Universität Regensburg Analysis 3 Maß- und

Universität Regensburg
Analysis 3
Maß- und Funktionentheorie
Dozent: Prof. Ulrich Bunke
LATEX: Frank Reinhold
Wintersemester 2008/2009
Inhaltsverzeichnis
1 Maßtheorie
1.1 Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Prämaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Partitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 σ-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Messbare Funktionen und punktweise Konvergenz
1.6 Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Äußeres Maß, Ausdehnung von Maßen . . . . . . .
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2
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2
2
3
3
3
4
2 Integration
2.1 Das Integral positiver Funktionen . . .
2.2 Approximation messbarer Funktionen
2.3 Grenzwertsätze für das Integral . . . .
2.4 Integrierbare Funktionen . . . . . . . .
2.5 Differenzieren unter dem Integral . . .
2.6 Der Satz von Fubini . . . . . . . . . .
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7
3 Funktionentheorie
3.1 Holomorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Integration über Ketten . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Analytische Eigenschaften holomorpher Funktionen
3.5 Harmonische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Anwendung in der Integralrechnung . . . . . . . .
3.9 Riemann’scher Abbildungssatz . . . . . . . . . . .
3.10 Hauptverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
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Maßtheorie
1.1
Algebren
Sei Ω eine Menge, P (Ω) die Potenzmenge. Eine Algebra auf Ω ist eine Teilmenge R ⊆ P (Ω) mit folgenden
Eigenschaften:
1. ∅, Ω ∈ R
2. R ist stabil unter endlichen Vereinigungen.
3. R ist stabil unter der Bildung von Komplementen.
Ein Paar (Ω, R) aus einer Menge Ω und einer Algebra R auf Ω heißt prämessbarer Raum.
T Sei S ⊆ P (Ω), R
eine Algebra auf Ω. Dann gibt es eine kleinste S-enthaltende, eindeutige Algebra R(S) := S⊆R R auf Ω. Wir
nennen R(S) die von S erzeugte Algebra.
Sei f : Ω → Ω0 eine Abbildung zwischen Mengen, S ⊆ P (Ω), T ⊆ P (Ω0 ). Wir setzen f∗ S := {f (A)|A ∈ S}
und f ∗ T := {f −1 (A)|A ∈ T }. Seien (Ω, R), (Ω0 , R0 ) prämessbare Räume. Eine Abbildung f : Ω → Ω0 heißt
messbar, falls f ∗ R0 ⊆ R.
1.2
Prämaße
Wir dehnen die additive Struktur von
R aus:
(
λx
[0, ∞] × [0, ∞] → [0, ∞], ∞ + x := ∞, x + ∞ := ∞, λ ∈ [0, ∞), x ∈ [0, ∞] : λx =
0
λ ∈ (0, ∞)
λ=0
Sei (Ω, R) ein prämessbarer Raum. Eine Funktion µ : S
R → [0, ∞] P
heißt endlich additiv, wenn für jede paarweise disjunkte endliche Familie (Xi )i∈I in R gilt: µ( i∈I Xi ) = i∈I µ(Xi ). Eine endlich additive Funktion
µ : R → [0, ∞] heißt Prämaß. Ein Prämaßraum ist ein Tripel (Ω, R, µ) mit Ω ist eine Menge, R eine Algebra
auf Ω, µ ein Prämaß.
Beispiel (Zählprämaß auf Ω): R := P (Ω), µ(A) := |A| (Anzahl).
P
Beispiel (gewichtetes Zählprämaß):
P Sei f : Ω → [0, ∞] gegeben. R := P (Ω), µf (A) := a∈A f (a). f ≡ 1
liefert das Zählprämaß. Wenn man a∈Ω f (a) = 1 annimmt, dann erhält man ein Wahrscheinlichkeitsmaß“
”
µf (Ω) = 1.
(
0 x∈
/A
Beispiel (Dirac-Prämaß): Sei Ω eine Menge, R = P (Ω), x ∈ R. δx (A) :=
1 x∈A
Sei I gerichtet, (Ri )i∈I eine aufsteigende Familie von Algebren,
(µi )i∈I Prämaße. Für i ≤ j gilt µj |Ri = µi .
S
Dann existiert ein endeutig bestimmtes Prämaß µ auf R := i∈I Ri mit µ|Ri = µi .
Sei f : (Ω, R) → (Ω0 , R0 ) messbar, µ ein Prämaß auf (Ω, R). Dann definiert f∗ µ(A) := µ(f −1 (A)), A ∈ R0 ein
Prämaß auf (Ω0 , R0 ).
1.3
Partitionen
Sei Ω eine Menge.SEine endliche Teilmenge S ⊆ P (Ω) heißt Partition, wenn die Elemente von S paarweise
disjunkt sind und A∈S A = Ω.
Sei f : Ω0 → Ω, S eine Partition von Ω. Dann ist f ∗ S eine Partition von Ω0 .
Sei S = (Si )i∈I eine Partition. Dann ist jedes Element in R(S) eine eindeutige Darstellung aus endlichen Vereinigungen von Elementen von S.
Sei S eine Partition und
S µ : S→ [0,
P∞] vorgegeben. Dann hat µ eine eindeutige Ausdehnung zu einem Prämaß
µ : R(S) → [0, ∞], µ i∈J Si := i∈J µ(Si ).
Beispiel: Die dyadische Algebra auf
µ : 1 → [0, ∞].
R
N
R1 ist definiert als R1 := Si∈N R(Dr1 ) mit dem dyadischen Prämaß (µr )r∈N ,
Z
Z
Z Z
Beispiel: Sei p ∈
eine Primzahl. Wir definieren die Projektion
prn+1 : /pn+1 → /pn . Die MenQ
ge der p-adischen Zahlen ist definiert als p := {(an )n≥0 ∈ n≥0 /pn | prn+1 (an+1 ) = an ∀n ≥ 0}.
Sei Ω eine Menge. Dann definieren wir die chaotische Partition von Ω durch SChaot (Ω) := {{x}|x ∈ Ω} die
Menge aller Punktmengen von Ω.
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Z Z
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Analysis 3
Z
Z
Z
Z
−1
Sei πm : p → /pm , πm ((an )) := am und Sm := πm
(SChaot )( /pm ). Dann definieren
wir ein Prämaß
S
1
−1
µm : Sm → [0, ∞], µm (πm ([a])) := pm . Die Haarsche Algebra ist definiert als R := m≥0 R(Sm ).
P
Beispiel: Sei
A eine endliche Menge, f : A → [0, 1] mit a∈A f (a) = 1. Der Schiftraum AN ist definiert
Q
als AN = n∈N A. Hierauf betrachten wir die Projektion qn : AN → An , qn ((ai )) := (a1 , . . . , an ). Wir setzen
Sn := q ∗ SChaot (An ). Dann ist (R(Sn ))n∈N Q
eine aufsteigende Folge von Algebren. Ein Prämaß auf R(Sn ) ist
n
µn : R(Sn ) → [0, ∞], µn (qn−1 (a1 , . . . , an )) = i=1 f (ai ).
1.4
σ-Algebren
Sei Ω eine Menge. Eine Algebra auf Ω ist eine σ-Algebra, wenn sie abgeschlossen unter abzählbaren disjunkten
Vereinigungen ist. Eine σ-Algebra ist abgeschlossen
unter abzählbaren Vereinigungen und Durchschnitten. Sei
T
(Ri )i∈I eine Familie von σ-Algebren ⇒
R
ist
eine σ-Algebra.T
i
i∈I
Sei S ⊆ P (Ω). Es gibt genau eine kleinste σ-Algebra Rσ (S) := S⊆R R, mit R ist σ-Algebra, auf Ω, die S
enthält.
Sei f : Ω → Ω0 . Dann gilt:
1. Ist R0 eine σ-Algebra auf Ω0 , dann ist f ∗ R0 eine σ-Algebra auf Ω.
2. Ist S 0 ⊆ P (Ω0 ), dann ist Rσ (f ∗ S 0 ) = f ∗ (Rσ (S 0 )).
3. Ist S 0 ⊆ P (Ω0 ), dann ist f : (Ω, R) → (Ω0 , R0 ) messbar, genau dann wenn f ∗ (S 0 ) ⊆ R.
1.5
Messbare Funktionen und punktweise Konvergenz
Ein Paar (Ω, R) aus einer Menge Ω und einer σ-Algebra R heißt messbarer Raum. Sei (Ω, τ ) ein topologischer
Raum. Die σ-Algebra Bτ := Rσ (τ ) heißt Borelsche σ-Algebra.
Eine stetige Abbildung f : (Ω0 , τ0 ) → (Ω1 , τ1 ) ist messbar.
Sei Pn : AN → A, Pn ((ai )) := an eine Projektion. Wir definieren die Zylindermenge wie folgt: S :=
{Pn−1 (x)|n ∈ , x ∈ A}.
Q
Sei ((Ωi , RS
i ))i∈I eine Familie messbarer Räume, Ω :=
i∈I Ωi , Pi : Ω → Ωi eine Projektion. Dann ist
R := Rσ ( i∈I Pi∗ Ri ) die kleinste σ-Algebra, Q
bezüglich welcher Pi messbar ist. (Ω, R) heißt Produkt der
Familie ((Ωi , Ri ))i∈I . Wir schreiben (Ω, R) = i∈I (Ωi , Ri ).
Seien (Ωi , τi ) mit i = 1, 2 topologische Räume mit abzählbarer Basis und (Ω1 × Ω2 , τ ) das topologische Produkt.
Seien (Ωi , Bi ) die unterliegenden Borelschen Räume mit dem Produkt (Ω1 × Ω2 , B). Dann ist B = Rσ (τ ).
Sei (Ω, R) ein messbarer Raum,
= [−∞, ∞]. Eine Funktion f : Ω →
ist messbar, falls die Teilmengen
f −1 ([−∞, a]) messbar sind.
Ist (fn )n∈N eine Folge von Funktionen mit fn : Ω → , dann sind u(x) := supn fn (x) und v(x) := inf n fn (x)
messbar.
Sei fn eine Folge von monoton wachsenden, messbaren Funktionen. Dann ist der punktweise Grenzwert von fn
messbar.
Sei (fn )n∈N eine Folge von messbaren Funktionen, dann ist der punktweise Grenzwert von fn messbar.
N
R̄
R̄
R̄
1.6
Maße
Sei (Ω, R) ein messbarer Raum, µ ein Prämaß.
µ heißt
S
P σ-additiv, wenn für jede abzählbare Folge (Ai )i∈N von
disjunkten Mengen mit An ∈ R gilt: µ( n∈N An ) = n∈N µ(An ). Ein messbarer Raum mit einem σ-additiven
Prämaß heißt Maßraum. Ein σ-additives Prämaß heißt Maß.
Sei (Ω, R) ein messbarer Raum, µ ein Prämaß auf Ω mit µ(Ω) < ∞.SDann ist µ σ-additiv genau dann, wenn für
jede absteigende Folge A1 ⊂ A2 ⊂ . . . von messbaren Mengen mit n∈N An = ∅ gilt, dass limn→∞ µ(An ) = 0.
Sei (Ω, R, µ) ein maßraum und F eine messbare Menge, i : F ,→ Ω. Dann ist i∗ R = R|F , Ω|F = F ,
R|F = {A ∩ F |A ⊂ R}. Wir nennen (Ω|F , R|F , µ|F ) die Einschränkung des Maßraums (Ω, R, µ) auf F .
Dies ist wieder ein Maßraum.
Sei (Ω, R) ein messbarer Raum, µ ein Prämaß, F1 ⊂ F2 ⊂ . . . eine aufsteigende Folge in R mit limi→∞ (µ(A ∩
Fi )) = µ(A) ∀A ∈ R. Wenn (Ω|Fi , R|Fi , µ|Fi ) σ-additiv ist, dann ist (Ω, R, µ) auch σ-additiv.
Das dyadische Lebesque-Prämaß auf dem dyadischen prämessbaren Raum lässt sich zu einem σ-additiven
Prämaß auf dem dyadischen messbaren Raum fortsetzen.
Das Dirac-Prämaß ist σ-additiv.
Das dyadische Lebesque-Prämap ist σ-additiv.
Das Haarsche Prämaß auf p ist σ-additiv.
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Analysis 3
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Der Schiftraum (AN , R, µ) ist σ-additiv.
Wir definieren einen nicht trivialen Filter F ⊂ P( ) durch folgende Eigenschaften:
N
1. ∅ ∈
/F
2. A ∈ F, A ⊆ B ⇒ B ∈ F
3. (Ai ) ∈ F eine endliche Familie ⇒
4. ∀i ∈
N ∃A ∈ F : i ∈/ A
T
i
Ai ∈ F
Die Menge der Filter ist nichtleer und halbgeordnet durch ⊆. Ein Ultrafilter ist ein maximaler nicht trivialer
Filter. Nach dem Lemma von Zorn existieren Ultrafilter.
Sei F ⊆ P( ) ein Ultrafilter, {A, B} Partition von . Dann
( gilt entweder A ∈ F, oder B ∈ F.
1 A∈F
. Dann ist µ nicht σ-additiv.
Sei F ⊆ P( ) ein Ultrafilter, µ auf ( , P( )) mit µ(A) =
0 A∈
/F
Ein
S Prämaßraum (Ω, R, µ) heißt σ-endlich, wenn es eine aufsteigende Familie (Fi )i∈N , Fi ∈ R, µ(Fi ) < ∞ mit
i∈N Fi = Ω gibt.
Sei ( , R, µ) ein Prämaßraum. Wir nennen µ̃0 , µ̃1 in
N
N
N N
N
R
/ [0, ∞) ∪ ∞
9
ss
ss
s
s
⊆
ss
ss µ̃0 ,µ̃1
s
ss
Rσ (R)
R
µ
eine Ausdehnung von µ auf Rσ (R). Sei (Ω, R, µ) ein σ-endlicher Prämaßraum. Dann hat µ höchstens eine
σ-additive Ausdehnung auf Rσ (R).
1.7
Äußeres Maß, Ausdehnung von Maßen
Sei (Ω, R, µ) ein Prämaßraum. Eine Abbildung µ̃ : P(Ω) → [0, ∞] ist monoton, wenn A ⊆ BS ⇒ µ̃(A)P≤ µ̃(B).
µ̃ heißt (σ)-subadditiv, wenn für jede endliche (abzählbare) Familie (Ai ) in P(Ω) gilt: µ̃( i Ai ) ≤ i µ̃(Ai ).
Eine monotone, σ-subadditive Abbildung µ̃ : P(Ω) →P[0, ∞] mit µ̃(∅) = 0 heißt äußeres
S Maß.
Wir definieren nun µ̃ : P(Ω) → [0, ∞], µ̃(A) = inf i µ(Fi ), wobei (Fi ) in R mit i Fi ⊇ A. µ̃ heißt dann
äußere Erweiterung von µ. Dieses µ̃ ist ein äußeres Maß.
Es gilt: µ̃(A) ≤ µ(A) ∀A ∈ R und µ̃(A) = µ(A) ∀A ∈ R, falls µ σ-additiv ist.
Sei weiterhin S ⊆ Ω. Dann heißt S c := Ω\S das Komplement von S in Ω. S heißt zerlegend, falls ∀A ∈ P(Ω)
gilt: µ̃(A) = µ̃(A ∩ S) + µ̃(A ∩ S c ).
(Ω, Rµ̃ , µ̃|Rµ̃ ) ist ein Maßraum.
Sei (Ω, R, µ) ein σ-additiver Prämaßraum. Dann besitzt µ eine Ausdehnung zu einem Maß auf Rσ (R). Wenn
(Ω, R, µ) σ-endlich ist, dann ist diese Ausdehnung eindeutig.
Sei ( n , Dn , µn ) σ-additiv und σ-endlich mit der Dyadischen Algebra Dn . Der Lebesgue-Maßraum ist
( n , B, |.|) mit µn |B =: |.|.
Seien a, b ∈ . Dann ist |[a, b)| = b − a.
Sei A ⊆ abzählbar. Dann ist |A| = 0.
Sei x ∈ , add−x :
→ , add−x (y) = y − x. Das Lebesgue-Maß ist invariant unter Translation mit einer
festen Zahl, also add−x ∗ |.|(A) := | add−1
−x (A)| = |A|.
1
Sei multx : → , multx (y) = xy, x 6= 0. Es gilt multx ∗ |.| = |x|
|.|.
Sei ( , R|.| , |.|). Dann gilt R|.| 6= P( ).
R
R
R
R
R
R
R
R R
R
R
Sei (Zp , R, µ) mit der Haarschen Algebra R und W ⊆ Z/pn Z. Dann ist µ(qn−1 (W )) =
maß auf Zp ist µ := µ̃|B . Dann ist (Zp , B, µ) ein Maßraum.
Es gilt: addλ ∗ µ = µ.
Es gilt: µ(i(Z)) = 0.
1
pn |W |.
Das Haar-
P
N
Sei A eine endliche Menge, p : A → [0, 1],
a∈A p(a) = 1. Sei nun (A , R, µ) mit der Algebra der ZylinN
dermenge R gegeben. µ ist σ-additiv und µ(A ) = 1. Also erhalten wir eine eindeutige Fortsetzung (AN , B, µ),
den Schiftraum.
Sei T : AN → AN , T ((ai )) = (ai+1 ) der Schift. Dann ist T∗ µ = µ.
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Analysis 3
Sei (Ω, R, µ) ein Maßraum.
A ∈ R heißt Nullmenge, falls µ(A) = 0. (Ω, R, µ) heißt vollständig, falls
S
∀A ∈ P(Ω) mit A ⊆ i∈I Ni abzählbare Familie von Nullmengen (Ni )i∈I gilt A ⊆ R.
Sei µ̃ ein äußeres Maß auf Ω und (Ω, Rµ̃ , µ̃|Rµ̃ ) der dazu assoziierte Maßraum. Dann ist dieser vollständig.
Seien A, F Mengen. Die Symmetrische
Differenz ist definiert als A∆F := (A ∩ F c ) ∪ (Ac ∩ F ). R̄µ := {A ⊆
S
R|∃F ∈ R sodass A∆F ⊆ i∈I Ni } für eine abzählbare Familie von Nullmengen (Ni )i∈I in R. µ̄ : R̄µ → [0, ∞],
µ̄(A) := µ(F ) ist wohldefiniert. (Ω, R̄µ , µ̄) ist ein vollständiger Maßraum.
R
R
Beispiel: ( , R|.| , |.|) ist Vervollständigung von ( , B, |.|B ). (
2
Zp , Rµ̃ , µ̃|R
µ̃
Zp , B, µ).
) ist Vervollständigung von (
Integration
2.1
Das Integral positiver Funktionen
Sei Ω, R, µ) ein Maßraum. Eine messbare Abbildung f : Ω → [0, ∞) heißt einfach, wenn f nur endlich viele
Werte annimmt. Die Menge der einfachen Funktionen auf Ω schreiben wir ε+ (Ω). Wir versehen ε+ (Ω) mit
der punktweisen Addition und der punktweisen skalaren Multiplikation. Außerdem ist ε+ (Ω) partiell geordnet
durch f ≤ g :⇔ ∀x ∈ Ω : f (x) ≤ g(x).
Sei f ∈ ε+ (Ω). Wir betrachten Ar := P
f −1 ({r}) für r ∈ ≥0 . Die Ar sind alle messbar und Ar 6= ∅ bis auf
≥0
endlich viele r ∈
. Also ist f =
,
r≥0 r · χAr mit der charakteristischen Funktion χA : Ω →
(
1 x∈A
die kanonische Darstellung von f . Das Integral einfacher Funktionen ist definiert als
χA (x) :=
0 x∈
/A
R0
R0
P
. . . dµ : ε+ (Ω) → [0, ∞], f 7→ f dµ := r≥0 r · µ(Ar ).
(
R0
7 x ∈ [−1, 1] \
Beispiel : Ω := , µ := |.| Lebesguemaß, f (x) :=
, dann ist f d|.| = 7 · |[−1, 1] \ | = 14
0 sonst
(
R0
2 x≥5
Beispiel : Ω := , µ := δ5 Diracmaß, g(x) :=
, dann ist g dδ5 = 2 · δ5 [5, ∞) = 2
0 x<5
R
R
R
Q
R
Q
R
Sei t ≥ 0, f, g ∈ ε+ (Ω), dann gilt:
R0
R0
1.
tf dµ = t · f dµ
2.
R
3.
R0
f + g dµ =
f dµ ≤
R0
R0
f dµ +
R0
g dµ (Additivität)
g dµ für f ≤ g (Monotonie)
R
Sei A ⊆ Ω. Das untere Integral beliebiger Funktionen ist definiert als A . . . dµ : {f : Ω → [0, ∞]} → [0, ∞],
R
R0
R
R
R
f 7→ A f dµ := supφ∈ε+ (Ω),φ≤f ·χA φ dµ. Wir schreiben auch f dµ für Ω f dµ und A f (x, y, z) dµ(x) bei
mehreren Variablen.
Sei t ≥ 0, f, g : Ω → [0, ∞], ϕ ∈ ε+ (Ω) und A, B ⊆ Ω. Dann gilt:
R
R0
1. A ϕ dµ = ϕχA dµ, wenn A messbar ist.
R
2. A f dµ = 0, wenn A Nullmenge ist.
R
3. A f dµ = 0, wenn {x|f (x) > 0} Nullmenge ist.
R
R
4. A f dµ ≤ A g dµ, wenn f ≤ g ist.
R
R
5. A f dµ ≤ B f dµ, wenn A ⊆ B ist.
R
R
6. A t · f dµ = t · A f dµ
Das untere Integral beliebiger Funktionen ist im Allgemeinen nicht additiv!
R̄
R̄
Betrachte Abbildungen f, g : (Ω, R) → ( , B) mit ∞ + ∞ = ∞, ∞ · 0 = 0, ∞ − ∞ = 0, −∞ + ∞ = 0,
∞r = ∞ ∀r > 0, 10 = ∞. Dann sind −, +, · : 2 → messbar. Sind f, g : Ω → messbar, so sind f +g, f −g, f g
messbar. Ebenso sind min(f, g), max(f, g) messbar und |f |, f1 messbar. Ist (fi ) eine Folge messbarer Funktionen
mit Werten in , dann sind sup fi , inf fi , lim sup fi , lim inf fi messbar und mit lim fi → f ist auch f messbar.
L(Ω, R) = {f : Ω → |f messbar bezüglich R, B}.
R̄
6. Februar 2009
R̄
R̄
R̄
Seite 5
Analysis 3
2.2
Frank Reinhold
Approximation messbarer Funktionen
Sei f ∈ L(Ω, R) beschränkt. Dann existiert eine Folge (ϕi ) ∈ ε(Ω, R) einfacher Funktionen mit f = limi ϕi
gleichmäßig.
f :Ω→
ist genau dann messbar, wenn f punktweise durch eine Folge einfacher Funktionen approximiert
werden kann.
Ist f : Ω → , f ∈ L(Ω, R) nicht negativ. Dann exisitert eine monotone Folge (ϕi ) ∈ ε(Ω, R)≥ mit f = limi ϕi
punktweise.
Sei (Ω, R, µ) ein Maßraum, P : Ω → {wahr, falsch} messbar. P gilt fast überall bezüglich µ, falls µ({P =
f }) = 0. P gilt beinahe für Ω bezüglich µ, falls für jedes > 0 ein A ∈ R mit µ(Ac ) < und P |A ≡ w existiert.
Betrachte nun:
R̄
R̄
1. (fi ) Folge in L(Ω, R). fi → f fast überall punktweise, wenn µ({x ∈ Ω|fi (x) 6→ f (x)}) = 0.
2. fi → f beinahe gleichmäßig, falls für jedes > 0 ein A ⊂ R mit µ(Ac ) < und fi |A → f |A gleichmäßig,
exisitiert.
3. f, fi : Ω → X, (X, d) metrisch. fi → f stochastisch, falls für alle > 0 gilt limi→∞ µ({d(fi , f ) > }) = 0.
Aus beinahe gleichmäßig folgt fast überall punktweise und stochastisch. Wenn µ(Ω) < ∞ gilt, dann folgt aus fast
überall punktweise, beinahe gleichmäßig und stochastisch. Für eine geeignete Teilfolge folgt aus stochastisch,
fast überall punktweise.
2.3
Grenzwertsätze für das Integral
R
Sei (Ω, RR, µ) ein Maßraum. Sei (fi )i∈N eine Folge in L(Ω, R) mit fi ≥ 0. Dann gilt: Ω lim inf i fi dµ ≤
lim inf i Ω fi dµ.
R
R
Sei fi in L(Ω, R), fi ≥ 0 monoton wachsend.
R Dann gilt: ΩRlimi fi dµ R= limi Ω fi dµ.
Seien f, g ∈ L(Ω, R), f,
ist Ω (f + g) dµ = Ω f dµ + Ω g dµ. Weiterhin: Ist f ≤ g fast überall
R g ≥ 0. Dann
R
bezüglich µ, dann gilt Ω f dµ ≤ Ω g dµ.
R P
P R
Sei (fi ) eine Folge in L(Ω, R), fi ≥ 0. Dann gilt Ω i fi dµ = i Ω fi dµ.
2.4
Integrierbare Funktionen
R
1
Sei f ∈ L(Ω, R). f heißt integrierbar, wennR Ω |f | dµ < R∞. Wir definieren
R)|f integrierbar}.
R −L (Ω, R, µ) = {f ∈ L(Ω,
+
−
+
+
f = f − f mit f := f χ{f ≥0} und Ω f dµ := Ω f dµ − Ω f dµ. Es gilt f ∈ L1 (Ω, R, µ), falls
f + , f − ∈ L1 (Ω, R, µ).
Seien f, g ∈ L1 (Ω, R, µ), r ∈ . Dann ist Rrf + g ∈ L1 (Ω, R, µ).
R
R
Seien f, g ∈ L1 (Ω, R, µ), r ∈ . Dann ist Ω (rf + g) dµ = r Ω f dµ
+ Ω g dµ.
R
R
Seien f, g ∈ L1 (Ω, R, µ), f ≤ g Rfast überallRbezüglich µ. Dann ist Ω f dµ ≤ Ω g dµ.
Sei f ∈ L1 (Ω, R, µ). Dann ist | Ω f dµ| ≤ Ω |f | dµ.
R
R
Seien f, g ∈ L1 (Ω, R, µ) und f = g fast überall bezüglich µ. Dann ist Ω f dµ = Ω g dµ.
Sei f ∈ L1 (Ω, R, µ), h ∈ L(Ω, R) und f = h fast überall bezüglich µ. Dann ist h ∈ L1 (Ω, R, µ).
Sei (fi ) eine Folge in L(Ω, R), g ∈ L1 (Ω, R, µ), g ≥ 0, |fi | ≤R g fast überall
bezüglich µ, fRi → f fast überall
R
bezüglich µ, f ∈ L(Ω, R). Dann gilt f ∈ L1 (Ω, R, µ) und limi Ω fi dµ = Ω f dµ, sowie limi Ω |fi − f | dµ = 0.
R
R
2.5
Differenzieren unter dem Integral
R
R
R
R
Sei 0 ∈⊆ , offen und zusammenhängend, f : U × R , u f : Ω → , u f (x) = f (u, x) mit u ∈ U , sowie fx : Ω → ,
fx (u) = f (u, x) mit x ∈ Ω.(Weiterhin sei F (u) := Ω u f dµ, F : U → . Wenn fx für fast alle x ∈ Ω differen-
R
fx0 (u) fx differenzierbar
messbar. Wenn es ein g ∈ L1 (Ω, R, µ) mit supu |u f 0 | ≤ g
0
sonst
R
gibt, dann ist 0 f 0 integrierbar und F 0 (0) = 0 f 0 dµ.
Rb
Sei [a, b] ∈ . Betrachte den Raum C([a, b]) versehen mit dem Skalarprodukt (f, g) = a f (x)g(x) dx und der
dadurch induzierten Norm kf kL2 . Wir wissen, dass der Raum (C([a, b]), k.kL2 ) nicht Banach ist, da er nicht
vollständig ist. Betrachte Vervollständigung L2 ([a, b], k.kL2 ). Die Äquivalenzklasse von Cauchyfolgen dehnt sich
aus.
Definiere den Raum der 2π-periodischen -wertigen Funktionen als C2π ( ) = {f ∈ C( )|f (x + 2π) =
f (x) ∀x ∈ }.
zierbar ist, so ist u f 0 (x) =
R
R
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C
R
R
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Frank Reinhold
Analysis 3
R 2π
Wir definieren ein( Skalarprodukt als (f, g) = 0 f¯(x)g(x) dx. Dann ist ein Orthogonalsystem gegeben
1 n=m
mit en (x) = e2πinx . Dann ist die Entwicklung von f bezüglich (en )n∈Z gleich
durch (en , em ) =
0 sonst
P
f (x) = n∈Z (en , f )en . Ein normierter Vektorraum ist dann gegeben durch (C2π ( ), k.kL2 ) mit der Norm
p
kf kL2 = (f, f ).
Pn ∂ 2
Sei Ω ⊆ n . Dann ist der Laplaceoperator definiert als ∆ = i=1 ∂x
und r ∈ C(∂Ω) gegeben.
i . Sei h ∈ C(Ω)
R
Suchen f ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω̄) mit ∆f + f p = h, f |∂Ω = r. P : f → f p , kϕkp = Ω |ϕ|p d|.|, kP (ϕ)k1 = kϕkp ,
P : Lp (Ω) → L1 (Ω). Lp (Ω) ist die Vervollständigung von C(Ω) bezüglich k.kp .
R
Sei (Ω, R, µ) ein
p ∈ [1, ∞]. Wir definieren Lp (Ω, R, µ) := {f ∈ L(Ω, R)| Ω|f |p dµ > ∞} =
R Maßraum,
{f ∈ L(Ω, R)| Ω |kf kpp < ∞} für p < ∞ und L∞ (Ω, R, µ) := {f ∈ L(Ω, R)| esssup |f | = kf k∞ < ∞} mit
esssup(f ) := inf r∈R {f ≤µ r}.
Dann gilt: f ∈ Lp (Ω, R, µ) ⇒ µ(f −1 ({∞, −∞})) = 0 für p < ∞ und µ({|f | > kf k∞ } = 0.
Wir definieren eine Äquivalenzrelation f = µg, kf − gkp = 0. Dann ist Lp (Ω, R, µ) := Lp (Ω, R, µ)/ =µ mit
k.kp ist auf Lp (Ω, R, µ) wohldefiniert. Es gilt k[f ]kp := kf kp und f ∈ L(Ω, R) ist endlich, wenn f (Ω) ≤ . Jede
Klasse in Lp (Ω, R, µ) hat endlichen Vertreter.
Wir erhalten eine Vektorraumstruktur durch [f ], [g] ∈ Lp (Ω, R, µ), λ ∈ , f, g endlich ist wohldefiniert.
Es gilt [f ] + λ[g] = [f + λg]. Die Norm k[f ]kp = kf kp ist wohldefiniert. Es gilt die Dreiecksungleichung
kf + gkp ≤ kf kp + kgkp .
R
R
R
R
Satz von Fischer, Riesz :
Für p ∈ [1, ∞] ist Lp (Ω, R, µ) ein Banachraum.
ε(Ω, R) ∩ Lp (Ω, R, µ) ⊆ Lp (Ω, R, µ) ist dicht.
Für p ∈ [1, ∞) ist Cc ( ) ⊆ Lp ( , B, |.|) sind dicht.
Da Cc∞ ( ) ⊆ Cc ( ) sind auch die glatten Funktionen dicht in Lp ( , B, |.|).
Sei (Ω, R̄, µ̄) die Vervollständigung von (Ω, R, µ). Dann ist Lp (Ω, R̄, µ̄) ∼
= Lp (Ω, R, µ).
R
2.6
R
R
R
R
Der Satz von Fubini
Seien (Ωi , Ri , µi ), i = 0, 1 Maßräume, (Ω, R) = (Ω0 , R0 ) × (Ω1 , R1 ), also Ω = Ω0 × Ω1 und R = Rσ (R0 × R1 ).
Wir wollen ein Maß µ auf (Ω, R) mit der Eigenschaft, dass µ(A0 × A1 ) = µ(A0 )µ(A1 ). Wir wissen bereits, dass
solch ein Prämaß auf R(R0 × R1 ) existiert.
Wenn (Ω1 , R1 , µ1 ) σ-endlich ist, dann existiert dieses Maß.
Wenn (Ωi , Ri , µi ), i = 0, 1 σ-endlich sind, dann existiert genau ein Maß µ auf (Ω, R) mit µ(A0 × A1 ) =
µ0 (A0 )µ1 (A1 ).
Seien (Ωi , Ri , µi ), i = 0, 1, Ω = Ω0 × Ω1 , U eine σ-Algebra auf Ω und (Ω1 , R1 , µ1 ) σ-endlich. Wenn f ∈ L(Ω, U )
ist, dann ist für jedes ω0 ∈ R0 die Funktion ω1 7→ f (ω0 , ω1 ) messbar.
R
Beispiel : ( , BR , |.|R ) σ-endlich. Dann ist (
R × R, Rσ (BR × BR ), µ) = (R2 , BR , |.|R ).
2
2
Seien (Ωi , Ri , µi ),R i = 0, 1 σ-endliche
Maßräume und (Ω, R, µ) = (Ω0 , RR0 , µ0 ) × (Ω1 , R1 , µ1 ). Sei f ∈ L(Ω, R),
R R
f ≥ 0. Dann gilt Ω f dµ = Ω0 Ω1 f (ω0 , ω1 ) dµ1 (ω1 )dµ0 (ω0 ) und ω0 →
7
f (ω0 , ω1 ) dµ1 (ω1 ) ist messbar.
Ω1
Satz (Fubini):
R
Sei f ∈ L(Ω, R). Die Funktionen ω0 7→ Ω1 f ± (ω0 , ω1 ) dµ1 (ω1 ) sind genau dann in L1 (Ω0 , R0 , µ0 ), wenn
f ∈ L1 (Ω1 , R1 , µ1 ) gilt. In diesem Fall gilt:
Z
Z
Z
f dµ =
Ω
f (ω0 , ω1 ) dµ1 (ω1 )dµ0 (ω0 )
Ω0
(1)
Ω1
RSei (Ω, R, µ) ein Maßraum, f ∈ L(Ω, R), f ≥ 0. Wir definieren ein Maß f µ auf (Ω, R). Dann ist (f µ)(A) =
f dµ ein Maß.
A
Ein Maß ν ist bezüglich µ absolutstetig, falls für jedes A ∈ R mit ν(A) < ∞ gilt: limε↓0 supB∈R;B⊆A;µ(B)<ε ν(B) =
0.
Sei ν σ-endlich und absolutstetig bezüglich µ. Dann folgt für
R f ∈ R aus µ(A) = 0 auch ν(A) = 0.
Wenn f ∈ L1 (Ω, R, µ), dann gilt limε↓0 supB∈R;B⊆A;µ(B)<ε A f dµ.
Transformationsformel für das Lebesguemaß:
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Analysis 3
Seien U, V ⊆
Frank Reinhold
Rn offen, ψ : U → V
ein Diffeomorphismus. Dann gilt für das Lebsguemaß |.| auf
ψ∗ (f |.|U ) =
Beispiel : (0, ∞) × (0, 2π) ⊆
f ◦ ψ −1
|.|V
| det(Jψ) ◦ ψ −1
Rn :
(2)
sin α ). Dann ist ψ (r|drdα| ) = |.| .
R2 , ψ(r, α) = ( rr cos
∗
U
V
α
Sei f ∈ L(Ω, R), f µ, µ : R → [−∞, ∞], µ(∅) = 0, µ ist σ-additiv und drei Klassen:
1. M + : µ(A) > −∞ ∀A, µ(Ω) = ∞
2. M − : µ(A) < ∞ ∀A, µ(Ω) = −∞
3. M fin : |µ(A)| < ∞, ∀A
µ ist ein signiertes Maß, wenn es in einer dieser Klassen liegt.
Sei (Ω, R, µ) ein Maßraum. Wenn f ∈ L1 (Ω, R, µ) ist, dann ist f µ ein signiertes Maß in M fin . Wenn f ∈ L(Ω, R),
und f ± ∈ L1 (Ω, R, µ) ist, dann ist f µ ein signiertes Maß in M mp .
Sei µ ein signiertes Maß auf (Ω, R). Eine Partition {S, T } von Ω heißt Hahnsche Zerlegung von Ω, falls für
jedes A ∈ R gilt µ(A ∩ S) ≤ 0, µ(A ∩ T ) ≥ 0.
Beispiel : f ∈ L(Ω, R), f = f + − f − , T := {f + > 0}, S := {f − ≤ 0}. Dann ist {S, T } eine Hahnsche
Zerlegung für f µ, wenn µ ein Maß auf Ω ist.
Sei µ ein signiertes Maß auf (Ω, R). Dann besitzt µ eine Hahnsche Zerlegung.
Der Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung ist nur auf überall differenzierbaren Funktionen anwendbar, nicht auf fast-überall differenzierbaren Funktionen.
Sei (Ω, R, µ) ein Maßraum, λ ein signiertes Maß auf (Ω, R). T ⊆ R heißt Träger von λ, falls λ(A) = 0 ∀A ∈ R
mit A ⊆ ω \ T . λ heißt singulär zu µ, falls es einen Träger T von λ gibt, welcher eine µ-Nullmenge ist. Einige
Beispiele sind:
1. Sei C ein Träger von µ, |C| = 0. Dann ist µ singulär zu |.|.
P
2. Sei A ⊆ eine abzählbare Menge, µ := x∈A δx , A ein Träger von µ. Dann ist µ singulär zu |.|.
P
3. Sei (Ω, R, µ) σ-endlich, A = {x ∈ Ω : µ({x}) 6= 0} abzählbar. µ = x∈A µ({x})δx + ν, ν(A) = 0. Dann
sind die Maße zueinander singulär.
R
Sei (Ω, R, µ) ein σ-endlicher Maßraum, ν ein weiteres σ-endliches Maß auf (Ω, R). Dann existiert ein nichtnegatives f ∈ L(Ω, R) und ein zu µ singuläres Maß λ auf (Ω, R) mit ν = f µ + λ. Dabei ist λ eindeutig und f
eindeutig bis auf =µ .
Satz (Radon-Nikodym):
Sei (Ω, R, µ) σ-endlich, ν σ-endlich und bezüglich µ absolutstetig. Dann existiert ein bis auf =µ eindeutiges
f ∈ L(Ω, R), f ≥ 0, sodass ν = f µ.
Lebesguezerlegung :
P
µ auf , µ = f |.| + y 0 . Dann ist µ0 = x µ0 ({x})δx + y 00 .
R
3
Funktionentheorie
3.1
Holomorphe Funktionen
C C
Wir betrachten komplexwertige Funktionen f : → . V |R ist der unterliegende reelle Vektorraum von
V . Eine Abbildung φ ∈ homR (V |R , W |R ) ist komplex linear, genau dann wenn φ(iv) = iφ(v) ∀v ∈ V gilt.
−1
Sei f ∈ homC (V, W ), fR ∈ homR (V |R , W |R ) invertierbar mit g|R = fR
. Dann ist gR komplex linear. Zum
Beispiel ist φ : → , φ(z) = z̄ reell linear, aber nicht komplex linear, da φ(iz) = −iφ(z) ist.
Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum. Dann ist VR ein endlich dimensionaler Vektorraum und es gilt:
2 dimC V = dimR V |R . Auf der unterliegenden Menge von V (oder V |R ) gibt es eine natürliche Topologie
(induziert von V |R → dimR V |R ). Man kann also von offenen Teilmengen in V reden.
Seien U, V endlich dimensional, S ⊆ U offen, s ∈ S, f : S → V , S ⊆ U |R , f : S → V |R und f in s differezierbar,
also df (s) ∈ homR (U |R , V |R ). f ist in s komplex differenzierbar, wenn f in s differenzierbar ist und df (s)
ist komplex linear. Wenn f in jedem Punkt von S komplex differenzierbar ist, dann heißt f holomorph.
C C
R
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Analysis 3
Sei W ein endlich dimensionaler komplexer Vektorraum, T ⊆ V offen, g : T → V , f (c) =: t, g in t differenzierbar.
Wenn f in s und g in t komplex differenzierbar sind, dann auch g ◦ f in s. Wenn g und f holomorph sind, dann
auch g ◦ f . Beispiele hierfür sind:
1. id :
C → C ist holomorph. d(id)(z) = id.
2. A : V → W komplex linear. Dann ist A holomorph. d(A)(v) = A.
C2 → C, (u, v) 7→ u + v ist holomorph, da linear.
4. φ : C → C, φ(z) = z̄ ist nicht holomorph. dφ(x)(u) = ū.
5. Prod : C2 → C, Prod(u, v) = uv ist holomorph. d Prod(u, v)(x, y) = xv + uy.
Seien U1 , U2 , V1 , V2 C-Vektorräume, S1 ⊆ U1 , S2 ⊆ U2 offen, f1 : S1 → V1 , f2 : S2 → V2 , s1 ∈ S1 , s2 ∈ S2 ,
3. Add :
S := S1 × S2 ⊆ U1 × U2 , V := V1 × V2 , s := (s1 , s2 ) ∈ S, f = (f1 , f2 ) : S → V und fi in si komplex
differenzierbar. Dann ist f in s komplex differenzierbar. Seien f1 , f2 holomorph. Dann ist f holomorph.
Seien f, g : S → holomorph, λ ∈ . Dann ist f + λg holomorph.
Seien f, g : S → holomorph. Dann ist f g holomorph.
Die Abbildung z → z n ist holomorph. Pol ∈ [z] aufgefasst als Abbildung Pol : → . Dann ist Pol holomorph.
dz ist die konstante Abbildung von → homC ( , )
dz̄ ist die konsante Abbildung von → homR ( |R , |R )
Für ein holomorphes f : ⊇ S → kann man schreiben: df = f 0 · dz mit f 0 : S → und df (s) ∈ homC ( , ),
f 0 (s) ∈ . Beispiele hierfür sind:
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C C
CC
C C
C
CC
1. (z n )0 = nz n−1
2. Inv :
C{0} → C, Inv(z) = z−1 ist holomorph. Es gilt d(Inv)(z) = − z1 dz, also (z−1 )0 = − z1 .
2
2
Sei f : U ⊇ S → T ⊆ V differenzierbar, g : T → S die Umkehrfunktion von f differenzierbar und f holomorph.
Dann ist g holomorph mit df (g(t))−1 = dg(t).
Sei S ⊆ offen, f : S → mit z = x + iy, x, y ∈ , f = u + iv mit u, v : S → , s ∈ S. Dann sind äquivalent:
C
C
R
R
1. f ist in s komplex differenzierbar
2. Es gelten die Cauchy-Riemann-Gleichungen
∂x u(s) = ∂y v(s)
(3)
∂x v(s) = −∂y u(s)
(4)
3. Es existiert der Grenzwert
lim
h→0
In diesem Fall ist limh→0
f (s+h)−f (s)
h
f (s + h) − f (s)
h
(5)
= f 0 (s)
Seien V, W endlich dimensionale reelle Vektorräume, S ⊆ V offen. Eine W -wertige 1-Form auf S ist eine
Abbildung S → homR (V, W ). Ω1 (S, W ) ist die Menge aller W -wertigen 1 Formen. Beispiele hierfür sind:
CC
CC
1. dz ∈ Ω1 ( , ), dz̄ ∈ Ω1 ( , )
2. f ∈ C 1 (S, W ). Dann ist f ∈ Ω1 (S, W )
R
3. Sei ω ∈ Ω1 (S, W ), h : S → , hw ∈ Ω1 (S, W ), (hw)(s) = h(s)w(s), f ∈ C 1 (S, W ), h ∈ C 1 (S,
ist d(hf ) = hdf + f dh. Seien V, W komplex, h ∈ C 1 (S, ). Dann ist d(hf ) = hdf + f dh.
C
R). Dann
C
Sei V ein komplexer Vektorraum, V |R der unterliegende reelle Vektorraum. Definiere ×V |R → VR , (z, v) 7→ z̄v.
VR mit dieser Skalarmultiplikation ist ein komplexer Vektorraum. V̄ ist der komplex konjugierte Vektorraum
von V . homC (V, W ) ⊆ homR (V |R , W |R ). homC (V, W̄ ) ⊆ homR (V |R , W |R ) ist die Menge der antilinearen
Abbildungen charakterisiert durch ϕ(iv) = −iϕ(v).
Seien V, W komplexe Vektorräume. Dann ist homR (V |R , W |R ) = homC (V, W ) ⊕ homC (V, W̄ ).
Seien V, W endlich dimensional, S − subseteqV offen, ω ∈ Ω1 (S, W ), ω(s) ∈ homR (V |R , W |R ). Dann kann ω
als Summe eines linearen und eines antilinearen Anteils geschrieben werden: ω = P ω + (1 − P )ω. Ω1 (S, W ) =
Ω1,0 (S, W ) + Ω0,1 (S, W ) mit Ω1,0 (S, W ) = P Ω1 (S, W ) und Ω0,1 (S, W ) = (1 − 1)Ω1 (S, W ).
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Analysis 3
Frank Reinhold
CC
CC
CC
Beispiel : Seien dx, dy, dz, dz̄ ∈ Ω1 ( , ). Dann ist dx + idy = dz ∈ Ω1,0 ( , ) und dx − idy = dz̄ ∈ Ω1 ( , ).
Weiterhin ist dx = 21 (dz + dz̄) und dy = 12 (dz − dz̄).
Sei nun f ∈ C 1 (S, W ). Dann ist
∂x − i∂y
∂x + i∂y
df = ∂x f dx + ∂y f dy =
f dz +
f dz̄
(6)
2
2
¯ mit ∂f = P df und ∂f
¯ = (1 − P ) df . Also ist hier ∂f = ( ∂x −i∂y )f dz.
df = ∂f + ∂f
2
¯ = 0.
f ist holomorph ⇔ ∂f
Beispiel :
¯ n=0
1. ∂z n = nz n−1 dz, ∂z
¯ = ∂ f¯
2. ∂f
3. ∂(z n z̄ m ) = z̄ m nz n−1 dz
3.2
Potenzreihen
C
C
P∞
Sei (an )n≥0 eine P
Folge in , z0 ∈ . Dann ist n=0 an (Z − z0 )n eine Potenzreihe. IhrP
Konvergenzbereich
∞
∞
ist S := {z ∈ | n=0 |an (z − z0 )n | konvergiert}. Wir erhalten eine Abbildung S 3 z 7→ n=0 an (z − z0 )n ∈ .
C
C
p
Sei r ∈ [0, ∞] definiert durch 1r = lim supn n |an |. Dann gilt für den Konvergenzbereich S der Potenzreihe
P∞
n
n=0 an (z − z0 ) m dass B(z0 , r) ⊆ S ⊆ B(z0 , r).
Die Reihe konvergiert auf B(z0 , r) lokal gleichmäßig - also auf jedem kleineren Ball B(z0 , r0 ) mit r0 < r
gleichmäßig.
Die Zahl r := lim sup1 √
heißt Konvergenzradius.
n a
n
n
P∞
Auf B(z0 , r) ist S 3 z 7→ P n=0 an (z − z0 )n ∈ stetig.
P∞
∞
Auf B(z0 , r) konvergiert n=0 an (z − z0 )n lokal gleichmäßig gegen die Ableitung von n=0 an (z − z0 )n .
C
Beispiel :
P∞ n
1. ez := n=0 zn! mit r = ∞ ist holomorph.
ex+y = ex ey auch im Komplexen. (ez )0 = ez .
P∞
iz
−iz
z 2n+1
2. sin(z) := n=0 (−1)n (2n+1)!
= e −e
mit r = ∞ ist holomorph.
2
P∞
eiz +e−iz
n z 2n
mit r = ∞ ist holomorph.
cos(z) := n=0 (−1) (2n)! =
2
sin2 (z) + cos2 (z) = 1, die reellen Nullstellen sind die komplexen Nullstellen von sin und cos.
∂ sin(z) = cos(z) dz
∂ cos(z) = − sin(z) dz
3. cot(z) :=
tan(z) :=
4. ln(z) :=
cos(z)
sin(z)
sin(z)
cos(z)
P∞
R
C/{πn|n ∈ Z} ist der holomorphe Kotangens.
auf C/{π(n + 12 )|n ∈ Z} ist der holomorphe Tangens.
auf
n=0 (−1)
C
n
n−1 (z−1)
n
, lim supn
q
n
1
n
= 1, ln(ex ) = x für <(x) ∈ (−∞, ln(2)).
R
R
5. Sei h :
→
messbar. ∃c, C > 0, sodass |h(x)| ≤ Ce−c|x| ∀x ∈ . f (z) := R h(x)eizx dx heißt die
Fouriertransformierte.
f (z) ist holomorph auf {| im(z)| < C}, im(z) < c1 .
P∞ 1
1
−s ln(n)
ist holomorph in s und | n1s | =
6. Riemannsche Zetafunktion: ζ(s) =
n=1 ns mit ns = e
1
−<(s) ln(n)
e
= n<(s) . ζ(s) konvergiert für <(s) > 1. Dann ist ζ(s) holomorph auf {<(s) > 1}.
R∞
7. Gammafunkion: Γ(z) = 0 e−x xz−1 dx mit |xz−1 | = x<(z)−1 konvergiert für <(z) > 0 und z 7→ e−x xz−1
holomorph in z ist Γ(z) holomorph auf {<(z) > 0}.
Qk−1
Γ(z+k)
wird Γ(z) für <(z) > −k
Es gilt: zΓ(z) = Γ(z + 1), Γ(z + k) = n=0 (z + n)Γ(z) und Γ(z) = Qk−1
n=0 (z+n)
und z 6= 0, 1, . . . , k − 1 definiert.
Seite 10
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3.3
Analysis 3
Integration über Ketten
P
Sei S eine Menge, R ein Ring, R[S] ein freies R-Modul mit Basis S. Elemente
s∈S ns s, ns ∈ R, nur
endlich
viele
ungleich
0.
Die
Abbildung
f
:
S
→
T
induziert:
f
:
R[S]
→
R[T
]
mit
f∗ (s) = f (s) und
∗
P
P
P
f∗ ( s∈S ns s) = t∈T ( s∈f −1 (t) ns )t.
R
R
Sei [n] := {0, 1, 2, . . . , n} eine endlich
Menge. Dann ist [[n]] ein n + 1 dimensionaler -Vektorraum
Pn geordneteP
n
mit Basis 0, 1, 2, . . . , n. ∆n := { i=0 ti i|ti ≥ 0, i=0 ti = 1} heißt das n-dimensionale Simplex.
R[[n]] ∼= singuläre Maße auf [n]. Dann ist ∆n ∼= Wahrscheinlichkeitsmaße auf [n].
Die Abbildung f : [n] → [m] induziert f∗ : R[[n]] → R[[m]] ∼
= push-forward von singuierten Maßen, diese
Beispiel :
induziert f∗ : ∆n → ∆m durch Einschränkung.
σ0 , σ1 : [0] → [1] mit σ0 : 0 → 0 und σ1 : 0 → 1. σi∗ : ∆0 → ∆1 heißt Einbettung der Endpunkte.
Sei ∆n ⊆ [[n]] eine abgeschlossene Teilmenge, V ein endlich dimensionaler reeller Vektorraum. Eine Abbildung
ϕ : ∆n → V heißt differenzierbar, wenn es eine offene Umgebung U von ∆n in [[n]] gibt, sodass sich ϕ zu
einer differenzierbaren Abbildung auf U ausdehnt.
Sei U ⊆ V eine Teilmenge eines endlich dimensionalen reellen Vektorraums. Ein differenzierbarer n-Simplex
in U ist eine differenzierbare Abbildung ϕ : ∆n → U . Singn (U ) := {Menge der differenzierbaren n-Simplizes ∈
U }.
R
R
Beispiel : Der 0-Simplex in U ist ein Punkt in U . Der 1-Simplex in U ist in differenzierbarer Weg in U .
f : [n] → [m] induziert durch f∗ : ∆n → ∆m und (f∗ )∗ (ϕ) = ϕ ◦ f∗ die Abbildung (f∗ )∗ : Singn (U ) →
Singm (U ). Die Abbildung h : U → V zwischen Teilmengen reeller, differenzierbarer Vektorräume induziert:
h∗ : Singn (U ) → Singn (V ), h∗ (ϕ) = h ◦ ϕ. σ0 , σ1 : ∆0 → ∆1 , σ0∗ , σ1∗ : Sing1 (n) → Sing0 (n) mit σ0∗ (ϕ) =
Anfangspunkt, σ1∗ (ϕ) = Endpunkt.
[Singn (U )] := {endliche Linearkombinationen von n-Simplizes mit ganzen Koeffizienten} heißt -Modul der
n-Ketten in U mit n (U ) := Singn (U ).
Z
Z
C
P
P
f : [n] → [m] induziert ((f∗ )∗ )∗ = f∗ : Cm (U ) → Cn (U ) durch f∗ ( ϕ∈Singn (U ) nϕ ϕ) = ϕ∈Singn (U ) nϕ (f∗ )∗ (ϕ).
P
h : U → V , U ⊆ k , V ⊆ l induziert (h∗ )∗ = h∗ : Cn (U ) → Cn (V ) durch h∗ ( ϕ∈Singn (U ) nϕ ϕ) =
P
ϕ∈Singn (U ) nϕ h∗ (ϕ). σ0,∗ , σ1,∗ : C1 (U ) → C0 (U ). Wir definieren δ : σ1,∗ − σ0,∗ : C1 (U ) → C0 (U ). Eine Kette
heißt geschlossen, wenn δ(c) = 0 ist.
R
R
C
C
Z
R
R
Sei f : U → , ϕ ∈ Sing0 (U ). Dann ist ϕ f := f (ϕ( )) ∈
und durch -lineare Ausdehnung c f :=
R
P
P
ϕ∈Sing0 (U ) nϕ ϕ f , c =
ϕ∈Sing0 (U ) nϕ ϕ.
∗
1
1
h : Ω (W, ) → Ω (U, ) ist definiert durch (h∗ w)(u)(ξ) := w(h(u))(dh(u)(ξ)). Also d(h∗ f ) = h∗ df Kettenregel. R
R
Es ist h∗ c w = c h∗ w.
R
R
Für f ∈ C 1 (U, ) und c ∈ C 1 (U ) gilt: c df = δ(c) f .
C
C
C
C
C
Sei S ⊆
offen, F : S → . Eine holomorphe Funktion F heißt Stammfunktion von f ∈ C(S), falls gilt
F 0 = f (dF = f dz). Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig.
R f besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn für jede geschlossene 1-Kette c ∈ C1 (S) (also δc = 0) gilt c f dz = 0.
C
\ {0}. ϕ(t) = e2πit . Dann ist ϕ0 (t) = ϕ(t) = 2πie2πit und damit
Beispiel : f (z) := z1 holomorph auf
R
R1 1
R1
2πit
f dz = 0 e2πit · 2πie
dt = 0 2πidt = 2πi. Also hat f (z) auf \ {0} keine Stammfunktion.
ϕ
C
C
C
Sei S ⊆ offen. Eine 2-Form auf S identifizieren wir mit einer -Funktion f auf S und notieren f : dx ∧ dy.
d : Ω1 (S) → Ω2 (S) mit ω = ωx dx + ωy dy ist definiert als dω = (∂x ωy − ∂y ωx )dx ∧ dy = 0.
f ∈ C 2 (S). Dann ist df ∈ Ω1C 1 (S) und ddf = d(∂x f dx + ∂y f dy) = (∂x ∂y f − ∂y ∂x f )dx ∧ dy = 0.
d
d
Wir erhalten den Komplex Ω0 (S) −→ Ω1 (S) −→ Ω2 (S).
σ0 , σ1 , σ2 : [1] → [2] mit [1] = {0, 1} und [2] = {0, 1, 2} sind wie folgt definiert:
σ0
σ1
σ2
6. Februar 2009
0
1
0
0
1
2
2
1
Seite 11
Analysis 3
Frank Reinhold
σi,∗ : ∆1 → ∆2 mit ∆1 {t0 + (1 − t)1}. Damit ist
σ0,∗ (t0 + (1 − t)1) = t1 + (1 − t)2
(7)
σ1,∗ (t0 + (1 − t)1) = t0 + (1 − t)2
(8)
σ2,∗ (t0 + (1 − t)1) = t0 + (1 − t)1
(9)
σi∗ : Sing2 (S) → Sing1 (S) und σi∗ : C2 (S) → C1 (S) definiert δ := σ0∗ − σ1∗ + σ2∗ : C2 (S) → C1 (S). Es gilt δδ = 0.
C
δ
δ
Wir erhalten den singulären Komplex von S C2 (S) −→ 1 (S) −→ C0 (S).
κ : [0, 1]2 3 (s, t) 7→ κ(s, t) ∈ ∆2 mit κ(s, t) := st0 + s(1 − t)1 + (1 − s)2.
ϕ ∈ Sing2 (S), κ∗ ϕ : [o, 1]2 → S
R1R1
R
f dx ∧ dy := 0 0 f (ϕ(κ(s, t))) det J(κ∗ ϕ)(s, t) dsdt definiert durch lineare Ausdehnung für c ∈ C2 (S) das
ϕ
R
Integral c f dx ∧ dy.
R
R
h : S → S 0 , h∗ : Ω2 (S 0 ) → Ω2 (S), h∗ (f f x ∧ dy) = (h∗ f · det J)dx ∧ dy. Es ist h∗ ϕ f dx ∧ dy = ϕ h∗ (f dx ∧ dy).
Es gilt: dh∗ = h ∗ d mit h : S → S 0 . R
R
Sei ω ∈ Ω1C 1 (S), c ∈ C2 (S). Dann ist c dω = δc ω.
Eine n-Kette c heißt Rand, wenn es eine n + 1-Kette b gibt, sodass δb = c. Sie heißt geschlossen, wenn
δc = 0. Jeder Rand ist geschlossen.
Satz (Cauchy-Integralsatz 1. Variante):
Sei f eine holomorphe Funktion auf S. Dann gilt für jeden Rand c, dass
Z
Z
f dz = d(f dz) = 0
δb=c
(10)
b
1 (S)→C0 (S)}
Die erste singuläre Homologie-Gruppe von S ist H1 (S) := ker{δ:C
im{δ:C2 (S)→C1 (S)} .
Ein Gebiet S heißt sternförmig, wenn es ein x ∈ S gibt, sodass mit s ∈ S auch die Strecke xs in S liegt. x
heißt zentraler Punkt. Eine Strecke ist das Bild von [0, 1] → S, t 7→ x + t(s − x).
Ist S sternförmig, dann gilt H1 (S) = 0, jede geschlossene 1-Kette ist ein Rand.
Satz (Cauchy-Integralsatz 2. Variante):
Ist S sternförmig und c ∈ C1 (S) geschlossen, f holomorph auf S. Dann ist
Z
f dz = 0
(11)
c
Ist S sternförmig und f holomorph auf S, dann hat f eine Stammfunktion.
Es gilt: ∂B(x, r) − ∂B(z, R) mit |z − x| + R < r ist ein Rand.
Satz (Cauchy-Integralformel):
Z
f (ω)
dω = 2πi · f (z)
ω−z
∂B(x,r)
C
(12)
C
R
Beispiel: f (z) = z1 holomorph auf \ {0}. ∂B(0,r) dz
\ {0}. Aber
z = 2πi. Also hat f keine Stammfunktion auf
\ (−∞, 0] ist sternförmig mit Zentrum 1. f hat also eine Stammfunktion auf \ (−∞, 0]: ln(z).
C
3.4
C
Analytische Eigenschaften holomorpher Funktionen
Ist f : S →
C holomorph, dann ist f glatt (beliebig oft diff’bar). Für x ∈ S, r > 0, sodass B(x, r) ⊆ S gilt, ist
f (n) (x) =
Sei f : S →
n!
·
2πi
Z
∂B(x,r)
f (ω) dω
(ω − x)n+1
C holomorph und x ∈ S, r > 0, sodass B(x, r) ⊆ S gilt. Dann gilt für z ∈ B(x, r) die Taylorformel
f (z) =
∞
X
f (n) (x)
(z − x)n
n!
n=0
Insbesondere ist der Konvergenzradius dieser Reihe ≥ r.
Ist also f : S →
holomorph, dann auch f (n) : S →
∀n ∈
C
Seite 12
(13)
C
(14)
N. Der Konvergenzradius der Taylorreihe einer
6. Februar 2009
Frank Reinhold
Analysis 3
holomorphen Funktion f : S →
C im Punkt x ∈ S ist größer oder gleich sup{r > 0|B(x, r) ⊆ S}.
C
P∞
n
Sei x ∈ , f (z) =
n=0 an (z − x) eine durch eine konvergente Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0
dargestellte holomorphe Funktion f : B(x, r) → . Dann hat f keine Fortsetzung auf einen Ball B(x, r0 ) mit
r0 > r als holomorphe Funktion.
Sei S zusammenhängend, f : S → holomorph, x ∈ S und f (n) (x) = 0 ∀n ∈ 0 . Dann ist f = 0.
C
C
N
Beispiel: eln(z) − z = 0, da die Funktion die Voraussetzungen des Lemmas erfüllt.
C
Sei f : S → holomorph, S zusammenhängend, M ⊆ S nicht diskret, f |M = 0. Dann ist f = 0.
Also sind ez , sin(z), cos(z) die eindeutigen Fortsetzungen der auf
schon definierten Funktionen.
R
C
R
Sei f : S → stetig und gelte c d(z) dz = 0 ∀c ∈ C1 (S) mit δc = 0. Dann ist f holomorph.
Sei X ein topologischer Raum, (fn ) eine Folge stetiger komplexwertiger Funktionen. fn konvergiert gegen f
lokal gleichmäßig, dalls für jedes x ∈ X eine kompakte Umgebung K existiert, sodass fn |K → f |K ist.
Sei (fn ) eine Folge holomorpher Funktionen auf S. Gilt weiterhin fn → f lokal gleichmäßig, so ist f holomorph.
Satz (Hebbarkeitssatz):
Sei S ⊆ offen, x ∈ S, f : S \ {x} → holomorph, f beschränkt. Dann hat f ein eindeutige Fortsetzung zu
einer holomorphen Funktion f˜ : S → .
C
C
C
Sei M ⊆ S diskret, f : S \ M → C holomorph, beschränkt. Dann hat f eine eindeutige Fortsetzung zu einer holomorphen Funktion f˜ : S → C.
Die Zahl νf (x) := min{n ∈ N0 |f (n) (x) 6= 0} heißt Vielfachheit von f in x.
Beispiel: νsin (πx) = 1, νz3 (0) = 3.
C
Wir können f (z) = (z − x)νf (x) g(z) für eine holomorphe Funktion g mit g(x) 6= 0 schreiben. Sei S ⊆
offen, f : S → holomorph, x ∈ S, r > 0, sodass B(x, r) ⊆ S. Dann gilt für s ∈ (0, r], z ∈ B(x, r − s), dass
(n) r n!
sup |f (x)|
(15)
f (z) ≤
s sn x∈δB(x,r)
C
Sei (fn ) eine Folge von holomorphen Funktionen auf S mit fn → f lokal gleichmäßig. Dann ist f holomorph
(k)
und fn → f (k) lokal gleichmäßig ∀k ≥ 0.
Sei S ⊆ offen, f ∈ C(S, ), x ∈ S, r 0, so dass B(x, r) ⊆ S. Der Mittelwert von f in x ist
Z 1
Mr (f, x) :=
f (x + r · e2πit ) dt
(16)
C
C
0
f hat die Mittelwerteigenschaft, wenn für jedes x ∈ S ein r > 0 existiert mit B(x, r) ⊆ S und Ms (f, x) =
f (x) ∀s ∈ [0, r].
Ist f holomorph, dann hat f die Mittelwerteigenschaft.
Sei S ⊆ offen, f ∈ C(S, ), f habe die Mittelwerteigenschaft, x ∈ S, |f | habe in x ein globales Maximum, S
zusammenhängend. Dann ist f konstant.
Sei S ⊆ offen, S̄ kompakt, f ∈ C(S̄, ), f |S habe Mittelwerteigenschaft. Dann nimmt |f | sein Maximum auf
∂ S̄ an.
Eine auf ganz definierte holomorphe Funktion heißt ganze Funktion. Ganze Funktionen, die keine Polynome
sind, heißen transzendent.
Ein ganzes f ist genau dann ein Polynome vom Grad n, wenn es Konstanten M > 0 und R > 0 gibt, sodass
|f (z)| ≤ M |z|n ∀|z| ≤ R.
C
C
C
C
C
Fundamentalsatz der Algebra:
Sei f ∈ [z] nicht konstant. Dann hat f eine Nullstelle.
C
Ganze beschränkte Funktionen sind konstant.
3.5
Harmonische Funktionen
R
R
Sei S ⊆ offen. Eine Funktion f : S → heißt harmonisch, falls ∆f = 0.
Dirichletproblem: Finde U ∈ C 1 (S̄) ∩ C 2 (S) mit ∆U = 0 und U |∂S = ϕ.
6. Februar 2009
Seite 13
Analysis 3
Frank Reinhold
Neumannproblem: Finde U ∈ C 1 (S̄) ∩ C 2 (S) mit ∆U = 0 und ∇U ⊥ = ϕ.
C
Sei f : S → . Dann ist df = ∂z f dz + ∂z̄ f dz̄. Dabei gilt ∂z = 21 (∂x − i∂y ) und ∂z̄ =
holomorph ⇔ ∂z̄ f = 0, f ist antiholomorph ⇔ ∂z f = 0. Es gilt 4∂z ∂z̄ = ∆.
1
2 (∂x
+ i∂y ). f ist
Wenn f holomorph (antiholomorph) ist, dann ist f, f¯, <(f ), =(f ) harmonisch.
Beispiel:
1. x, y linear ⇒ harmonisch, da z.B. x = <(z).
2. <(ez ) = ex cos(y) harmonisch.
3. <( z1 ) = 12 ( z1 + z̄1 ) =
x
x2 +y 2
harmonisch für z 6= 0.
4. ln(z) = 12 (ln(z) + ln(z̄)) harmonisch.
C
C
Sei S ⊆
offen, H1 (S) = 0. Ist h ∈ C 2 (S) harmonisch, dann existiert eine holomorphe Funktion f : S →
mit h = <(f ).
Harmonische Funktionen sind glatt.
Sei S zusammenhängend, U ⊆ S offen, U 6= ∅, f : S → harmonisch, f |U = 0. Dann ist f = 0. Weiterhin gilt:
R
1. Harmonische Funktionen haben die Mittelwerteigenschaft.
2. Sei S zusammenhängend, f ∈ C 2 (S) harmonisch. Wenn f in S ein lokales Extremum hat, dann ist f
konstant.
3. Ist S beschränkt, f ∈ C(S̄) ∩ C 2 (S) harmonisch. Dann nimmt f sein Maximum und Minimum auf dem
Rand an.
Poissonformel:
Z
<(f ) = 2π
1
< f (re2πit ) · P (z, re2πit ) dt
(17)
0
mit dem Poissionkern P (z, ξ) =
2
2
1 r −|z|
2π |ξ−z|2 .
R
R1
Ist h : S → harmonisch, dann gilt: h(z) = 2π 0 P (z, re2πit )h(re2πit ) dt für z ∈ B(0, r).
Sei ϕ ∈ C(∂B(0, r)). Definiere
( R1
2π 0 P (z, e2πit )ϕ(re2πit ) dt z ∈ B(0, r)
h(z) :=
ϕ(z)
z ∈ ∂B(0, r)
(18)
h ist auf B(0, r) harmonisch und stetig auf B(0, r).
Das Dirichletproblem für den Ball B(0, r) hat für jedes ϕ ∈ C()B(0, r) genau eine Lösung. Diese wird gegeben durch:
Z 1
h(z) = 2π
P (z, re2πit ϕ(re2πit ) dt
(19)
0
1
ϕ∈L
⇒ ϕ harmonisch. h hat Randwert ϕ in den Stetigkeitspunkten von ϕ.
C
Sei S ⊆ offen. Dann ist f ∈ C(S) harmonisch, genau dann, wenn f die Mittelwerteigenschaft hat.
Seien S, T ⊆ offen, h : S → T holomorph, f : T → harmonisch. Dann ist h∗ f : S → auch harmonisch.
C
R
R
Der Poissonkern für S löst das Dirichletproblem für S mit ψ ∈ C(∂ S̄) und lautet:
Ps (z, ν) :=
P (h(z), h(ν))h0 (ν)
1 r2 − |h(z)|2
h0 (ν)
=
·
2
ih(ν)
2π |h(ν) − h(z)| ih(ν)
C
(20)
∼
Existenz und Eindeutigkeit für das Dirichletproblem gilt für alle Gebiete S ⊆
mit S̄ −→ B(0, r), also alle
Gebiete, die biholomorph im Inneren sind.
Sei f beschränkt und H1 (S) = 0. Dann gibt es eine biholomorphe Abbildung h : S → B(0, 1). (Spezialfall des
Riemannschen Abbildungssatzes).
Die Stetigkeit am Rand fordert Zusatzbetrachtung. Die Theorie funktioniert auch allgemeiner.
Seite 14
6. Februar 2009
Frank Reinhold
3.6
Analysis 3
Singularitäten
C
Sei S ⊆ offen. O(S) ist
Pdie Menge der holomorphen Funktionen auf S. K := K(a, r, R) = B(a, R) \ B(a, r),
f ∈ O(B(a, R)), f (z) = k≥0 an /z − a)n , f ∈ O(K).
Sei f ∈ O(K). Dann gibt es eindeutig bestimmte u ∈ O(B(a, R)) =: O(U ) und v ∈ O( \ B(a, r)) =: O(V ) mit
f = u|K − v|K und limz→∞ v(z) = 0, K = U ∩ V .
R
P
P
f (w) dw
1
Also ist f (z) = k<0 an (z − a)n + k≥0 an (z − a)n mit an := 2πi
, s ∈ (r, R). Die beiden
δB(a,s) (w−a)n+1
Reihen konvergieren gleichmäßig auf K.
C
Eine Reihe
X
n∈
Z
an (z − a)n
(21)
P
P
heißt Laurent-Reihe. Eine Laurent-Reihe konvergiert, falls n<0 an (z − a)n und n≥0 an (z − a)n konvergieren.
Wenn eine Laurent-Reihe bei z1 und z2 konvergiert und |z1 − a| < |z2 − a| ist, dann konvergiert sie auf
K(a, |z1 − a|, |z2 − a|). (→ Kreisring).
P
Sei S ⊆ offen, x ∈ S, f ∈ O(S \ {x}). f hat in x eine isolierte Singularität, wenn f (z) = n∈Z an (z − a)n
auf B(x, ε) \ {x} ist. f hat in x einen Pol, wenn es ein N ∈
gibt mit an = 0 ∀n < N . Die Vielfachheit
der Singularität ist νf (x) := min{n ∈ |an 6= 0}. Wenn f in x keinen Pol hat, hat f in x eine wesentliche
Singularität.
C
Z
Z
f hat in x einen Pol genau dann, wenn es ein ν ∈
N gibt, sodass (z − x)ν f (z) bei x beschränkt ist.
C
Sei S ⊆
offen. Eine meromorphe Funktion auf S ist eine holomorphe Funktion auf f ∈ O(S \ M ) für
eine diskrete Teilmenge M ⊆ S, sodass f in allen Punkten von M keine wesentlichen Singularitäten hat. M(S)
heißt die Menge der meromorphen Funktionen.
M(S) ist ein Körper, der Quotientenkörper vom Ring O(S).
Sei S, T ⊆ offen, h : S → T holomorph, nirgends konstant. Erhalte ein h∗ : M(T ) → M(S).
C
Beispiel:
1. Rationale Funktionen pq , pmq ∈
2. tan,
1
sin ,
C
cot, Γ ∈ M( ).
C
1
C[z], q 6= 0 sind in M(C).
3. e z ∈
/ M( ).
C
4. sin( z1 ) ∈
/ M( ).
C
C
C
Sei S ⊆ offen, x ∈ S. Sei f ∈ O(S \ {x}). Entweder ist f ∈ M(S), oder f (W ) ⊆ dicht für alle Umgebungen
W von x in S.
Sei S ⊆
offen, x ∈ S, α = f dz holomorphe 1-Form auf S \ {x}, also f ∈ O(S \ {x}). α hat eine isolierte
Singularität im Punkt x. α ist meromorph, falls f meromorph ist. Eine holomorphe 1-Form mit isolierter
Singularität auf S, ist eine holomorphe 1-Form auf S \ F für ein geeignetes Diskretes F ⊆ S.
Sei α eine holomorphe 1-Form mit isoliertes Singularität in x. α = f dz. Das Residuum von α in x ist
X
α(z) =
an (z − x)n dz
n∈
Z
resx (α) = a−1
(22)
(23)
Für genügend kleine r > 0 gilt:
1
resx (α) =
2πi
Z
α
(24)
∂B(x,r)
Es gilt:
1. Die Abbildung α 7→ resx (α) ist linear.
2. resx (df ) = 0, f ∈ O(S \ {x}).
6. Februar 2009
Seite 15
Analysis 3
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3. resx (g df ) = −resx (f dg), f, g ∈ O(S \ {x}).
4. Wenn f einen Pol in x hat. dann gilt resx ( df
f ) = νf (x) die Vielfachheit von f in x.
5. Wenn f einen Pol der Ordnung n ≥ 1 in x hat, dann ist g(z) := (z − x)n f (z) in x holomorph und es gilt
1
resx (f ) = (n−1)!
g (n−1) (x).
6. Wenn f in x holomorph ist und νf (x) = 1, dann gilt resx ( f1 ) =
1
f 0 (x) .
Beispiel:
1. res0 (cot(z)) = 1, da cot(z) =
1
tan(z) ,
tan(0) = 0, tan0 (0) =
1
cos2 (0)
= 1 mit (6).
z
e
2. resx ( z−x
= ex mit (5).
z
e
3. resx ( (z−x)
3 =
(ez )00 (x)
2!
=
ex
2
mit (5).
C
Seien S, T ⊆
offen, h : S → T holomorph, α eine holomorphe 1-Form auf T mit isolierten Singularitäten.
Dann ist h∗ α eine holomorphe 1-Form mit isolierten Singularitäten auf S und es gilt
resx (h∗ α) = νh−h(x) (x) · resh(x) (α)
(25)
Wenn α meromorph ist, so ist auch h∗ α meromorph.
3.7
Residuensatz
C
Z
P
Sei S ⊆ offen, c ∈ C∗ (S) mit ∗ = 0, 1, 2, c = σ∈Sing∗ (S) aσ σ mit aσ ∈ . |c| := {x ∈ S|∃σ ∈ Sing∗ (X) mit g 6=
0, t ∈ ∆∗ mit σ(t) = x} heißt die Spur von c.
Z
Es gibt ein n ∈ , sodass [c] = n∂B(x, r) in H1 (S \ {x}). Wir definieren die Umlaufzahl nc (x) von c bezüglich
x wie folgt:
Z
dz
1
nc (x) :=
(26)
2πi c z − x
R
Wenn n 6= −1 ist, dann ist c (z − x)n dz = 0.
Sei c = δn. Wenn x ∈
/ |r| ist, dann ist nc (x) = 0.
Residuensatz:
Sei S ⊆ offen, c ∈ C1 (S) exakt, α eine holomorphe 1-Form mit isolierten Singularitäten in δ \ {c}. Dann ist
Z
X
α = 2πi
resx (α) · nc (x)
(27)
C
c
x∈S
Diese Summe ist endlich.
Beispiel:
dz
dz
dz
= 2πi · res1
+ res−1
=
2
(z − 1)(z + 1)
(z − 1)(z + 1)
∂B(0,2) z − 1
1 1
= 2πi ·
−
=0
2 2
"
0 # −z ez dz
ez
e
= 2πi
+
= ...
(z + 1)(z − 1)2 (z − 4)
(z + 1)(z − 4)
4
·
(−5)
z=1
Z
dΓ
= −2πi(k + 1) mit r ∈
/ , k < r < k + 1, k ∈ 0
∂B(0,r) Γ
Z
1.
Z
2.
∂B(0,2)
3.
N
N
(28)
(29)
(30)
(31)
C
Beispiel: Sei S ⊆ offen, f ∈ M(S), x ∈ S, resx df
f = νf (x), c ∈ C1 (S), δc = 0, sodass f regulär auf |c| ist. Der
Residuensatz liefert
Z
X
df
= 2πi
nc (x)νf (x)
(32)
c f
x∈S
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Frank Reinhold
Analysis 3
Sei x ∈ S, r > 0, sodass B(x, r) ⊆ S. f regulär auf ∂B(x, r). Dann ist
Z
X
1
df
=
νf (y)
2πi ∂B(x,r) f
(33)
y∈B(x,r)
C
C
Sei S ⊆ offen. S ist Umgebung von ∞, falls es ein R > 0 gibt, sodass \ B(0, R) ⊆ S ist.
Sei S eine Umgebung von ∞, α eine 1-Form auf S mit isolierten Singularitäten. Höchstens endlich viele dieser
liegen in einer eventuell kleineren Umgebung von ∞. h :
\ {0} → , h(z) := z1 . Es gibt R > 0, sodass
∗
h(B(0, R) \ {0} ⊆ S ist. Definiere h α eine 1-Form mit isolierten Singularitäten auf B(0, R). Dann ist
C
C
res∞ (α) = res0 (h∗ α)
Sei α eine holomorphe 1-Form mit endliche vielen Singularitäten auf
X
resx (α) + res∞ (α) = 0
x∈
(34)
C. Dann gilt
(35)
C
Beispiel:
C[X]. Dann ist res∞ (p dz) = 0, da ein Polynom kein α−1 besitzt.
Pn
Sei p ∈ C[X] mit p(z) = i=1 pn z n . Dann ist
1. Sei p ∈
2.
res∞
3. Sei p ∈
p dz
zk
= −pk−1
(36)
C[X], deg(p) = n also insbesondere pn 6= 0. Dann ist
res∞
Sei S ⊆
dp
p
= −n
(37)
C offen, f ∈ O(S) nirgends konstant, w ∈ C. νf −w (x) heißt Vielfachheit der w-Stelle von x.
Satz (Rouché):
C
Sei f (x) = w. Dann gilt: Es gibt eine Umgebung W ⊆
von w und eine umgebung V ⊆ S von x, sodass
W ⊆ f (V ) und für alle w0 ∈ W gilt #f −1 (w0 ) ∩ V = νf −w (x).
C
C
Sei S ⊆ offen, f ∈ O(S) nirgends konstant. Dann ist f (S) offen.
Sei S ⊆ offen, f ∈ O(S), x ∈ S, w = f (x). Dann ist f 0 (x) 6= 0 genau dann, wenn ∃ Umgebung W ⊆
w und V ⊆ von x, sodass f |V : V → W eine Bijektion ist.
C
C von
Beispiel:
1. f (z) = z k , f (0) = 0 und damit νf (0) = k.
1
) hat genau ein Urbild, w ∈ B(1, 10) hat mehrere
2. f (z) = e2πiz , f (0) = 1, νf −1 (0) = 1. w ∈ B(1, 10
Urbilder.
3.8
Anwendung in der Integralrechnung
Sei R =
p
q
mit p, q ∈
Z
C[w], q 6= 0. Dann ist
0
2π
z + z −1 z − z −1
dz
R(cos(x), sin(x)) dx =
R
,
,
=
2
2i
iz
∂B(0,1)
X
z + z −1 z − z −1
=
2πi · resx R
,
,
2
2i
Z
(38)
(39)
x∈B(0,1)
Betrachte Polynome p, q ∈
C[x] mit ord(p) ≤ ord(q) − 2 und q hat keine reellen Nullstellen. Dann ist
Z
∞
−∞
X
p(x)
p(x)
dx = 2πi ·
resξ
dx =
q(x)
q(x)
=(ξ)>0
X
p(x)
= −2πi ·
resξ
dx
q(x)
(40)
(41)
=(ξ)<0
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Seite 17
Analysis 3
Frank Reinhold
Seien p, q ∈
C[x], ord(p) ≤ ord(q) − 2, q ohne reelle Nullstellen. Dann ist
Z
∞
−∞



2πi ·
P
resξ
p(x)
q(x)
· eiλx dx
p(x) iλx
=(ξ)>0
·e
dx =
P
p(x)
iλx

q(x)
−2πi
·
·
e
dx
res

ξ q(x)

λ≥0
(42)
x<0
=(ξ)<0
Betrachte Polynome p, q ∈
Integral nicht
C[x], q ohne reelle Nullstellen, ord(p) ≤ ord(q) − 1, λ ∈ R. Dann existiert folgendes
∞
Z
−∞
p(x) iλx
·e
dx
q(x)
(43)
Wir definieren für λ 6= 0
Z
∞
−∞
Das Integral
R
p(x) iλx
·e
dx := lim
R1 →∞
q(x)
R →∞
Z
2
R
sin(x)
x
R2
−R1



2πi ·
P
·resξ
p(x)
q(x)
· eiλx dx
p(x) iλx
=(ξ)>0
e
dx =
P
p(x)
iλx

q(x)
−2πi
·
·res
·
e
dx

ξ
q(x)

λ≥0
(44)
x<0
=(ξ)<0
dx existiert nicht, da x 7→
Z
∞
−∞
sin(x)
x
R
∈
/ L1 ( ). Wir definieren
sin(x)
dx := lim
R1 →∞
x
R →∞
2
Die komplexe Wurzelfunktion ist definiert als
√
:
Z
R2
−R1
sin(x)
dx = π
x
(45)
C \ (−∞, 0) → C, % · eiϕ 7→ √% · ei
ϕ
2
. Es ist
Z √
R
3.9
x+i
dx = π + iπ
x2 + 1
(46)
Riemann’scher Abbildungssatz
C
Seien S, T ⊆ ofen, f : S → T holomorph. Wenn f bijektiv ist, dann ist f holomorph.
Sei S ⊆ offen, fn : S → fn (S) biholomorph, so dass fn gleichmäßig gegen f konvergiert. Dann ist f konstant
oder f : S → f (S) ist biholomorph.
C
Lemma von Schwarz:
Sei f : B(0, 1) → B(0, 1) holomorph mit f (0) = 0 und sei f keine Drehung. Dann gilt |f 0 (0)| < 1 und |f (z)| < |z|
mit z ∈ B(0, 1).
Satz von Montel:
Sei S ⊆ offen, C ∈ , 0 < C < ∞. Sei (fn ) eine Folge holomorpher Funktionen in O(S), sodass supS |fn | <
C ∀n ∈ . Dann gibt es eine lokal gleichmäßige konvergente Teilfolge.
C
R
N
√
Sei S ⊆ C/{0} offen, zusammenhängend und H1 (S) = 0. Dann gibt es eine holomorphe Funktion
√
2
:S→
C
mit ( z) = z. Außerdem gilt
√
√
1.
: S → S ist biholomorph.
√
2. 0 ∈
/ S
√
3.
\ S hat innere Punkte.
C
C
Sei S (
offen und eine echte Teilmenge, H1 (S) = 0. Dann gibt es eine biholomorphe Abbildung f : S →
f (S) ⊆ B(0, 1). 0 ∈ f (S).
Sei S ⊂ B(0, 1), M = {f : S → f (S) biholomorph, f (0) = 0}, m := supM |f 0 (0)| ∈
da |f 0 (0)| ≤ 1. Also ist
0
m ≤ 1. Es existiert ein f ∈ M mit |f (0)| = m.
Sei f ∈ M mit |f 0 (0)| = m. Dann ist f (S) = B(0, 1).
R̄
Satz (Riemann’scher Abbildungssatz):
Sei S ( eine echte offene Teilmenge mit H1 (S) = 0. Dann ist S biholomorph zu B(0, 1) und es existiert ein
f : S → B(0, 1) biholomorph.
C
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6. Februar 2009
Frank Reinhold
3.10
Analysis 3
Hauptverteilungen
C
Sei S ⊆ offen, f ∈ M(S)
P eine meromorphe Funktion, x ∈ S. Dann ist die Laurentreihenentwicklung von f in
x gegeben durch f (z) = n∈Z an (z − x)n mit an = 0 für n 0. Der Hauptteil von f in x ist definiert als


X
Hx (f ) : z 7→
(47)
an (z − x)n  ∈ M(S)
n≤−1
Ein Hauptteil in x ∈ S ist ein f ∈ M(S), sodass f = Hx (f ). Eine Hauptverteilung auf S ist eine Familie
von (hx )x∈Γ mit Γ ⊂ S diskrete Teilmenge und hx ist ein Hauptteil in x für alle x ∈ Γ.
Satz (Mittag-Leffler):
Sei (hx )x∈Γ eine Hauptverteilung auf . Dann existiert eine meromorphe Funktion f ∈ M( ), so dass f |C\Γ :
\ Γ → holomorph ist und Hx (f ) = hx gilt für alle x ∈ Γ. f heißt dann Lösung der Hauptverteilung.
C
C
C
C
f ist nicht eindeutig, aber je zwei Lösungen unterscheiden sich um eine ganze Funktion.
Eine Nullstellenverteilung auf S ist eine Funktion ν : S → 0 mit {ν 6= 0} ⊆ S ist diskret.
Ist ν eine Nullstellenverteilung auf , dann existiert f ∈ O( ) mir νf = ν.
C
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C
N
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