Analysis I - TU Darmstadt/Mathematik

A
Prof. Dr. Christian Herrmann
Peter Lietz
Jon Nedelmann
Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
WS 2000/2001
28./29. November 2000
5. Übung zur
Analysis I
für INF/WINF
Aufgabe 35 - zum Aufwärmen
a) Berechne 114 und 95 mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes und ohne elektronische Hilfe.
P
2
2
b) Berechne 1000
i=1 [i − (i + 1) ].
P
c) Berechne 100
i=1 i.
Aufgabe 36 - Rekursion
a) Wir definieren rekursive Funktionen f und g:
f (0)
f (succ(n))
g(m, 0)
g(m, succ(n))
=
=
=
=
0
n
m
f (g(m, n))
Um was für Funktionen handelt es sich?
b) Betrachte folgendes JAVA-Programm, das zu einer Eingabe n die n-te
Fibonacci-Zahl berechnet.
public class Fibonacci {
public static void main(String[ ] args){
int input = Integer.parseInt(args[0]);
int result = fibonacci(input);
System.out.println(result);}
public static int fibonacci(int x) {
if (x<=0) return 0;
else if (x==1) return 1;
else if (x==2) return 1;
else return (fibonacci(x-1)+fibonacci(x-2));}}
Gib eine rekursive Definition der Fibonacci-Zahlen an.
Aufgabe 37 - das Pascalsche Dreieck
a) Die folgende Skizze zeigt das sogenannte Pascalsche Dreieck:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
7
15
9
28
1
6
10
21
1
3
4
10
20
35
36
56
15
35
70
1
5
1
6
21
56
1
7
28
1
1
126 126
84
36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1
8
3
4
6
1
2
8
84
Bis auf die Spitze ist jede Zahl die Summe der versetzt über ihr stehenden
Zahlen. Zeige,
dass in der n-ten Zeile an der k-ten Stelle der Binomialkoef
fizient nk bzw. (n − k, k) (Schreibweise in Bröckers Buch) steht, was n und
k betrifft so zählen wir ab 0.
b) Zeige, dass die Summe der Einträge einer Zeile immer eine Zweierpotenz ist,
d.h. eine Zahl der Gestalt 2k mit k ∈ N0 .
Aufgabe 38 - logisches Zwischenspiel II
a) Überlege Dir, wie eine Aussage der Form
Für alle... bzw. Es gibt ein...
negiert wird.
b) Negiere folgende Aussage, ohne das Wort “nicht” zu benutzen.
Jeder Mensch ist glücklich.
c) Drücke die folgende Aussage über die Arithmetik natürlicher Zahlen knapp
in Worten aus:
∃x.x 6= 1 ∧ (∀y∀z.x = y · z → x = y ∨ x = z)
Ist die Aussage wahr? Schreibe die Negation der Aussage sowohl in Worten
als auch als Formel auf.
Aufgabe 39
Berechne die Summe
50
X
k=1
Tipp: Stelle
k
4k2 −1
(−1)k
k
.
−1
4k 2
als Summe zweier Brüche dar.
Aufgabe 40 - Induktion
Erstaunlicherweise können das Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz
für die Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen induktiv bewiesen werden.
Wir wollen dies exemplarisch für das Assoziativgesetz der Addition durchführen.
Beweise also, dass für alle m, n, k ∈ N0
add(m, add(n, k)) = add(add(m, n), k) bzw. m + (n + k) = (m + n) + k.
Tipp: Benutze vollständige Induktion über k. Zur Erinnerung, die rekursive Definition der Addition sieht folgendermaßen aus:
add(m, 0) = m
add(m, succ(n)) = succ(add(m, n))
Aufgabe 41
Die folgenden Gleichungen sollen drei Funktion f, ϕ und J definieren, jeweils mit
Definitions- und Wertebereich N0 .
f (0) = 0
f (succ(n)) = mult(n, f (n))
J(0)
J(1)
J(2n)
J(2n + 1)
=
=
=
=
0
1
2J(n) − 1 für alle n ∈ N
2J(n) + 1 für alle n ∈ N
ϕ(0)
ϕ(1)
ϕ(pr )
ϕ(m · n)
=
=
=
=
0
1
pr − pr−1 falls p Primzahl
ϕ(m) · ϕ(n) falls ggT (m, n) = 1
Dabei ist ggT (m, n) der größte gemeinsame Teiler von m und n.
a) Berechne f (4), ϕ(12) und J(65).
b) Argumentiere, warum die gegebenen Gleichungen tatsächlich die jeweiligen
Funktion eindeutig festlegen. Inwiefern handelt es sich um rekursive Definitionen?
Aufgabe 42∗ - Pascalsches Dreieck II
In unserem Pascalschen Dreieck sind noch viele andere Gesetzmäßigkeiten versteckt. Drei weitere wollen wir uns noch anschauen:
a) Zeige, dass in jedem wie in der Skizze dargestellten Sechseck das Produkt
von drei nichtbenachbarten Zahlen immer gleich ist.
28 56
36
126
120 210
56 · 36 · 210 = 28 · 120 · 126 = 423360
b) Markieren wir alle Zahlen, die Vielfache einer fest gewählten Zahl n sind,
dann erhalten wir ‘auf dem Kopf stehende Dreiecke’. Beweise, warum das
so ist. Die Skizze zeigt dieses Phänomen für n = 3:
3
3
6
6
15
21
9
15
6
21
36
84
126 126
84
36 9
45 120 210 252 210 120 45
165 330 462 462 330 165
c) Die Fibonacci-Zahlen sind auch im Pascalschen Dreieck versteckt. Findest
Du sie?
Lösungen zu den Testaufgaben auf dem Kommentarblatt vom 23.11:
T40 a) und c), T41 b) und c), T42 b), T43 b), T44 c)