
v 7! g(v)
(g 2 G):
Siehe hierzu den Abschnitt 3.3.
Es sei g die Lie-Algebra von G und P g der Raum der g-wertigen
Dierentialformen. Die Gruppe G operiert auf P g (von links) vermoge
des pull-backs und der adjungierten Darstellung:
g(v a) = g(v) gag?1 ;
g 2 G; a 2 g; v 2 P :
Eine g-wertige Dierentialform ! heit aquivariant, wenn sie invariant unter
dieser Wirkung von G ist, d.h. wenn g! = ! fur alle g 2 G gilt.
Schlielich erinnern wir an die Rolle von a 2 g als erzeugendes Element
einer einparametrigen Untergruppe eta 2 G (t 2 R ). Dies erlaubt die Konstruktion des Vektorfeldes Xa uber P vermoge
Xaf (p) = dtd f (peta )t=0 (f 2 ?P ):
Mit ! 2 1P g gilt hXa(p); !(p)i 2 g. Wir werden somit durch ! und p 2 P
zuruckgefuhrt zu einem Element in der Lie-Algebra. Ein Sonderfall tritt ein,
wenn es mit dem Ausgangselement a 2 g ubereinstimmt. Dies fuhrt zu der
Denition. Sei P ein Hauptfaserbundel mit der Strukturgruppe G und
g = Lie G. Ein Zusammenhang in P ist eine g-wertige 1-Form ! mit den
Eigenschaften:
(1) ! ist aquivariant.
(2) hXa (p); !(p)i = a fur alle p 2 P und a 2 g.
3.12 Das horizontale und das vertikale Bundel
Sei P ein Hauptfaserbundel mit der Basis M . Wir erinnern an die Projektion
P ?!
M;
T
TP ?!
TM :
Das vertikale Bundel V P = ker(T) uber M hat als Fasern die Teilraume
VpP = fX (p) j TpX (p) = 0g TpP
93
(p 2 P ):
Elemente von ?(V P ) heien vertikale Vektorfelder. Ein Vektorfeld X ist genau dann vertikal, wenn
hX; ui = 0 ;
u 2 (
1M ) 1P
gilt. Eine 1-Form u, die auf allen vertikalen Vektorfeldern verschwindet, heit
horizontal. Die Gesamtheit solcher 1-Formen wollen wir mit 1H bezeichnen.
Jedes u 2 (
1M ) ist horizontal. Jedoch umfasst (
1M ) nicht alle horizontalen 1-Formen.
Sei G die Strukturgruppe von P . Aus (pg) = (p) fur alle p 2 P und
g 2 G folgt
g = :
In Worten: Die Gruppe G lat jede horizontale 1-Form invariant. Sie operiert
somit auf dem Quotienten 1P =
1H . Es gibt jedoch i.allg. keine kanonische
Weise, den Quotienten mit einem Unterraum von 1P zu identizieren (es
existiert keine kanonische Projektion 1P ! 1H ); es sei denn, wir haben
einen Zusammenhang auf P deniert.
Sei ! ein Zusammenhang auf P . Das horizontale Bundel HP = ker(!)
uber M hat als Fasern die Teilraume
HpP = fX (p) j hX (p); !(p)i = 0g TpP
(p 2 P ):
Elemente von ?(HP ) heien horizontale Vektorfelder. Ein Vektorfeld X ist
genau dann horizontal, wenn hX; !i = 0 gilt. Eine 1-Form u, die auf allen
horizontalen Vektorfeldern verschwindet, heit vertikal.
Das Tangentialbundel kann als direkte Summe dargestellt werden20 :
TP = V P HP
d.h.
T p P = Vp P Hp P
Dies bedeutet, da die Tangentialvektoren eindeutig zerlegt werden konnen:
X (p) = XV (p) + XH (p);
XV (p) 2 VpP; XH (p) 2 HpP :
Folglich besitzt jedes Vektorfeld X uber P eine Zerlegung
X = X V + XH ;
XV 2 ?(V P ); XH 2 ?(HP ) :
Wir wollen nun sehen, was unsere Denitionen in lokalen Koordinaten bedeuten.
20 Hierzu beweist man, da die Bedingungen hX; ui = 0 (u 2 (
1 )) und hX; ! i = 0
M
die Aussage X = 0 zur Folge haben.
94
3.13 Das Hauptfaserbundel lokal gesehen
Lokal ist das Hauptfaserbundel P trivial, d.h. es hat die Gestalt M G, so
da (p) = x wenn p = (x; h). Alle folgenden Formeln in diesem Abschnitt
gehen von der lokalen Trivialisierung aus und haben deshalb auch nur lokal
Gultigkeit. Die Aufspaltung der Tangentialraume
TpP = TxM ThG ;
p = (x; h) :
fuhrt dazu, da jedes Vektorfeld X 2 ?(TP ) in zwei Anteile zerfallt,
X = X M XG
XM : G ! ?(TM ) ;
XG : M ! ?(TG) ;
h 7! XM (h)
x 7! XG(x) ;
so da XM (h) fur festes h 2 G ein Vektorfeld auf M und XG(x) fur festes
x 2 M ein Vektorfeld auf G darstellt. In ahnlicher Weise zerfallt die 1-Form
! 2 1P g, die den Zusammenhang auf P bestimmt:
! = !M !G
!M = G ! 1M g ;
!G = M ! 1G g ;
h 7! !M (h)
x 7! !G(x) :
Die Forderung hXa; !i = a (a 2 g) sagt uns, da !G(x) unabhangig von
x 2 M mit der kanonischen 1-Form also dem Zusammenhang auf G
ubereinstimmt (siehe hierzu den Abschnitt 3.8). Die A quivarianzbedingung
!M (h) = g!M (hg)g?1 fuhrt zu der Darstellung
!M (h) = h?1 !M (e)h ;
so da wir zu der folgenden wichtigen Erkenntnis gelangen:
Es besteht lokal eine 1:1-Korrespondenz zwischen den moglichen
Zusammenhangen ! auf dem Hauptfaserbundel P und g-wertigen
1-Formen !M (e) auf der Basismannigfaltigkeit M .
Ein Vektorfeld X ist vertikal, falls XM = 0, horizontal, falls
hXM ; !M i + hXG; !Gi = 0 :
An der Stelle p = (x; h) lautet diese Bedingung
hXM (x; h); h?1 !M (x; e)hi + hXG(x; h); (h)i = 0
95
mit der oensichtlichen Interpretation:
XM (x; h) 2 TxM ;
XG(x; h) 2 ThG ;
!M (x; e) 2 TxM g :
Nun gilt hXG(x; h); (h)i = Thrh?1 XM (x; h) 2 g und deshalb
XG(x; h) = TerhhXG(x; h); (h)i
= ?Te rhhXM (x; h); !M (x; h)i = ?Jx;hXG(x; h) :
Hier haben wir jedem p = (x; h) eine Abbildung Jp : TxM ! ThG als Produkt
zweier Abbildungen zwischen Tangentialraumen zugeordnet:
(x;h)
Te rh
TxM !M?!
TeG ?!
Th G :
Vermoge dieser Abbildung ist es moglich, XG durch XM auszudrucken, falls
X = XM XG horizontal ist: XG = ?JXM . Dies ermoglicht uns, die
gewunschten Projektionen auf die horizontalen und vertikalen Anteile eines
Vektorfeldes X auf dem Hauptfaserbundel P (lokal) explizit anzugeben:
XH = XM (?JXM ) ;
XV = 0 (JXM + XG) :
Es sei n die Dimension der Basismannigfaltigkeit M und seien xi (i =
1; : : : ; n) lokale Koordinaten fur x 2 M . Wie wir sahen, ist ein Zusammenhang ! auf P lokal durch eine g-wertige 1-Form A auf M mit A(x) = !M (x; e)
festgelegt, die keinen Einschrankungen mehr unterliegt. In den lokalen Koordinaten konnen wir schreiben:
A = Ai (x)dxi ;
Ai(x) 2 g :
Wir nennen A das Potential. Es ist das zentrale Objekt der Eichtheorien und
bestimmt den Zusammenhang auf allen assozierten Vektorbundeln. Dies ist
das Thema des Abschnittes 3.14.
Es ist M g oenbar die lokale Version des adjungierten Bundels ad(P ) =
P G g und 1 (M; g) = 1M g die lokale Version von 1 (M; ad(P )). Es
ist zwar falsch, 1 (M; ad(P )) mit dem Raum der Zusammenhange auf P zu
identizieren (es sei denn, P ist trival), jedoch gilt: Je zwei Zusammenhange
auf P unterscheiden sich (global!) immer um ein Element in 1(M; ad(P )).
Als Krummung zeichnet man die dem Zusammenhang ! auf P zugeordnete g-wertige 2-Form 2 2P g mit der denierenden Eigenschaft
hX ^ Y; i = hXH ^ YH ; d!i ;
96
X; Y 2 ?(TP ):
Der Zusammenhang wird ach genannt, wenn seine Krummung verschwindet. Man ndet die folgende explizite Gestalt21:
= d! + 21 [!; !]
Lokal gilt
= M G ;
M = d!M + 12 [!M ; !M ] ;
G = 0 :
Die Relation G = 0 sagt, da der Zusammenhang auf G ach ist (siehe die
Maurer-Cartan-Relation). Schlielich haben wir die Moglichkeit durch
M (h) = h?1Fh ;
F = dA + 21 [A; A]
die Krummung (lokal) auf die Feldstarke F 2 2M zuruckzufuhren.
3.14 Die U bertragung des Zusammenhanges auf assozierte Vektorbundel: Die kovariante Ableitung
Es sei P ein Hauptfaserbundel uber M mit G als Strukturgruppe, E ein GModul, d.h. ein Vektorraum mit einer Darstellung von G. Wir betrachten das
assoziierte Vektorbundel E = P G E uber M , dessen Fasern Vektorraume
sind, die wie die typische Faser E aussehen. Die Projektion : E ! M
wird durch P ! M induziert. In der Feldtheorie ist M ein Modell fur die
Raumzeit, G eine Eichgruppe und E ein Darstellungsraum, der die \inneren"
Freiheitgrade (wie Farbe, schwacher Isospin, Hyperladung usw.) beschreibt.
Eine kovariante Ableitung (oder Zusammenhang) auf E ist ein Dierentialoperator erster Ordnung
r : ?(E) ! ?(T M E);
[r; f ] = df
(f 2 ?)
(37)
(? ist die Algebra der Funktionen f : M ! R ). Siehe hierzu den Abschnitt
3.8. Eine kovariante Ableitung auf E lat sich aus einem Zusammenhang !
auf P ableiten. Zunachst fuhrt ! zu einer Zerlegung des Tangentalbundels in
einen vertikales aund einen horizontales Bundel:
TP = V P HP :
Die naturliche Projektion
: P E ! P G E = E ;
21
(p; v) = r
Das Klammersymbol ist in gleicher Weise deniert, wie im Abschnitt 3.8 erlautert.
97
fuhrt zu einer Projektion
v : P ! E ;
v (p) = r
und die wiederum zu einer linearen Abbildung
Tv : TpP ! Tr E
und somit zu einer Aufspaltung T E = V E H E in horizontale und vertikale
Bundel vermoge
Vr E = fTv X (p) j X (p) 2 VpP g
Hr E = fTv X (p) j X (p) 2 HpP g
Man kann zeigen, da diese Denitionen unabhangig von (p; v) sind, solange
(p; v) = r gilt (Grund: Die Gruppe G operiert nur auf dem horizontalen
Bundel). Damit sind wir in der Lage, der Projektion
?(T E) ! ?(H E) ;
X 7! XH
einen Sinn zu geben, die jedem Vektorfeld ein horizontales Vektorfeld zuordnet. Als Lift bezeichnet man die eindeutige Abbildung
?(TM ) ! ?(T E) ;
X 7! X" ;
die folgende zwei Bedingungen erfullt:
(1) X" ist horizontal, d.h. X" 2 ?(H E).
(2) Es gilt hX"; (u)i = hX; ui fur alle u 2 ?(T M ).
Die Bedingung (1) macht deutlich, da die Konstruktion des Liftes ganz entscheidend von dem gewahlten Zusammenhang auf P abhangt. Die Bedingung
(2) lat sich auch so formulieren:
Tr X"(r) = X (x) ;
x = (r) 2 M; r 2 E :
Schlielich erinnern wir an die auere Ableitung von k-Formen auf dem Vektorbundel E:
V
V
d : ?( k T E) ! ?( k+1T E) :
V
Beachte hierbei, da ?( 0 T E) = ?(E) der Vektorraum aller Funktionen f :
M ! E mit f = idM ist. Auf der aueren Ableitung beruht entscheidend
die folgende Denition:
98
Denition. Die kovariante Ableitung (37) auf dem assoziierten Vektorbundel
E ist durch
hX; rf i = hX" ; df i 2 ?(E) ;
X 2 ?(TM ); f 2 ?(E)
deniert.
Die Darstellung von G auf dem Vektorraum E sei mit D bezeichnet:
D(g) : E ! E
v 7! D(g)v
(g 2 G):
Verbunden damit ist eine Darstellung der Lie-Algebra g auf E :
(a) = dtd D(eta )t=0 (a 2 g):
Man rechnet leicht nach, da in lokalen Koordinaten
r = d + (A) = dxi (@i + (Ai ))
gilt, wenn der Zusammenhang auf P durch das Potential A = dxiAi mit
Ai (x) 2 g beschrieben wird (siehe den vorigen Abschnitt).
99
4 Wirkungsfunktionale fur Eichtheorien
4.1 Metrische Zusammenhange auf hermiteschen
Vektorbundeln
Sei E ! M ein Vektorbundel mit typischer Faser E . Hierbei kann E ein
reeller oder komplexer Vektorraum sein. In vielen Situationen, die in der
Feldtheorie auftreten, ist E ein komplexer endlich-dimensionaler Vektorraum
mit einer hermiteschen Struktur, der eine unitare Darstellung der Eichgruppe
G tragt, wahrend M , wie schon fruher betont, ein Modell fur die Raum-Zeit
darstellt. Wir haben es also im wesentlichen mit einer der folgenden typischen
Situationen zu tun:
E ist ein komplexer (reeller) Vektorraum mit einem Skalarprodukt
(; ) und einer unitaren (orthogonalen) treuen Darstellung D(g)
der Eichgruppe G. Das Vektorbundel E ist assoziiert zu einem
Hauptfaserbundel P ! M mit der Strukturgruppe G:
E = P G E:
Das Skalarprodukt in E induziert ein Skalarprodukt (; ) in jeder
Faser Ex in einer Weise, da dieses dierenzierbar von p 2 M
abhangt, d.h. aus f 2 ?(E) folgt (f; f ) 2 C 1(M ). Jeder Zusammenhang ! auf P fuhrt auf eine kovariante Ableitung r (ein
Zusammenhang auf E) mit der Eigenschaft
d(f; f ) = (rf; f ) + (f; rf )
(38)

fur alle f 2 ?(E). Aquivalent
hierzu ist die Relation
X (f; f ) = (rX f; f ) + (f; rX f )
gultig fur alle Vektorfelder X 2 ?(TM ).
Ein Vektorbundel mit einer hermiteschen Struktur in jeder Faser wird hermitesches Bundel genannt22 , und eine kovariante Ableitung r mit der Bedingung (38) heit metrisch. Wir erinnern daran, da die Darstellung D dann
treu genannt wird, wenn D(g) = id nur fur g = e (Einheit in G) gilt.
Lokal haben wir immer die Darstellung
r = d+A;
22
A = 1M End E ;
Immer vorausgesetzt, da das Skalarprodukt sich dierenzierbar mit p 2 M andert.
100
gleich welche Eichgruppe G und Darstellung D wir gewahlt haben. Sei n die
Dimension von E und (ea )n1 eine orthonormierte Basis in E . In Analogie zu
den Christoel-Symbolen des Levi-Civita-Zusammenhanges kann man auch
hier schreiben:
Aea = dx?ba (x)eb ;
wobei die ?ba reell- oder komplexwertige Funktionen auf einer Karte von M
sind.
Die Erweiterung der kovarianten Ableitung zu einem Operator auf ganz
(E) mit der Eigenschaft
r : k (E) ! k+1 (E)
vermoge der Leibniz-Regel ist eine Standard-Prozedur: Dies geschieht am
zweckmaigsten uber die Richtungsableitung
(X ) k
r
rX : k (E) ?!
k+1 (E) ?!
(E) ;
X 2 ?(TM );
die den Grad einer Dierentialform erhalt. Siehe hierzu die parallele Diskussion im Abschnitt 3.7. Schlielich benotigen wir die U bertragung der kovarianten Ableitung auf Dierentialformen mit Werten im Endomorphismenbundel
End E. Dies geschieht so, da
rX (U!) = (rX U )! + U (rX !) ; U 2 (End E); ! 2 (E)
erfullt ist. Anders ausgedruckt: Man identiziert rX U mit dem Kommutator
[rX ; U ]. Wollen wir diese Vereinbarung direkt fur r formulieren, so wird sie
ein wenig komplizierter:
[r; U ] U 2 k (End E) und k=gerade
rU := fr
; U g U 2 k (End E) und k=ungerade.
Als Krummung F bezeichnet man die folgende Komposition zweier Abbildungen:
r
r
F : k (E) ?!
k+1(E) ?!
k+2(E) :
Aus [r; f ] = df fur alle Funktionen f 2 ? und d2 = 0 folgt [F; f ] = 0, d.h.
F ist ein lokaler Operator auf (E). Wir konnen F als 2-Form mit Werten
in dem Endomorphismenbundel interpretieren: F 2 2 (End E). Lokal haben
wir die vertraute Darstellung
F = dA + 21 [A; A] 2 2M (g) ;
wobei : g ! End E die mit D verknupfte Darstellung der Lie-Algebra ist.
Bezuglich des Skalarproduktes in E gilt
((a)u; v) + (u; (a)v) = 0 ;
a 2 g; u; v 2 E;
101
wofur wir auch (a) + (a) = 0 schreiben.
Es seien D1 (g) und D2(g) zwei unitare (bzw. orthogonale) Darstellungen
der Eichgruppe G auf den komplex-(bzw. reell-)linearen Raumen E1 und E2 .
Es sei : E1 ! E2 eine lineare Abbildung mit D1 (g) = D2(g) fur alle
g 2 G, also ein Morphismus
(E1; D1) ?!
(E2 ; D2)
zwischen G-Modulen, kurz ein G-Morphismus. Verbunden damit ist ein Morphismus zwischen den assoziierten Vektorbundeln E1 und E2 , so da das
folgenden Diagramm kommutativ ist:
id
P E1 ?!
P E2
#
#
G E1 := P G E1 id?!
P G E2 =: E2
Zur Begrundung: Wenn (pg; v) und (p; D1(g)v) dasselbe Element in P G E1
sind, so auch (pg; v) und (p; D1(g)v) = (p; D2(g)v) in P G E2 . Der Einfachheit halber schreiben wir anstelle von id G . Wir demonstrieren diese
Konstruktion an zwei Beispielen.
1. Beispiel. Es sei E ein komplex-linearer Raum mit einer hermiteschen
Struktur, U (E ) die Gruppe der unitaren Operatoren, D : G ! U (E ) eine
treue Darstellung der Eichgruppe und : g ! u(E ) die zugehorige Darstel-
lung der Lie-Algebra. Es seien durch
(E1; D1 ) = g ;
(E2; D2) = u(E )
zwei reell-lineare G-Module bestimmt mit den Darstellungen
D1(g)a = gag?1 (a 2 g) ; D2(g)A = D(g)AD(g)?1 (A 2 u(E )):
Wegen (gag?1) = D(g)(a)D(g)?1 ist ein G-Morphismus und kann zu
einem Morphismus
ad P := P G g ?!
P G u(E ) =: ad E
erweitert werden. Wir erkennen sofort, da die Krummung F (oder Feldstarke)
eine 2-Form mit Werten in der Lie-Algebra ad E ist. Zwei kovariante Ableitungen auf E unterscheiden sich um einen lokalen Operator:
r1 ? r2 = A ; A 2 1((ad P )):
Im Gegensatz zu dem Vektorpotential ist die 1-Form A global deniert. Die
kovarianten Ableitungen bilden also einen anen Raum uber den 1-Formen
102
mit Werten in der Lie-Algebra (ad P ).
2. Beispiel. Mit den Vorausetzungen vom 1. Beispiel betrachten wir den
V
G-Morphismus
V V
(E; D) ?! ( E; D)
zwischen komplex-linearen G-Modulen.
Er kann zu einem Morphismus
V
V
V
E := P G E ?! P G E =: E
erweitert werden.
Oft schreibt man auch A ^ A fur 21 [A; A]. Mit
A = dx A(x) ; F = 12 dx ^ dx F (x)
nden wir explizit:
F = @ A ? @ A + [A ; A ] :
Satz. Die Krummung erfullt die sog. zweite Bianchi-Identitat rF = 0.
Den Beweis fuhrt man am besten lokal, um zu erkennen, da rF = 0 eine
Folge der Jakobi-Identitat ist:
rF = dF + [A; F ]
= dA ^ A ? A ^ dA + [A; dA + A ^ A]
= dA ^ A ? A ^ dA + A ^ dA ? dA ^ A + [A; A ^ A]
= 2A ^ A ^ A
= 2 dx ^ dx ^ dx ([A; [A ; A ]] + [A ; [A ; A]] + [A ; [A; A ]])
3!
= 0:
Es sei M eine orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension d. Im
Abschnitt 3.6 wurde gezeigt, da in jedem PunktVx 2 M ein kanonisches
reelles Skalarprodukt in dem reellen Vektorraum k TxM existiert mit der
Eigenschaft
V
v ^ u = (u; v) = !0(u; v) ; u; v 2 k TxM;
wobei den Hodge-Operator und !0 = 1 die Volumenform
V der Mannigfaltigkeit bezeichnet. Dies gibt dem reellen Vektorbundel T M eine reellhermitescheV Struktur. Wir konnen sie dazu nutzen, um dem komplexen Vektorbundel T M End E eine komplex-hermitesche Struktur zu geben, und
103
V
zwar dadurch, da wir in jeder Faser TxM End Ex ein Skalarprodukt
einzufuhren:
V
(u A; v B ) = (u; v) Spur(AB ) ;
u; v 2 TxM; A; B 2 End Ex :
V
Der Hodge-Operator kann ebenfalls auf das Bundel T M End E durch
die Vorschrift
(u A) = u A ;
ausgedehnt werden, so da gilt:
Spur(V ^ U ) = !0 (U; V ) ;
U; V 2 k (End E):
Mit der Erweiterung des Hodge-Operators gelingt es uns, jeder Ableitung r
ihre Koableitung r zuzuordnen:
r = (?1)kd+k+1 r : k (End E) ! k?1(End E)
in Analogie zur Denition der Koableitung d (siehe den Abschnitt 3.6).
Deshalb ist auch hier das Vorzeichen so gewahlt, da
d Spur(U ^ V ) = !0 ((V; rU ) ? (r V; U ))
fur alle U 2 k (End E) und V 2 k+1(End E) gilt. Nach Integration uber
die Mannigfaltigkeit verschwindet die linke Seite aufgrund des Theorems von
Stokes.
4.2 Wirkungsfunktionale
Wir ubernehmen alle Voraussetzungen des vorigen Abschnittes und fordern
daruberhinaus, da die Raumzeit M kompakt sei (damit
Integrale uber M
V
existieren). Die hermitesche Struktur des Bundels T M End E erlaubt,
der Krummung F eine d-Form (d ist die Dimension von M ) zuzuordnen:
V
!0 (F; F ) 2 dM = ?( dT M );
0 (F; F ) 2 0M = ?:
Durch Integration entsteht daraus das Wirkungsfunktional einer Eichtheorie:
W=
1
2 (F; F )L2
=
Z
M
!0 21 (F; F ) :
Es wird begrien als ein Funktional des Zusammenhanges auf E. Wir betonen
erneut, da die moglichen kovarianten Ableitungen r einen anen Raum
bilden: Zwei kovarianten Ableitungen unterscheiden sich um ein Element
A 2 1 ((ad P )) 1 (ad E) 1(End E)
104
Um die Euler-Lagrangeschen Gleichungen des Variationsproblems
W = stationar
zu erhalten, haben wir r durch r + tA zu ersetzen, das Wirkungsfunktional
an der Stelle t = 0 zu dierenzieren und das Ergebnis gleich Null zu setzen.
Durch die Ersetzung werden F und W t-abhangig. Wir nden F (t) = F +
trA + O(t2) und somit
d W (t) = Z ! Re(rA; F ) = Z ! Re(A; r F ):
t=0
0
0
dt
M
M
Hier haben wir die Eigenschaft
Z
M
!0 (V; rU ) =
Z
M
!0 (rV; U )
gultig fur U 2 k (End E) und V 2 k+1(End E) ausgenutzt. Die Krummung
F entspricht einem stationaren Punkt der Wirkung genau dann, wenn
Re(A; rF ) = 0
fur alle A 2 1 (ad E) gilt. Da sowohl A wie auch rF antihermitesche Matrizen als Werte annehmen, ist (A; rF ) sicher reell, und wir konnen uns
auf die Bedingung (A; rF ) = 0 konzentrieren. Da wir verlangten, da die
Darstellung der Eichgruppe auf E treu sei, folgt daraus die Feldgleichung
r F = 0:
Beachte, da rF in 1 (ad E) liegt.
Da : g ! u(E ) injektiv ist (aus (a) = 0 folgt a = 0), ist die durch
(a; b) := Spur((a)(b)) = ?Spur((a)(b)) (a; b 2 g)
denierte (reelle) Bilinearform nicht-entartet, stellt also ein Skalarprodukt in
g dar. Wir konnen eine Basis ei 2 g so wahlen, da (ei ; ek ) = ik gilt, und
denieren
e^i = (ei ) 2 End E :
In einer lokalen Trivialisierung
U g ?!
U u(E ) ; (U M )
werden die e^i zu Vektoren in der Faser ad Ex (x 2 U ), nach denen das
Eichpotential zerlegt werden kann,
A = dx e^iAi (x) ;
105
mit reellen Koezienten Ai (x), den \Komponenten" von A. A hnlich verfahren wir mit der Krummung:
F = 21 dx ^ dx e^iFi (x) :
Auch hier sind die Koezienten Fi (x) reell. Wir sehen in ihnen die physikalischen Feldstarken. Wir nden nun lokal
(F; F ) =
=
=
=
^
^
1 dx ; dx dx ) Spur (^
ei e^k )Fi Fk
4 (d
1
i k
4 ((d ; dx )(dx ; dx ) (d ; dx )(dx ; dx )) (ei ; ek )F F
1 (g g g g ) F i F k
ik 4
1 g g F i F k :
ik 2
?
?
Wir konnen nach bewahrtem Schema (siehe die Rechnung am Ende des Abschnittes 3.6) einen expliziten lokal gultigen Ausdruck fur rF erhalten.
Dazu setzen wir:
r F = dx (r F ) ; (r F ) = g (rF )
F = 21 dx ^ d F ; F = g g F ;
nehmen wie fruher jDet(g j = 1 an und erhalten
(rF ) = ?@ F ? [A ; F ] :
Bevor wir mit den allgemeinen Erorterungen fortfahren, wollen wir einige
relevante Beispiele studieren.
4.3 Beipiele fur Eichtheorien
In den folgenden Beispielen wollen wir oen lassen, wie das jeweilige Hauptfaserbundel P ! M beschaen ist. Man mag um der Konkretheit willen annehmen, da es sich um ein triviales Hauptfaserbundel der Form P = M G
handelt, so da alle assozierten Vektorbundel gleichfalls trivial werden, z.B.
E=M E;
End E = M End E :
Zugleich hat dann jede kovariante Ableitung auf E nicht nur lokal, sondern
auch global die Gestalt r = d + A mit A 2 1M g. Wir wahlen lokale
Koordinaten x , setzen g := (dx; dx ) und schlieen den Fall der LorentzMetrik nicht aus. Wenn wir von dem Raum C n sprechen, so besitzt er die
durch
jz1j2 + jz2 j2 + jznj2
106
gegebene hermitesche Struktur.
Die Elektrodynamik im Vakuum. Hier ist G = U (1) und E = C mit der
Darstellung z 7! ei z. Zugleich gilt g = iR , = id und
ad E = M iR M C = End E :
Wir betrachten die imaginare Einheit i als die normierte Basis der eindimensionalen Lie-Algebra u(1) und zerlegen das Eichpotential A sowohl nach
dieser Basis als auch nach der Basis dx in ?(T M ):
A = dx iA (x) ; A (x) 2 R :
A hnlich verfahren wir mit der Feldstarke F . Da die Eichgruppe abelsch ist,
ist die Feldgleichung linear:
r F = d F = 0 ) @ F = 0 :
Das Beispiel ist sehr einfach und wurde schon im Abschnitt 3.6 betrachtet.
Die Eichtheorie des Salam-Weinberg-Modells. Dieses Modell vereinigt
alle Eichfelder der elektro-schwachen Wechselwirkung, ohne Higgs-Feld und
Materie-Felder. Folglich ndet keine Symmetriebrechung statt, und alle Eichteilchen sind
ist G = U (2). Ihr Darstellungsraum
V 2 masselos. Die Eichgruppe
2
ist E = C VmitVder durchVu : C ! C 2 ; z 7! uz (u 2 U (2)) induzierten
Darstellung u : C 2 ! C 2 . Wir gewinnen die zugeordnete Darstellung
der Lie-Algebra durch
?V (a 2 u(2)):
(a) = dtd eita t=0
Nun rechnet man leicht nach, da
(a; a) := ?Spur (a)2 = ?Spur a2 ? (Spur a)2
gilt. Dies hat man zu vergleichen mit dem von Salam und Weinberg gewahlten Ansatz, der eine Trennung in einen su(2)-Anteil und einen u(1)-Anteil
vorsieht mit den Kopplungskonstanten g und g0:
hi = 21 Spur ():
(a; a)SW := ? 12 h(a ? hai)2i ? 102 hai2 ;
g|
g
{z
} | {z }
su(2)
u(1)
Man ndet U bereinstimmung mit (a; a) (bis auf einen Faktor), wenn g2 =
3g02 gesetzt wird. Gewohnlich schreibt man g0=g = tan W und nennt W den
107
Weinberg-Winkel. Experimentell mit man sin2 W . Die theoretische Voraussage ergibt den Wert sin2 W = 0;25.
Eine geeignete Basis ei in der Lie-Algebra u(2), die (ei ; ek ) = ik erfullt,
ist durch
p
4 + a3
1 ? ia2 ?
i
1
=
3
a
a
k
p
2
u(2) (ak 2 R )
a = a ek = p
1
2
4
3
a
+
ia
1
=
3
a
?
a
2
gegeben. In der gewahlten Darstellung erhalten wir die Bilder e^i = (ei).
Dies ist auch die Basis, nach der das Eichfeld A und die Feldstarke F zerlegt
wird, um die \physikalischen" reell-wertigen Felder zu erhalten:
A = dx e^iAi ; F = 21 dx ^ dx e^iFi :
Die Wirkung zerfallt in einen U (1)-Anteil und einen SU (2)-Anteil. Der erste
beschreibt eine QED-artige Theorie, der zweite eine Yang-Mills-Theorie.
Die Eichtheorie des Standardmodells. Diese Modell vereinigt alle Eich-
felder der elektro-schwachen und der starken Wechselwirkung, jedoch ohne
das Higgs-Feld und die Dirac-Felder der fundamentalen Fermionen. Die Eichgruppe ist
G = S (U (3) U (2)) SU (5)
mit der
V 5Lie-Algebra g = su(3) su(2) u(1). Der Darstellungsraum ist
E = C mit der Darstellungen
V
V
: G ! U (E ) ;
= Lie : g ! u(E ) :
Hier bezeichnet U (E ) die Gruppe der unitaren Operatoren auf E und u(E )
die korrespondierende Lie-Algebra. Jedes Element a 2 g verstehen wir als
eine antihermitesche 5 5-Matrix. Eine Rechnung zeigt:
?
(a; a) = ?Spur (a)2 = ?8 Spur a2 + (Spur a)2 :
Eine Basis ek = ?itk (k = 1; : : : ; 12) mit der Eigenschaft (ej ; ek ) = jk ist
k= 1; 2; 3
k=4
k= 5; : : : ; 12
q 2
0
0
?
0
1l
0
k
?
4
3
1
1
3
1
3
tk 4 0 4 5
4
0 0
0 1l
k
2
Hier sind k die Pauli-Matrizen und k die Gell-Mann-Matrizen. Beschranken
wir uns auf die darin enthaltene u(2)-Algebra, so erhalten wir die folgende
Parametrisierung:
p
?i 3=5 a4 + a3 p a1 ? ia2 2 u(2) (ak 2 R ):
3=5 a4 ? a3
a1 + ia2
4
108
Der Faktor vor a4 (relativ zu dem vor a3 und absolut genommen) ist mit
g0=g = tan W zu identizieren. Also
r
3
2 = 3
)
sin
W
5
8
Die Abweichung von dem im Experiment bestimmten Wert23 des WeinbergWinkels lat sich durch Quantenkorrekturen erklaren.
tan W =
Die Yang-Mills-Theorie. Historisch gesehen war dies die erste nicht-abelsche
Eichtheorie, ein Modell also, mit dem wir heute keine konkrete Physik mehr
verknupfen. Die Eichgruppe ist G = SU (n) (n 2, ursprunglich n = 2) in
der adjungierten Darstellung auf dem reellen Vektorraum E = su(n). Bis
auf ein Vorzeichen ist das Skalarprodukt mit der Killing-Form identisch:
(a; a) = ?Spur(ad(a)2 ) = ?2n Spur a2 ;
wobei
ad(a) : g ! g; b 7! [a; b] (a; b 2 g)
die adjungierte Darstellung der Lie-Algebra g = su(n) beschreibt.
Es ist unmittelbar klar, da man ebensogut von dem Darstellungsraum
E = C 2 ausgehen kann, mit einem unbedeutenden Unterschied, der sich im
veranderten Skalarprodukt zeigt. Es gilt jetzt (a; a) = ?Spur a2 ohne den
Vorfaktor 2n.
4.4 Eichtransformationen
Sei P ein Hauptfaserbundel uber M mit der Lie-Gruppe G als Strukturgruppe. Sei g die Lie-Algebra von G. Eine globale Eichung ware dann ein Schnitt
s 2 ?(P ). Gabe es einen solchen Schnitt, so konnten wir jedem Zusammenhang ! 2 1P g vermoge der pull-back-Konstruktion
A = s (!) 2 1M g
ein global (auf M ) deniertes Eichpotential zuordnen. Es zeigt sich jedoch,
da ein globaler Schnitt nur dann existiert { ?(P ) also nichtleer ist {, wenn
P ein triviales Bundel ist, d.h. die Struktur M G besitzt. Wir erkennen so
den tieferen Grund, warum Eichpotentiale i.allg. nicht global deniert werden
konnen.
Das Wirkungsfunktional einer Eichtheorie ist so konstruiert, da es eichinvariant ist. Was ist jedoch eine Eichtransformation? Die Gruppe Di(P )
23 Experimentell: sin2 0;23
W
109
der Dieomorphismen von P ist zu gro, da sie die Faserstruktur von P nicht
respektiert. Ein Dieomorphismus f : P ! P respektiert die Faserstruktur {
ist ein Bundelmorphismus {, wenn es einen Dieomorphismus fM : M ! M
gibt, so da das folgende Diagramm kommutiert:
f
P ?!
P
#
fM
#
M ?! M
Nun ist P nicht nur ein Bundel, sondern besitzt auch noch eine Strukturgruppe G. Hieraus resultiert die starkere Forderung, namlich da f aquivariant
sei:
f (pg) = f (p)g (p 2 P; g 2 G):
Fur ein Hauptfaserbundel folgt hieraus in der Tat, da f die Faserstruktur
respektiert. Man deniert deshalb die Automorphismengruppe von P in der
folgenden Weise:
Aut(P ) = ff 2 Di(P ) j f ist aquivariantg:
Vom Standpunkt der Dierentialgeometrie erscheint diese Denition sehr
naturlich. Vom Standpunkt der Eichtheorien ist jedoch diese Gruppe immer
noch zu gro. Als Gruppe der Eichtransformationen bezeichnet man diejenige
Untergruppe von Aut(P ), deren Elemente trivial auf der Basis M operieren:
G (P ) = ff 2 Aut(P ) j fM = idg:
Man erkennt leicht, da G (P ) eine normale (oder invariante) Untergruppe
von Aut(P ) ist, wobei der Quotient gerade alle Dieomorphismen von M
enthalt24 . Dieser Sachverhalt lat sich durch die folgende exakte Sequenz
von Gruppen ausdrucken:
j
i
1 ! G (P ) ?!
Aut(P ) ?!
Di(M ) ! 1 :
Hier bezeichnet die Abbildung i die naturliche Einbettung, und j ist durch
j (f ) = fM (f 2 Aut(P )) gegeben.
Die physikalische Interpretation einer Eichtransformation f 2 G (P ) ist
die einer lokalen (punktweisen in Bezug auf M ) A nderung der Eichung. Ist
das Bundel trivial, so kann f wiederum als eine Abbildung M ! G aufgefat
werden. Es ist bemerkenswert, da es alternative Charakterisierungen der
Gruppe G (P ) gibt.
Theorem. Die folgenden beiden Gruppen sind isomorph zu G (P ):
Da M ein Modell fur die Raumzeit sein soll, bedeutet die Forderung fM =id gerade, da eine Eichtransformation nicht auch noch einen Koordinatenwechsel im Sinne der
Allgemeinen Relativitatstheorie mit beinhaltet.
24
110
1. Die Gruppe aller aquivarianten C 1-Funktionen f : P ! G,
CG1(P; G) = ff 2 C 1(P; G) j f (pg) = g?1f (p)g; p 2 P; g 2 Gg
2. Die Gruppe ?(Ad(P )) der Schnitte des assoziierten Bundels Ad(P ) =
P G G, konstruiert bezuglich der adjungierten Wirkung von G auf sich
selbst.
Der Beweis ist leicht und wird hier ubergangen. Wir sehen: Nach allen Hindernissen ist dennoch moglich, Eichtransformationen als Schnitte eines Bundels
aufzufassen. Man beachte jedoch, da Ad(P ) zwar ein Bundel von Gruppen,
jedoch kein Hauptfaserbundel ist. Ferner: Wir konnen der Gruppe G (P ) eine
Lie-Algebra zuordnen, die unendlich-dimensional ist:
Lie G (P ) = ?(ad(P ));
wenn ad(P ) = P G g dasjenige assoziierte Vektorbundel ist, das bezuglich
der adjungierten Wirkung der Gruppe G auf ihre Lie-Algebra g konstruiert
ist. Eine andere Auassung ist
Lie G (P ) = CG1(P; g) ;
als Folge des obigen Theorems. Gemeint sind alle Funktionen C 1-Funktionen
f : P ! g mit der Eigenschaft, aquivariant zu sein: f (pg) = g?1f (p)g.
111