Übungen zu "Grundlagen der Logik in der Informatik"

Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS16/17
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Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” WS16/17
Montag 14:15-15:45, Martenstr. 3, Raum 00.152-113
Daniel Hausmann
[email protected]
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen
Department Informatik
Lehrstuhl 8
January 23, 2017
Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS16/17 | Wiederholung | Wiederholung aus der Vorlesung
Pränexe Normalform
Eine pränexe Normalform ist eine Formel der Form Q1 x1 , . . . , Qn xn (φ)
mit Q1 , . . . , Qn ∈ {∀, ∃} und φ quantorenfrei.
Satz
Zu jeder Formel lässt sich durch Anwendung der Regeln
¬∃x (φ) ≡ ∀x (¬φ)
¬∀x (φ) ≡ ∃x (¬φ)
φ ∧ ∃x (ψ) ≡ ∃x (φ ∧ ψ)
φ ∧ ∀x (ψ) ≡ ∀x (φ ∧ ψ)
φ ∨ ∃x (ψ) ≡ ∃x (φ ∨ ψ)
φ ∨ ∀x (ψ) ≡ ∀x (φ ∨ ψ),
eine äquivalente pränexe Normalform berechnen, wobei für die letzten
beiden Zeilen x ∈
/ FV (φ) vorausgesetzt wird; falls nötig, gebundene
Variable umbenennen.
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Skolemform
Eine Skolemform ist eine pränexe Normalform, die nur Allquantoren
enthält. Formeln φ, ψ heißen erfüllbarkeitsäquivalent, wenn φ erfüllbar
ist genau dann, wenn ψ erfüllbar ist.
Satz
Zu jeder pränexen Normalform lässt sich eine erfüllbarkeitsäquivalente
Skolemform durch wiederholte Anwendung der Umformung
∀x1 , . . . , ∀xn (∃y (φ)) ; ∀x1 , . . . , ∀xn (φ[f (x1 , . . . , xn )/y ])
berechnen, mit jeweils einem frischen Funktionssymbol f . (Achtung:
Regel nur auf ganze Formeln anwenden, nicht auf Teilformeln innerhalb
größerer Formeln!)
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Klauselform
Bringe Skolemform Q1 x1 , . . . Qn xn (φ) mit Qi = ∀ für alle i wie folgt in
Klauselform:
Normalisiere φ zu CNF ψ;
Entferne führende Allquantoren (implizite Allquantifizierung);
Schreibe ψ als Menge von Klauseln.
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Resolution (Prädikatenlogik)
Resolutionsregel mit impliziter Faktorisierung
(RIF )
C1 , A1 , . . . , An
C2 , ¬B
C1 σ, C2 σ
(σ = mgu(A1 , . . . , An , B)),
.
wobei mgu(A1 , . . . , An , B) = mgu{Ai = B | i = 1, . . . , n}.
Vor Anwendung der Regel Variablen in beiden Ausgangsklauseln so
umbenennen, dass die Klauseln disjunkte Variablenmengen haben.
Beweise die Gültigkeit einer Formel φ wie folgt:
1
Bilde ¬φ
2
Transformiere ¬φ in Klauselform
3
Wende (RIF) an, bis 2 erreicht ist.
(Achtung: für φ nicht gültig terminiert der Algorithmus eventuell nicht.)
Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS16/17 | Übungsblatt 10 | Aufgabe 1 (Präsenzaufgabe)
Aufgabe 1 - Trinkerparadoxon und Resolution
Beweisen Sie das Trinkerparadoxon
∃x T (x) → ∀y (T (y ))
mittels Resolution erster Stufe. Führen Sie dazu die folgenden Schritte
durch:
1
Negieren Sie die Formel.
2
Bringen Sie die Formel in pränexe Normalform.
3
Bringen Sie die Formel in Skolemform.
4
Berechnen Sie die entsprechende Klauselform.
5
Wenden Sie das Resolutionsverfahren an.
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