Topologie¨Ubungsblatt 5 - math.uni

Topologie Übungsblatt 5
1. Sei p eine Primzahl. Ist Zp kompakt? (Zp ist Z mit der p-adischen Topologie).
2. Sei (X, T ) ein topologischer Raum, und seien A, B kompakte Teilmengen von X. Beweisen
Sie, dass A ∪ B auch kompakt ist.
3. Sei (X, T ) ein toplogischer TRaum und sei (Ai )i∈I eine Familie von kompakten Teilmengen
von X. Beweisen Sie, dass i∈I Ai kompakt ist.
4. Sei (X, T ) ein topologischer Raum, und sei ∗ 6∈ X. Sei T 0 die Menge aller Teilmengen von
X ∪ {∗}, die entweder offen in X sind oder der Form U ∪ {∗} sind, wobei X \ U kompakt
und abgeschlossen in X ist.
(a) Beweisen Sie, dass (X ∪ {∗}, T 0 ) ein kompakter topologischer Raum ist (er heißt die
Einpunktkompaktifizierung von X).
(b) Beweisen Sie, dass die Einpunktkompaktifizierung von R homöomorph zu dem Kreis ist.
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